人教B版高中数学选修3 第六章《导数及其应用》综合测试卷 含答案

这是一份人教B版高中数学选修3 第六章《导数及其应用》综合测试卷 含答案，共19页。
《导数及其应用数列》综合测试一、单项选择题1.已知函数可导,则等于( ).A.B.不存在C.D.以上都不对2.(2020苏州高二月考)下列函数既是奇函数,又在区间,上单调递增的是( ).A.B.C.D.3.(2020江西高三期末)已知函数有且仅有一个极值点,则实数的取值范围是( ).A.B.C.或D.4.(2020甘肃兰州一中高二月考)设函数),其中常数满足.若函数(其中是函数的导数)是偶函数,则等于( ).A.B.C.D.5.(2020安徽高三联考)已知函数若且,则的取值范围是( ).A.B.C.D.6.(2020广西高三联考)已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是( ).A.B.C.或D.或7.已知函数,则( ).A.在上单调递增B.在上单调递减C.的图像关于直线对称D.的图像关于点对称8.(2020浙江高三一模)已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是( ).A.B.C.D.二、多项选择题9.(2021福建高三期中)如果函数的导函数的图像如图所示,则下列关于函数的判断正确的是( ).A.在区间内单调递减B.在区间内单调递减C.是极小值点D.是极大值点10.(2021湖南高二期末)已知,下列说法正确的是( ).A.在处的切线方程为B.单调递增区间为C.的极大值为D.方程有两个不同的解11.(2021海口高三月考)关于函数,下列结论正确的有( ).A.在上是增函数B.存在唯一极小值点C.在上有一个零点D.在上有两个零点12.(2020广东高二期末)将函数和其导函数的图像画在同一个平面直角坐标系中,不正确的是( ).A.B.C.D.三、填空题13.(2020海南中学高二期末)设函数(为常数),若为奇函数,则_______;若是上的增函数,则的取值范围是_______.14.(2020马鞍山模拟)直线分别是函数图像上点处的切线,与垂直相交于点,且分别与轴相交于点,则_______.15.(2020江苏高三月月考)设函数,则不等式的解集为_______.16.(2020武汉外国语学校高三一模)已知函数是奇函数的导函数,且满足时,,则不等式的解集为_______.四、解答题17.北京高三一模)已知函数,其中.(1) 当时,求在处的切线方程;(2)求证:的极大值恒大于0.18.(2020辽宁模拟)已知,函数.(1)讨论的单调性;(2)若是的极值点,且曲线在两点,处的切线互相平行,这两条切线在轴上的截距分别为,求的取值范围.19.(2020福建高三期中)已知函数为自然对数的底数.(1)求证:当时,;(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.20.(2021安徽高三期末)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)函数有两个不同的极值点,求的取值范围.21.(2021盐城高二期末)已知函数在和时取极值,且.(1)已知,求的值;(2)已知,求的取值范围.22.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.参考答案1.答案：A解析：因为,所以,所以.故选.2.答案：D解析：由题知选项中为非奇非偶函数,故选项不合题意;选项中为非奇非偶函数,故选项不合题意;选项中是奇函数,求导得,当时有或,故在上不单调递增,故选项不合题意;D选项中是奇函数,求导得.又,,故恒成立,满足在上单调递增,故D选项正确.故选D.3.答案：B解析：∵函数有且仅有一个极值点,∴在上只有一个实根,即只有一个正实根,即只有一个正实根,令,则由可得,当时,;当时,,故在上单调递增,在上单调递减,当时,取得函数的极大值也是函数的最大值为1.又当时,,当时,,所以当或时,与的图像只有一个交点,即方程只有一个正实根,故或.当时,,令,可得,且在,上恒成立,所以函数在上单调递减,所以1不是函数的极值点,故舍去,所以.故选.4.答案：A解析：∵函数为偶函数,∴,故选.5.答案：B解析：因为故其图像如图所示.令,解得;令,解得.数形结合可知,若要满足,且,则,且,解得,故.令,则,令,解得,故在区间上单调递减,在区间上单调递增,且,故.由此可得.故选.6.答案：D解析：,若在上不单调,令,则函数1图像的对称轴方程为,且在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时,显然不成立;当时,只需或，解得或.故选7.答案：C解析：的定义域为,.由得,由得在,1)上单调递增,在上单调递㓕,排除.又,∴,排除,故选C.8.答案：C解析：如图,取上一点,则点关于对称的点为,即,即,直.线过定点.当时,,函数在上单调递减,在上单调递增,当与相切时,设切点为,则,,解得,故.当时,,即,则解得.综上所述,.故选C.9.答案：BD解析：根据导函数的图像可知的性质,A.由于时,,则函数在区间内单调递增,故A不正确.B.