2024-2025学年广东省深圳外国语学校七年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校七年级下学期期末数学检测试卷，共40页。
一．选择题(共 8 小题，每小题 3 分)
1 ．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
2 ．下列运算正确的是( )
A ．a8 ÷ a4 = a2 B ．(-a2b)3 = -a6b3
C ．(-a + b)2 = -a2 - 2ab + b2 D ．a2 + a3 = a5
3 ．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60° , 90° , 210° . 让 转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率 是( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．图 1 为我国高铁座位的实物图，图 2 是它的简易图，座位AD 和座椅靠背AE 的夹角
上DAE = 100° ,小桌板 BC 与座位AD 平行，小桌板支撑杆AB 与桌面BC 的夹角
上ABC = 125° ,则座椅靠背 AE 与小桌板支撑杆AB 形成的夹角上EAB 的度数是( )
A ．25° B ．20° C ．15° D ．10°
5 ．下列说法不正确的是( )
A ．锐角三角形中每个内角都小于90° 是必然事件
B ．翻开数学课本，恰好翻到 30 页是随机事件
C ．竹篮打水属于不可能事件
D ．在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件
6．如图，两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ，将正方形EFGH 的顶点 E 与正方形ABCD 的中心重合，正方形EFGH绕点 E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为θ (0° ≤ θ≤ 360° )，两 个正方形重叠部分的面积为 S，则变量 S 与θ 的关系大致图象是( )
B．
A．
C．
D．
7 ．如图， △ABE 和 △ADC 是△ABC 分别沿着 AB，AC 边翻折形成的， CD 与BE 交于点 O， 若上1：上2：上3 = 13：3：2 ，则 上DOE 的度数为( )
A ．100° B ．90° C ．85° D ．80°
8 ．如图在四边形ABCD 中ADⅡBC ，AB = AC ，BC = 6 ， △DBC 面积为 24 ，AB 的垂直 平分线MN 分别交AB ，AC 于点 M，N，若点 P 和点 Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点， 则PB +PQ 的最小值为( )
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
二．填空题(共 5 小题，每小题 3 分)
9 ．在一个不透明的盒子中装有 4 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球是白球的概率为 ，则 n = ．
10 ．某商场自行车存放处每周存车量 5000 辆次，其中变速车车费是每辆一次 1 元，普通车 存车费每辆一次 0.5 元，若普通车存车量为x 辆次,存车的总收入为y 元，则x 和y 之间的关 系式为 .
11 ．若am = 2 ，an = 5 ，则 a2m -n = ．
12．如图，在 △ABC 中，AD 平分 BAC，BD = AD = 5，DF 丄 AC ，垂足为F，DF = 4 ，则 AB 的长为 ．
13 ．如图，在Rt△ABC 中，上BAC = 90° ,分别以 AB 、BC 、AC 为边向上作正方形
AGFB 、正方形 BCDE 、正方形 ACMN ，点 E 在FG 上，若AC = 6 ，BC = 10 ，则图中阴影 的面积为 ．
三．解答题(共 7 小题)
14 ．计算：
3
)．a2先.a -，2a)求-8 ÷a2．其中 (x +1)2 + y - 2025 = 0 ．
16 ．背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳 的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系 列排碳计算公式，根据信息，解决问题：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量(kg ) = 耗电量(KW·h)×0.785 开私家车的二氧化碳排放量(kg ) = 耗油量(L)×2.7
家用天然气的二氧化碳排放量(kg ) = 天然气使用量(m³ )×0.19 家用自来水的二氧化碳排放量(kg ) = 自来水使用量(t )×0.91
(1)若 x 表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油 量的关系式为 ．
(2)在上述关系中，耗油量每增加1L ，二氧化碳排放量就增加 kg ；当耗油量从3L 增加到8L 时，二氧化碳排放量就从 kg 增加到 kg ．
(3)小明家本月家居用电约110kW·h ，天然气 20m³ ,自来水 5t ，开私家车耗油 75L ，请你计 算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和．
17 ．尺规作图题
(1)图 1，校园一角的形状如图所示，其中AB ，BC ，CD 表示围墙，小亮通过作角平分线在 图示的区域中找到了一点 P，使得点 P 到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画 出 P 点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)
(2)图 2，已知一个点 O，请用尺规作图作一个以点 O 为顶点的直角 AOB ．(保留作图痕迹， 作图痕迹要清晰)
18 ．如图， 在 △ABC 中，AB = AC ，点 D 、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等 腰直角 △ADF ， ÐADF = 90。，作 FE 丄 BC 于点 E，FE = CE ，作 AG 丄 BC 于点 G．
