辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

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第I卷（共58分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ）
A. 30°B. 60°C. D.
【答案】A
【解析】直线的一个方向向量是，故斜率为，
设直线的倾斜角为，则，故.
故选：A.
2. 椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】椭圆化为标准方程，
∴，∴椭圆的长轴长为.
故选：C.
3. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，
则
故答案为：A.
4. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为表示圆，
所以，解得，
又过点向圆引两条切线，所以点在圆外，
有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
5. 已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量与向量，共面，不共线，则，
即，故，解得.
故选：C.
6. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
两式作差得，即，即①，
因为点恰好是的中点，所以，
又因为直线的斜率为，
将它们代入①式得，解得，
又，则，
所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为．
故选：B．
7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
设，∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵点在圆上，∴表示圆上的点到原点的距离，
又，，
∴，即，得，
因此的取值范围为.
故选：A.
8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一 （如图）给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线所围成的“心形”区域的面积小于3；
③曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①B. ②③C. ③D. ①②③
【答案】C
【解析】①：由于曲线，
当时，；
当时，；
当时，，；
由图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，
故曲线恰好经过6个整点：，
所以①不正确；
②：由①知长方形的面积为2，三角形的面积为1，
所以曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，故②错误；
③：由图知，到原点距离的最大值是在时，
当时，，
所以，即，所以③正确.
故选：C.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知直线和圆以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 直线与圆恒有两个交点
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上恰有4点到直线的距离为1
【答案】ABD
【解析】对于A，由，
则，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，由，所以在圆内，直线与圆恒有两个交点故B正确；
对于C，由知圆心，半径为，
当时，直线被圆截得的弦长最短，又，
最短弦长为，故C错误；
对于D，当，直线的方程为，
圆心到直线的距离，
圆上恰有4点到直线的距离为1，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，点，为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点使得
B. 的最大值为5
C. 若直线与椭圆交于两点（均不同于点），则直线和直线的斜率之积为
D. △内切圆面积的最大值为
【答案】BD
【解析】如图，，则.
A：，设，则，即，
，
所以不成立，故A错误；
B：由椭圆的定义知，，得，，
所以，
当且仅当三点共线时等号成立，所以的最大值为5，故B正确；
C：设Ax1,y1，则，由在椭圆上，
得，两式相减得，
即，又，
所以，故C错误；
D：设内切圆的半径为，
则，
要使内切圆的面积取到最大值，需取到最大值，
当点位于椭圆的上或下顶点时，取到最大值，此时，
有，解得，所以内切圆的面积为，故D正确.
故选：BD
11. 如图，点是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）

A. 当在平面BCC1B1上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C. 使直线与平面ABCD所成的角为45°的点的轨迹长度为
D. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF平面B1CD1时，PF长度的最小值是
【答案】CD
【解析】A选项，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，A选项正确:
B选项，与所成角即与所成，当在端点时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B选项正确；
C 选项，由于在正方体表面，的轨迹为对角线，，以及以为圆心2 为半径的圆弧如图，

故的轨迹长度为，C选项错误；
D 选项，所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，设中点为，中点为，此时当为中点时取最小值，此时，为等腰三角形，故，故D选项错误.

故选：CD.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分．）
12. 已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则______．
【答案】
【解析】设是函数图象上任意一点，
点A关于关于点对称的点为，则，得，
代入方程，得，
整理得，即.
13. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的一般式方程为________．
【答案】
【解析】由题意，圆C的标准方程为，
圆心坐标为，半径为，
则，的中点为，
因为是圆C的两条切线，切点分别为，
所以，则共圆，
所以过点的圆的方程为，
其中为该两圆的公共弦，由两圆的方程相减，
得直线的方程，
即.
14. 已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，
故由椭圆的对称性知，
而，故四边形是平行四边形.
又因为，故四边形是矩形.
由于四边形是矩形，故，
.
从而可设，
此时，解得，
所以，所认，
最后由，得到，
即，故.从而椭圆的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求边所在直线的一般式方程．
解：（1）由题意可设边所在的直线方程为，
则将代入，解得，
则边所在直线的方程为，
，则顶点的坐标为．
（2）设点关于直线的对称点为，
则，
所以．直线的方程即为直线的方程.
因为，所以，即为，
则直线的一般式方程为．
16. 如图所示，直三棱柱中，，点在线段上，．

（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：连接，
∵平面，平面，∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵四边形为正方形，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴.
（2）解：以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则,
∴，，，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
则为平面的一个法向量，
则，
设二面角的平面角为，则，
因为，所以，
所以二面角的正弦值为．
17. 已知圆关于直线对称，且经过点和.
（1）求圆标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程；
（3）过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程.
解：（1）因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
因为圆经过点，所以圆心在的垂直平分线上，
因为，中点为，
所以的垂直平分线方程为，即，
则，所以圆心为，
半径，所以圆的标准方程为.
（2）因为，所以点在圆上，
又，则切线斜率为，
所以切线方程为，即为，
所以过点且与圆相切的直线方程为.
（3）由题意可知直线斜率一定存在，故可设直线，
设，
则，
则①，
故，，
因为
，
则，解得或（舍去），
所以直线的方程为.
18. 如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为．
（1）求点到平面的距离；
（2）已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度．
解：（1）连接，如图，
因为是边长为2正三角形，所以，
而平面，则平面，
又平面，有，
故是二面角的平面角，得，
因平面，于是得平面平面，过作的延长线于，
平面平面，平面，故平面，
而，则，
所以点到平面的距离是3．
（2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，
设与面的所成角为，则，
解得，则，线段的长度为．
19. 已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若这4个点均在轨迹上，直线过点且满足，求四边形面积的取值范围．
解：（1）圆的圆心为，半径，
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
的轨迹是以为焦点的椭圆
，所以轨迹的方程为；
（2）由题意可得四边形是平行四边形由椭圆的对称性可知直线与交于点所以四边形ABCD的面积，由题意可知直线斜率不为0
设，
联立．
恒成立，，
，
令，则，．
因为在上单调递增，所以，
当，即时，四边形的面积取得最大值6．
因为四边形面积大于0，所以四边形面积的取值范围．