函数在区间内导数,则在区间内单调递减,故B正确.C.由图像可知当时,函数取得极小值,但是函数没有取得极小值,故错误.D.时,,当时,,函数为增函数,当时,,函数为减函数,则是极大值点,故D正确.故选.10.答案：AC解析：因为,所以函数的定义域为,所以,所以的图像在点处的切线方程为,即,故A正确;在上,单调递增,在上,单调递减,故错误;的极大值也是最大值为,故C正确;方程的解的个数,即为的解的个数,即为函数与图像交点的个数,作出函数与图像如图所示:由图像可知方程只有一个解,故错误.故选.11.答案：ABD解析：由已知得,恒成立,在上单调递增.又且当时,所以存在唯一实数所以在上是增函数,且存在唯一极小值点,故选项正确.可得在上单调递减,在上单调递增.又,所以在上有两个零点,故D选项正确,选项错误.故选.12.答案：ABD解析：对于选项,由函数的图像可知,,但函数在处的切线斜率不存在,图像不正确;对于选项,由函数的图像可知,函数存在增区间,但选项的图中,函数为减函数,图像不正确;对于选项,由函数的图像可知,函数在上为增函数,图像正确;对于D选项,由函数的图像可知,函数只有两个单调区间,但选项的图中,函数有三个单调区间,图像不正确.故选.13.答案： 解析：∵的定义域为若为奇函数,则若是上的增函数,则的取值范围是.14.答案：2解析：设,当时,,当时,.不妨设,故,整理得,整理得,所以.因为,故,所以.15.答案：解析：因为,所以,所以函数为奇函数.因为(当且仅当时,等号成立),所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,根据函数为奇函数可进一步化为,根据函数为增函数又可化为,即,即,解得,所以不等式的解集为.16.答案：解析：设,则..因为当时,,所以当时,函数单调递减.因为,所以当1时,;当时,.因为当时,;当时,,所以当且时,.又,所以,所以当时,.又为奇函数,所以当时,,所以不等式可化为为解得,所以不等式的解集为.17.答案：见解析解析：(1),当时,,则在处的切线方程为(2)证明:令,解得或①当时,恒成立,此时函数在上单调递减,∴函数无极值;②当时,令,解得,令,解得或函数在上单调递增,在,上单调递减,∴;③当时,令,解得,令,解得或函数在上单调递增,在,上单调递减,∴.综上,函数的极大值恒大于0.18.答案：见解析解析：(1).当时,在上恒成立,∴在上单调递减,无单调递增区间;②当,且,即时,在上恒成立,∴在上单调递减,无单调递增区间;③当,且,即时,在上,;在上,在上单调递减,在上单调递增.综上,当时,在上单调递减,无单调递增区间;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵是的极值点,∴由(1)可知.设在处的切线方程为,在处的切线方程为,若这两条切线互相平行,则,令,则,同理,.方法一:∵,且,∴.∴.设,则,∴在区间上单调递减,∴,即的取值范围是.方法二:∵,令,其中,则.∴函数在区间上单调递增,∴.∴的取值范围是.19.答案：见解析解析：(1)证明:设,∴.∵,∴在上单调递增.又时,,∴在上单调递增.又时,,故当时,.(2)∵,.当时,易知函数只有一个零点,不符合题意;②当时,在上,单调递减;在上,单调递增.又,且当时,恒成立,不妨取,且时,,所以函数在和,1)上各有一个零点,即有两个零点.③当时,由得或.( i )当,即时,在上,恒成立,故在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不符合题意.(ii)当,即时,在和上,单调递增;在上,单调递增.又,且,所以函数至多有一个零点,不符合题意.(iii)当,即时,在和上,单调递增;在上,单调递减.又,所以函数至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数的取值范围是.20.答案：见解析解析：(1)由题意知,因为,所以,所以所求切线方程为,即.(2)由(1)知,因为是的两个不同的极值点,且,所以是方程的两个根,且,可得,易得,所以,令,,因为可得,所以在上单调递减,所以,所以在上单调递减,,从而的取值范围为.21.答案：见解析解析：(1)∵,∴.∵在和时取极值,∴,∴是的两个不等实根,∴,解得,经检验,符合题意.(2)由(1)知,∴.∵是的两个不等实根,∴,∴,∴.设(1).又是的两个不等实根,∴,得(2).由(1)(2)知,而,设,则,,由二次函数的性质可知在,2)上恒成立,则在上恒成立,则在上单调递减,而,故的取值范围为.22.答案：见解析解析：时,上单调递减;当a>0在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知,当时,在上单调递减,故在上至多有一个零点,不满足条件.当时,令,则,从而在上单调递增.而,故当时,,当时,.若,则,故恒成立,从而无零点,不满足条件.若,则,故仅有一个实根,从而只有一个零点,不满足条件.若,则,注意到,,故在上至少有一个零点.又,且,故在上至少有一个零点.因为在,上单调递减,在上单调递增,所以在上至多有两个零点.又在和上均至少有一个零点,故在上恰有两个零点.综上,实数的取值范围为.