(1)证明: △ADG≌△DFE ；
(2)若BD = 2 ，CE = 5 ，求S△CDF 的大小．
19 ．数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，A 种纸片是边长为 a 的正方形， B 种纸片是边长为 b 的正方形，C 种纸片是长为 b、宽为 a 的长方形，并用 A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为(a + 2b)(a + b) 的长方形，则需要 A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张， C 号卡片 张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知： a + b = 7 ，a2 + b2 = 25 ，ab 的值为 ；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果 x 满足(6 - x)(x - 2) = 3 ．求 (6 - x )2 + (x - 2)2 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法 1: 设6 - x = m，x - 2 = n ，则 (6 - x)(x - 2) = m = 3，m + n = 6 - x + x - 2 = 4 ； (6 - x )2 + (x - 2)2 ，
2 2
= m + n ，
= (m + n)2 - 2mn ，
= 42 - 2× 3 ，
= 16 - 6 ，
= 10 ； 方法 2：
∵ (6 - x)(x - 2) = 3 ，
: 6x -12 + 2x - x2 = 3 ，
:x2 - 8x = -15 ， (6 - x )2 + (x - 2)2
= 36 - 12x + x2 + x2 - 4x + 4
= 2x2 - 16x + 40
= 2 (x2 - 8x )+ 40
= 2 × (-15) + 40
= -30 + 40
= 10 ．
任务：
（3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 (x - 25)2 + (23 - x )2 = 10 ，求 (x - 25)(23 - x) 的值．
（4）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 14 ，BC = 6 ， E ， F 分别是BC，CD 上的点，且 BE = DF = x ，分别以FC，CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形 CEPF 的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为 ．
20 ．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中 出现“中点” 、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角
形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图 1，在 △ABC 中，CM 为△ABC 的中线，若AC = 3，BC = 5 ，求CM 的取值范围．
倍长中线法：如图 2，延长CM 至点 D，使得MD = CM ，连结 BD ，可证明
△ACM≌△BDM ，由全等得到 BD = AC = 3 ，从而在△BCD 中，根据三角形三边关系可 以确定CD 的范围，进一步即可求得CM 的范围为 ；
【实践应用】为了测量学校旗杆 AB 和教学楼CE 顶端之间的距离，学习小组设计了如图 3 所示的测量方案，他们首先取地面BC 的中点 D，用测角仪测得此时
上ADE = 90°, AB 丄 BC，CE 丄 BC，测得旗杆高度AB = 10m ，教学楼高度CE = 20m ， 则AE 的长为 m；
【拓展探究】如图 4 ，C 为线段AB 上一点，AC > BC ，分别以 AC、BC 为斜边向上作等腰 Rt△ACD 和等腰Rt△CBE ，M 为AB 中点， 连结DM，EM，DE ．
① 判断 △DME 的形状，并证明；
@ 若将图 4 中的等腰RtΔCBE 绕点 C 转至图 5 的位置(A ，C，B 不在同一条直线上)，连结 AB ，M 为AB 中点，且 D，E 在AB 同侧，连结DM，EM ．若 则△DAM 与 △EBM 的面积之差为 ．
1 ．C
【分析】此题考查了轴对称图形， 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这 条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C ．
2 ．B
【分析】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项， 根据幂的运 算性质、积的乘方、完全平方公式及合并同类项法则逐一判断．
【详解】解：A 、a8 ÷ a4 = a8-4 = a4 ，故 A 选项计算错误；
B 、(-a2b)3 = (-1)3 . (a2 )3 . b3 = -a6b3 ，B 选项计算正确；
C 、(-a + b)2 = (b - a )2 = b2 - 2ab + a2 ，故 C 选项计算错误；
D 、a2 与a3 不是同类项，无法合并，故 D 选项计算错误． 故选：B．
3 ．C
【分析】利用红色区域面积除以整个圆面积即可得到红色区域的占比，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，
故选 C．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是掌握P = 事件可能出现的结果 ÷ 所有可能结果．
4 ．A
【分析】此题主要考查了平行线的性质，根据 BC∥AD 得上DAB = 上ABC = 125° ,再根据
上EAB = 上DAB - 上DAE 即可得出答案． 【详解】解：∵ BC∥AD ，
: 上DAB = 上ABC ，
∵ 上ABC = 125° , : 上DAB = 125° , ∵ 上DAE = 100° ,
: 上EAB = 上DAB - 上DAE = 125° -100° = 25° .
