第六章 导数及其应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

这是一份第六章 导数及其应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019），文件包含第六章导数及其应用A卷·知识通关练解析版docx、第六章导数及其应用A卷·知识通关练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共111页， 欢迎下载使用。
班级 姓名 学号 分数
第六章 导数及其应用（A卷·知识通关练）
核心知识1 导数的概念
1．（2023·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
2．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）函数在区间上的平均变化率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
4．（2023·陕西汉中·高二统考期末）自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（    ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】，故时的瞬时速度是.
故选:B.
5．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知函数，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由导数的定义可知，
又，
故，
故选：B
6．（2023·山西晋城·高二统考期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ）
A．5 B．7 C．10 D．13
【答案】C
【解析】因为，所以，
则，
所以该机器人在时刻时的瞬时速度为，
故选：.
7．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）设函数在点处的切线方程为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即.
故选：A
8．（2023·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）若函数在处的导数为1，则（    ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，.
根据导数的定义可知，，
即，
所以.
故选：D.
核心知识2 导数的运算：求函数的导数
9．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）
．
（2）令，，则．
（3）因为，
所以．
10．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
11．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）
（2）
（3）令则
，故
（4）
12．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
13．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【解析】（1），.
（2），
，.
（3），

.
（4），
.
（5），
．
核心知识3 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
14．（2023·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
15．（2023·浙江省常山县第一中学高二期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
【答案】
【解析】已知当时，
由，得
根据点斜式可得：
故答案为:
16．（2023·辽宁实验中学高二开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】将代入，则，即，
由，则，由题意，，
将代入，则，由，则，
将代入，则，
则切线方程为，即.
故答案为：.
17．（2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【解析】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
18．（2023·辽宁丹东·高二期末）写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故答案为： （答案不唯一）
19．（2023·全国·高二专题练习）过点且与曲线相切的直线共有________条.
【答案】2
【解析】设切点的坐标为，因为，
所以切线的方程为，
将代入方程整理得，解得或.
故切线方程为或，
即过点且与曲线相切的直线共有2条.
故答案为：
20．（2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【解析】（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
21．（2023·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，则，
所以，，解得.
（2）因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.

核心知识4 与切线有关的综合问题
23．（2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，
对A，，则，故A不正确；
对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；
对C，，则，故C不正确；
对D，，则，故D不正确，
故选：B
24．（2023·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
25．（2023·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，

因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
26．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，，
故选：C.
27．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
28．（2023·山东烟台·高二期末）已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】的导数，
曲线在处切线斜率，
则曲线在处切线方程为，即
由于切线与曲线只有一个公共点，
联立，得
即解得
故选: A.
29．（2023·湖南郴州·高二期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为

