2024_2025学年_福建泉州高一第一学期期末考试数学试卷（附解析）

这是一份2024_2025学年_福建泉州高一第一学期期末考试数学试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．1B．C．D．
4．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则“是第一象限角或第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的部分图象如图，则（ ）
A．B．1C．D．
8．已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
11．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
12．已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．在是减函数
D．存在实数使得函数在是减函数
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知，则的最小值是 .
14．若扇形的周长为，面积为，则它的圆心角的弧度数为 .
15．在区间上单调递增；则的取值范围是 .
16．已知函数的图像关于中心对称，且在区间上单调递减，则的值可以是 .（写出一个符合题意的的值即可）
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
18．在平面直角坐标系中，角与的顶点均与直角坐标系的原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合.已知角的终边与单位圆交于点，若将绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.
(1)求的值；
(2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
20．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，扇形的半径为，，.记弧的中点为G，连接，分别与，交于点M，N，连接，设.
(1)求矩形的面积关于的函数；
(2)求矩形的最大面积.
21．已知函数在上为奇函数，.
(1)求实数m的值；
(2)存在，使成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若恒成立，求n的取值范围.
22．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】根据题意，，
所以.
故选:B.
2．【正确答案】C
【详解】由题意.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】，所以，所以.
故选：B
4．【正确答案】A
【详解】若是第一象限角或第二象限角，则，若，则，但不是象限角；
所以“是第一象限角或第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；
由三角函数单调性可知；
利用指数函数为单调递增可得；
所以.
故选：C
6．【正确答案】A
【详解】
故选：A
7．【正确答案】A
【详解】由图及题设知，把点代入，得，
由五点描图法可得，所以，故，
所以.
故选：A
8．【正确答案】B
【详解】因为是偶函数,即,对恒成立.
即对恒成立.
即.
又,即.
.
又对于恒成立.
所以
当
即当,
当,
所以当时, 的最大值为.
故选:B
9．【正确答案】BC
【详解】由题意，解得，故A错误；
而，且，即，所以，故C正确；
联立与，解得，所以，故B正确；
又，所以，故D错误.
故选：BC.
10．【正确答案】AB
【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，
所以，可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误；
对于D，当时，，所以，
可得，故D错误.
故选：AB.
11．【正确答案】ABD
【详解】由题意，的最大值为，最小值为，
则，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，
则，所以，故C错误；
由，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】ABD
【详解】令，则，即，
解得或，
当时，令，，则，解得，
与时，矛盾，所以，故A正确；
当时，则，故，
令，则，
整理得，则，
∵，∴，，∴，故B正确；
设，则，
，
∵，，∴，，
∴，∴，
所以函数在上单调递增，故C错误；
因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数，
若在上递减，则时，，
则时，，即，
又因为当时，，所以，故D正确．
故选：ABD．
13．【正确答案】
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由题意可知，解得，
设扇形的圆心角为，则.
故
15．【正确答案】
【详解】由函数在单调递减，
因为在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为.
16．【正确答案】（答案不唯一）
【详解】由题意得，则，
即，，解得，，
又因为，即，，
单调递减，所以，，解得，，
所以当，时，得时满足题意（本题答案不唯一，只需所取同时满足和即可）.
故答案为.
17．【正确答案】(1)在上是奇函数
(2)
【详解】（1）由题意的定义域为，它关于原点对称，
且，
所以在上是奇函数.
（2）由题意，所以，解得，
即不等式的解集为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意角的终边与单位圆交于点，
所以，.
（2）由题意，
.
19．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得到函数，
由题意可知，函数为奇函数，则，
可得，又因为，则.
（2）解：由（1）可知，，
则，
因为，则，
由，可得，
因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
20．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
代入数值并化简可得
，
所以矩形的面积关于的函数
①，
利用降幂公式，二倍角公式，辅助角公式化简上式可得
①，
所以
（2）由正弦函数的值域可知，当时，
21．【正确答案】(1)
(2)（i）（ii）
【详解】（1）由题意函数在上为奇函数，
所以，
因为，所以解得，经检验符合题意.
（2）（i）由（1）得在上为奇函数，
显然在上单调递增，在上单调递减，
所以由复合函数单调性可知在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以
，
即，
因为，所以，所以；
（ii）由（2）（i）得，所以，
若恒成立，
则恒成立，
所以当，即时，，
所以n的取值范围为.
22．【正确答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【详解】（1），，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（2）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
在值域包含，
当时，，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.