故选：A．
5 ．D
【分析】本题考查了事件的分类， 正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解决 本题的关键．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判断即 可．
【详解】解：A ．根据锐角三角形的定义，每个内角都小于90° , 是必然事件，原说法正确， 故本选项不符合题意；
B ．翻开数学课本，可能翻到 30 页，也可能翻到其它页数，是随机事件，原说法正确，故 本选项不符合题意；
C ．竹篮是不能打到水的，属于不可能事件，原说法正确，故本选项不符合题意；
D．在纸上任意画两条直线，这两条直线可能平行，也可能相交，是随机事件，原说法错误， 故该选项符合题意；
故选：D．
6 ．B
【分析】此题考查了动点问题的函数图象， 旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点 E 作EM 丄 CD 于点 M，EN 丄 AD 于点 N，则可证明 △ENK≌△EML (ASA )，从而得出重叠部分 的面积不变，继而可得出函数关系图象．
【详解】解：如图，过点 E 作EM 丄 CD 于点 M，EN 丄 AD 于点 N，
∵点 E 是正方形的对称中心，
: EN = EM ，
由旋转的性质可得上NEK = 上MEL ， 在Rt△ENK 和Rt△EML 中，
: △ENK≌△EML (ASA )，
即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 ．
故选：B．
7 ．D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，先由三角形内角和定理得到
上2 = 30° , 上3 = 20° , 再由折叠的性质得到∠OBC = 60°, ∠OCB = 40° , 则由三角形内角和 定理可得上DOE = ∠BOC = 80° .
【详解】解：∵ 上1：上2：上3 = 13：3：2 ，上1+ 上2 + 上3 = 180° ,
由折叠的性质可得∠ACD = ∠3 = 20°, ∠ABE = ∠2 = 30° , :∠OBC = 60°, ∠OCB = 40° ,
: 上BOC = 180° - 上OBC - 上OCB = 80° ,
: 上DOE = ∠BOC = 80° , 故选：D．
8 ．C
【分析】本题考查轴对称最短问题， 平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性 质等知识，连接AQ 、AP ，过点 D 作DH丄 BC 于 H．利用三角形的面积公式求出DH ，由 题意PB +PQ = AP +PQ ≥ AQ ，求出 AQ 的最小值，可得结论．
【详解】解：连接 AQ 、AP ，过点 D 作DH丄 BC 于 H，
∵ △DBC 面积为 24 ，BC = 6 ，
: DH = 8 ，
∵ MN 垂直平分线段AB ， : PA = PB ，
: PB +PQ = AP +PQ ≥ AQ ，
:当AQ 的值最小时，PB +PQ 的值最小，
根据垂线段最短可知，当AQ 丄 BC 时，AQ 的值最小， ∵ ADⅡBC ，
: AQ = DH = 8 ，
: PB +PQ 的值最小值为 8．
故选：C．
9 ．2
【分析】本题考查了概率的计算， 分式方程的运用，根据摸出白球的概率，运用概率的计算 公式列分式方程求解即可，掌握概率的计算，分式方程的求解是解题的关键．
【详解】解：∵从中随机摸出一个球是白球的概率为 ，
解得，n = 2 ，
检验，当n =2 时，原分式方程有意义， : n =2 是原分式方程的解，
故答案为：2 ．
10 ．y=-0.5x+5000.
【分析】根据题意找到等量关系即可列出x 和y 之间的关系式.
【详解】普通车存车量为x 辆次，则变速车存车量为（5000-x）辆次， :存车的总收入为y =0.5x+1×（5000-x）=-0.5x+5000.
故填：y=-0.5x+5000.
【点睛】此题主要考查函数关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.