故选：A
30．（2023·陕西·延安市第一中学高二期中（理））设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.
【解析】（1）当时，  显然定义域为R
所以
令得：或
令得：
则在上单调递增，在上单调递减，
.所以的极小值为，极大值为
（2）由于，所以.
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得：或，
令，解得：，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，则时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）已知.
设直线与曲线相切于点. 所以，
因为，，所以①，显然.
因为在处的切线方程为，又过点，
所以②，
由①、②可得
为函数的零点，
由于，所以在上单调递增，
且，则在上存在唯一零点，
因此.
31．（2023·全国·高二课时练习）已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值．
【解析】
∵，过A，B两点的切线互相垂直，∴，
∴，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值为1．
32．（2023·全国·高二课时练习）已知函数．
(1)当a＝1时，求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的取值范围．
【解析】（1）当a＝1时，，，
因为，所以， 即，
所以曲线在x＝2处的切线方程为，
即；
（2）由题意知，，
即，
整理得，因为，所以，
所以，
令，则，因为，，
所以在上单调递增，即，
所以，即，
所以，即的取值范围为．
33．（2023·全国·高二课时练习）已知两条曲线，，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】∵，，∴，．
设两条曲线的一个公共点为点，∴两条曲线在点处的切线斜率分别为，．若两条切线互相垂直，则，即，∴，
显然不成立，∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点的两条曲线的切线互相垂直．
34．（2023·全国·高二期末）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．
【解析】(1)由题设，，定义域为，
则
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，，所以，，
设直线分别与函数，的图象相切于点，
则，即
由，得
即，即
由，得，代入上式，得
即，则
设
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则在上仅有一个零点.
因为，则在上仅有一个零点.
所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.
核心知识5 最短距离问题
35．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 ________．
【答案】
【解析】因为点是曲线上的一点，故设，
所以到直线的距离为，
令，则
当单调递增；当单调递减；
所以，
所以
所以的最小值为
故答案为：
36．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为______.
【答案】
【解析】直线可化为：.
对于曲线.
当时，代入不成立，所以.
所以可化为，导数为
所以线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行线间的距离.
设切点.
由题意可得：，即，解得：或.
当时，；
当时，.
综上所述：线段长度的最小值为.
故答案为：.
37．（2023春·河北承德·高二统考阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【解析】由题意得：
设与平行的直线l与相切，则切线l的斜率
因为，所以，由，得．
当时，，即切点坐标为
则点到直线的距离就是直线上的点到直线的最短距离
所以点到直线的距离
所以曲线上的点到直线的最短距离为．
故答案为：
38．（2023春·广东广州·高二校考期中）点是曲线上任意一点，则点P到直线的最短距离为___________.
【答案】
【解析】由，
令，解得或（舍去），
又由，可得斜率为1且与曲线相切的直线的切点为，
则点P到直线的最短距离为,
故答案为：
39．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是______.
【答案】
【解析】的导数为，
设在处的切线平行于直线，
则有，得，，
即有切点为，
可得最短距离为点到直线的距离，
故答案为：．
40．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）函数上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【解析】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，
由且，令，
∴，解得（舍）或，
∴切点为，故最短距离为.
故答案为：
41．（2023春·安徽芜湖·高二校考阶段练习）点是曲线上任意一点则点到直线的最短距离为______．
【答案】
【解析】设直线与函数的图象相切于点．
∵，∴，，解得，，
∴点到直线的距离为最小距离．
故答案为：．
核心知识6 利用导数求函数的单调区间
42．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 的单调递减区间是（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
令，
故函数的单调递减区间是，
故选：C
43．（2023·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义域是，且，令，解得：，故单调递增区间是，
故选:.
44．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：C
45．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）函数的增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：函数的定义域为，
∵，
令，则，解得或，且，
∴函数的增区间是.
故选：D.
46．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调减区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵的定义域为，且，
令，解得，
∴函数的单调减区间是.
故选：D.
核心知识7 已知单调性求参数的取值范围
47．（2023·全国·高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，则在上恒成立，
所以，在上恒成立，设函数，则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围是.
故选：D.
48．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
49．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
50．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
51．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当，解得：，
由条件可知，
所以 ，解得：.
故选：D
52．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（其中），若函数为上的单调函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
（ⅰ）当时，，在递增，即在递增，
令，解得：，
故在递减，在递增，不单调，与题意不符；
（ⅱ）当时，由，
，
，
，
此时函数存在异号零点，与题意不符；
（ⅲ）当，由，可得，
由可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
故，
由题意知，恒成立，
令，则上述不等式等价于，其中，
易证，当时，，
当，时成立，
由，解得．
综上，当时，函数为上的单调函数，且单调递减；
故选：D．
53．（2023·全国·高二专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C．(1，2] D．[1，2)
【答案】A
【解析】显然函数的定义域为，．
由，得函数的单调递增区间为；
由，得函数单调递减区间为．
因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即．
综上可知实数k的取值范围是．
故选：A
54．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题, 在上恒成立.即在上恒成立.
又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.
故选：C
55．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，，
又在定义域内单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立；
，
，即实数的取值范围为.
故选：D.
核心知识8 含参数单调性讨论
56．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）当时，令，
，
可得时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
∴，即．
（2）函数的定义域为，
，  
当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；
当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减；
当时，，，函数在单调递增．
综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增.
57．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，．
(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数的单调区间．
【解析】（1）定义域为，
，因为在x＝1处取得极值，
所以，解得：，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；
（2），
当时，恒成立，令得：，
令得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，故令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，恒成立，故的单调递增区间为；
当时，，令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
58．（2023·山东潍坊·高二统考期末）已知.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间；
【解析】（1）因为，
所以，依题意，即，解得，
此时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以.
（2）因为，
所以，，
则，
令，则或，
当时，令可得，
函数的单调递增区间为；
当时，令，可得或，
函数的单调递增区间为，；
当时，在上恒成立，
函数的单调递增区间为；
当时，令可得：或，
函数的单调递增区间为，；
综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，，
当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，.
59．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【解析】由题意可知的定义域为，
，令，可得，
方程的判别式，
①当，即时，在上单调递增；
②当，即或时，由，
解得，
令，则或；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当或时，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
60．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，求的极值.
(2)讨论的单调性；
【解析】（1）当时，，
则，
令，得,