11 ． ## 0.8
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关 键．先根据同底数幂除法的逆用可得a2m-n = a2m ÷ an ，再根据幂的乘方的逆用计算即可得．
【详解】解：∵ am = 2 ，an = 5 ， : a2m-n = a2m ÷ an
) ÷ an
故答案为： ．
12 ．6
【分析】本题主要考查了角平分线的性质， 全等直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰 三角形的性质等内容，解题关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
过点D 作DE ^ AB ，交AB 于点E ，根据角平分线的性质证出Rt △ADF ≥Rt△ADE ，求出AE 的长度，然后证出△ABD 为等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点 D 作DE ^ AB ，交 AB 于点E ，
又∵AD 平分上BAC，DF 丄 AC ， :DE = DF ，
∵ AD = AD
: Rt △ADF≌Rt△ADE (HL)， : AE = AF ，
由勾股定理得，
AF = ==3 ， : AE = AF = 3 ，
Q BD = AD ，
:△ABD 为等腰三角形，
由三线合一得，点E 为线段AB 的中点， : AB = 2AE = 6 ，
故答案为：6．
13 ．48
【分析】本题考查求阴影部分的面积， 全等三角形的性质和判定，勾股定理，利用面积分割 法是关键．
勾股定理求出AB = = 8，根据条件证明 △CDQ≌△BCP (ASA ) ，利用全等三角形 的性质即可得到S四边形APDQ = S△ABC = 24 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，
: 上BAC = 90° , AC = 6 ，BC = 10 ，
: BCDE 是正方形，
: BC = CD ， BCP = 上D = 90° , : BAC = 上CAP = 90° ,
: DCQ + 上CQD = 上DCA + 上BPC = 90° , : CQD = 上BPC ，
: △CDQ≌△BCP (ASA ) ， : S△BCP = S△CDQ ，
: S△BCP - S△CAP = S△CDQ - S△CAD ，即 S四边形APDQ = S△ABC = 24 ， : AB2 + AC2 = BC2 ，
:阴影面积= AB2 + AC2 + S△ABC + S四边形APDQ - BC2 = 24 + 24 = 48 ， 故答案为：48 ．
14 ．(1)2
(2) -8a6
【分析】本题主要考查了幂的混合计算， 零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解 题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减即可得到答案；
（2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解
= (-2)2 +1× 1- 3
= 4 +1- 3
= 2 ；
3
（2）a2 . a4 + (-2a2 ) - a8 ÷ a2
= a6 + (-8a6 )- a6
= -8a6 ．
15 ．-2x + y ，2027
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的运算，绝对值的非负性， 先利用平方差公式，完全平方公式化简括号里的式子，再利用多项式除以单项式进行计算， 根据非负性求出 x，y 的值，代入求解即可．
【详解】解： (2x + y)(2x -y ) - (2x -y )2 ÷ (-2y)
= (4x2 - y2 - 4x2 + 4xy - y2 ) ÷ (-2y)
= (4xy - 2y2 ) ÷ (-2y)
= -2x + y ，
: (x +1)2 + y - 2025 = 0
: x +1 = 0 ，y - 2025 = 0
: x = -1 ，y = 2025
:原式= -2x + y = -2× (-1) + 2025 = 2 + 2025 = 2027 ．
16 ．(1) y = 2.7x (x ≥ 0)
(2)2.7； 8.1 ； 21.6
(3)小明家这几项二氧化碳排放量的总和为297.2kg
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键．
（1）用耗油量乘以 2.7 即可得到答案；
（2）根据开私家车的二氧化碳排放量(kg ) = 耗油量(L)×2.7 可得第一空答案；根据（1）所 求函数关系式，分别求出x =3 时和x =8 时的函数值即可得到答案；
（3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得 到答案．
【详解】（1）解：由题意得 y = 2.7x (x ≥ 0) ；
（2）解：:开私家车的二氧化碳排放量(kg ) = 耗油量(L)×2.7 ， :耗油量每增加1L ，二氧化碳排放量就增加2.7kg ；
在y = 2.7x (x ≥ 0) 中，当x = 3 时，y = 2.7x = 2.7 × 3 = 8.1 ；当 x = 8 时， y = 2.7x = 2.7 × 8 = 21.6 ；
:当耗油量从3L 增加到8L 时，二氧化碳排放量就从8.1kg 增加到21.6kg ．
（3）解：110 × 0.785 + 20 × 0.19 + 5 × 0.91+ 75 × 2.7
= 86.35 + 3.8 + 4.55 + 202.5
= 297.2kg ．
答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为297.2kg ．
17 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质定理，
（1）分别作 ABC 、上BCD 的角平分线BP 、CP ，BP 与CP 的交点即为满足条件的点P；
（2）首先过点 O 作直线l，以点 O 为圆心，适当长度为半径画弧交 l 于点A ，C，然后作出 AC 的垂直平分线，然后在垂直平分线上取点 B，连接 AB ，即可得到直角 AOB ．
【详解】（1）如图所示，点 P 即为所求；
（2）如图所示，直角 AOB 即为所求；
18 ．(1)见解析
(2)30
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）利用 AAS 证明 △ADG≌△DFE ，即可；
（2）利用等腰三角形的性质结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ AH 丄 BC ，
: 上AGD = 90° , ∵ FE 丄 BC ，
: 上DEF = 90° ,
∵△ADF 是等腰直角三角形，
: AD = DF ，上ADF = 上ADG + 上EDF = 90° ,
: 上ADG + 上DAG = 90° , : 上EDF = 上DAG ，
在 △ADG 和△DFE 中，
ï
ì上DAG = 上EDF
í上AGD = 上DEF ， ïlAD = FD
: △ADG≌△DFE (AAS)；
（2）解：: DG = EF = 5 ， : BG = CG = 7 ，
: CD = BC - BD = 2BG - BD = 12 ，
19 ．（1）3；（2）12；（3）-3 ；（4）144
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应 用，熟知完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出(a + 2b)(a + b) 的结果即可得到答案；
（2）根据2ab = (a + b)2 - (a2 + b2 ) 计算求解即可；
（3）方法 1：设x - 25 = a，23 - x = b ，则a + b = -2 ，a2 + b2 = 10 ，再同（1）求解即可；方法
2：利用多项式乘以多项式的计算法则可得x2 - 48x = -572，再把(x - 25)(23 - x)展开，并利 用整体代入法求解即可；
（4）由题意得，CF = 14 - x，CE = 6 - x ，根据长方形CEPF 的面积为 40，得到 (14 - x)(6 - x) = 40 ，设14 - x = m，6 - x = n ，则 m - n = 8，mn = 40 ，再根据
(14 - x )2 + (6 - x )2 = m2 + n2 = (m - n)2 + 2mn计算求解即可．
【详解】解：（1）(a + 2b)(a + b)
= a2 + 2ab + ab + 2b2
= a2 + 3ab + 2b2 ，
:要拼出一个面积为(a + 2b)(a + b) 的长方形，则需要 A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡 片 3 张；
（2）: a + b = 7 ，a2 + b2 = 25 ，
: 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2 ) = 72 - 25 = 24 ， : ab = 12 ；
（3）方法 1：设 x - 25 = a，23 - x = b ， : a + b = x - 25 + 23 - x = -2 ，
: (x - 25)2 + (23 - x )2 = 10 ，
: a2 + b2 = 10 ，
方法 2 ：: (x - 25)2 + (23 - x )2 = 10 ， : x2 - 50x + 625 + 529 - 46x + x2 = 10 ，
: 2x2 - 96x + 1144 = 0 ， : x2 - 48x = -572 ，
: (x - 25)(23 - x)
= 23x - 575 - x2 + 25x
= - (x2 - 48x )- 575
= - (-572) - 575
= 572 - 575
= -3 ；
（4）由题意得，CD = AB = 14 ， : BE = DF = x ，
: CF = CD - DF = 14 - x，CE = BC - BE = 6 - x ， :长方形CEPF 的面积为 40，
: CE . CF = 40 ，
: (14 - x)(6 - x) = 40 ，
设14 - x = m，6 - x = n ，则 m - n = 8，mn = 40 ， : (14 - x )2 + (6 - x )2
2 2
= m + n
= (m - n)2 + 2mn
= 82 + 2 × 40