2


+
0
-

单调递增

单调递减
所以的极大值为，无极小值.
（2）的定义域为，
对于二次方程，有，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，方程有两根，
若，时，；时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
若，时，；时，；
故在与上单调递减，在上单调递增；
61．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.讨论函数的单调性；
【解析】由，得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
62．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调增区间．
(2)讨论函数的单调性．
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，，
所以.
故当时， ，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以函数的单调递增区间有和；
（2）由可得：.
①当时， ，在上单调递增；
②当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
③当时，，且仅在时，，
所以函数在上单调递增；
④当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
63．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
64．（2023·山西太原·高二校考期末）已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
又，，
整理可得曲线在点处的切线方程为；
（2），
若，由可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，
可得或，
所以在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
综上可得：
若，
在上为增函数，在上为减函数，
当时， 在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，在 为减函数，在上为增函数.
核心知识9 求函数的极值
65．（2023·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知函数，求函数的极值.
【解析】，定义域为R，.
①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当时，令，得， .
当， ；当 ， ；
∴在上单调递减，在上单调递增，
在取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
66．（2023·浙江·高二期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．
【解析】（1）由题意，，又，解得
（2）由（1），且为增函数.
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
67．（2023·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)极小值为；极大值为
(2)极大值为，没有极小值
【分析】
求出导数，根据导数的正负确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
（1）因为．
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x

－1

1


－
0
＋
0
－

单调递减
－3
单调递增
－1
单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
（2）函数的定义域为，且．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
x




＋
0
－

单调递增

单调递减
因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．
68．（2023·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
69．（2023·陕西咸阳·高二期末（理））已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．
【解析】（1）当时，，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）易得函数定义域为R，，
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
70．（2023·广东·佛山一中高二期中）已知函数在处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)求的极值点，并计算两个极值之和．
【解析】(1)因为的定义域为，，
因为，曲线在处的切线方程为，
，可得，，可得.
(2)由，得，
列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的极大值点为，极大值为，
极小值点为，极小值为，
所以，函数的极大值和极小值为.
71．（2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
【解析】（1）由可得：，即，
令，则问题转化为，
因为，
所以当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以，
故的范围为：.
（2）因为，
所以，
当时，，
当，，单调递减；
当时，，单调递增，此时的极值点为；
当时，令，得，，
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
当时，，此时，单调递增，无极值点；
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.

核心知识10 求函数的最值
72．（2023·全国·高二专题练习）函数在区间上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】由已知得，
当时，，
当时，，
所以函数在区上单调递增，在上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，
所以，所以，
所以函数在区间上的最大值与最小值之和为.
故答案为：.
73．（2023·高二课时练习）函数在区间上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】f ′(x)=6x2-4x= 2x(3x-2），
已知x∈[-1，2]，当2 ≥ x >或-1 ≤ x 0，
f（x）单调递增区间是，
当0