= 64 + 80
= 144 ，
:图中阴影部分的面积和为 144．
20 ．阅读理解：1 < CM < 4 ；实践应用：30 ；拓展探究：① △DME 为等腰直角三角形，见 解析；②
【分析】本题考查三角形中线的性质， 三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，全等三 角形的判定与性质，三线合一，垂直平分的判定与性质，平方差公式，正确作出辅助线是解 题的关键．
阅读理解：先证明△ACM≌△BDM ，可得5 - 3 < CD < 3 + 5 ，CD = 2CM ，代入即可解答； 实践应用：延长AD, EC 交于点 F．证明 △ADB≌△FDC ，得出 AD = DF ，AB = CF ，再进 一步结合三线合一的性质，即可证明结论．
拓展探究：①延长DM ，使得DM = MF ，连接EF, BF ，先证明 △ADM≌BFM ，继而证明 出△BEF≌CED, 则可推导出ME 丄 DF, ∠DEM = ∠FEM = 45° , ∠DME = 90°, 即可解答；
②延长DM ，使得DM = MF ，连接EF, BF, DE ，先证明 △ADM≌BFM ， △BEF≌CED, 可 推导出∠EMB +∠BMF = 90° , 过点 F 作FN 丄 AB 于点 N，过点 E 作EH丄 AB 于点 H，证 明△MNF≌△EHM ，得到NF = MH, EH = MN ，
设FN = MH = a, MN = EH = b, BN = c, BH = d ，有b + c = a + d ， 即
则S△ADM - S△BEM = S△BMF - S△BEM = (a + d)(a - b) ，即可解答．
【详解】解：阅读理解：
:CM 为△ABC 的中线，BD = AC = 3 ，BC = 5 ， : AM = BM ，
: MD = CM ， ∠AMC = ∠BMD ， :△ACM≌△BDM ，
: 5 - 3 < CD < 3 + 5 ，CD = 2CM 即2 < 2CM < 8 ，
: 1 < CM < 4 ．
故答案为：1 < CM < 4 ．
实践应用：如图，延长AD, EC 交于点 F，
∵ BC 的中点为 D，
: BD = CD ，
∵由题意可得：上B = 上DCE = 90° = 上DCF ，
而上ADB = 上CDF ，
: △ADB≌△FDC ，
: AD = DF ，AB = CF = 10m ，
∵ CE = 20m ，上ADE = 90° ,
: EF = CE + CF = 20 +10 = 30m ，DE 是AF 的垂直平分线， : AE = EF = 30m ．
拓展探究：①延长DM ，使得DM = MF ，连接EF, BF ，如图
∵等腰Rt△ACD 和等腰Rt△CBE
:∠ADC = ∠BEC = 90°, AD = CD, BE = CE, ∠A = ∠ACD = ∠CBE = ∠BCE = 45° ,
:∠DCE = 180° -∠ACD -∠BCE = 90° , ∵点M 是AB 中点，上AMD = 上BMF ，
: AM = BM ，
: △ADM≌BFM ，
:∠FBM = ∠A = 45°, FB = AD ，
: BF = CD ，上EBF = 上CBF + 上CBE = 90° , :∠EBF = ∠DCE = 90° ,
:△BEF≌CED,
: DE = EF, ∠DEC = ∠FEB ，
:∠DEF = ∠DFC +∠CEF = ∠BEF +∠CEF = ∠BEC = 90° ,
:∠DME = 90°,
: △DME 为等腰直角三角形．
②延长DM ，使得DM = MF ，连接EF, BF, DE ，如图
∵等腰Rt△ACD 和等腰Rt△CBE ，
上DAC = 上ACD = 上CBE = 上BCE = 45° ,
:∠DCE = 180° -∠ACD -∠BCE -∠CAB -∠ABC
= 90° -∠CAB -∠ABC ，
∵点M 是AB 中点，上AMD = 上BMF ， : AM = BM ，
: △ADM≌BFM ，
∠EBF = ∠MBF + ∠MBE = ∠DAM + ∠CBE -∠ABC
= ∠DAC + 45° -∠ABC = 90° -∠BAC -∠ABC ． :∠EBF = ∠DCE ，
:△BEF≌CED,
: DE = EF, ∠DEC = ∠FEB ，
:∠DEF = ∠DFC -∠CEF = ∠BEF -∠CEF = ∠BEC = 90° ,
:∠DME = ∠EMF = 90°, DM = ME = MF ， :∠EMB +∠BMF = 90° ,
过点 F 作FN 丄 AB 于点 N，过点 E 作EH丄 AB 于点 H，有
∠FNM = ∠EHM = 90° , :∠NMF +∠MFN = 90° , :∠MFN = ∠FMH ，
:△MNF≌△EHM ，
: NF = MH, EH = MN ，
设FN = MH = a, MN = EH = b, BN = c, BH = d ，
: MN + BN = MH + BH ，BN2 + FN2 = BF2 , BH2 + EH2 = BE2 ，
(a + d)(a - d) + (c + b)(c - b) = ，
(a + d)(a - d) + (a + d)(c - b) = ，
即
= 1 BM (FN - EH) = 1 (a + d)(a - b) = 1 × 8 = 4 ．
2 2 2 9 9