2024_2025学年_福建泉州高一第一学期1月期末数学教学试卷（附解析）

这是一份2024_2025学年_福建泉州高一第一学期1月期末数学教学试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合 ，，则 （ ）
A．B．,C．D．
2．已知角终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则 （ ）
A．B．C．D．
6．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
8．生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（ ）
A．
B．
C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D．8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
9．定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．2是的一个周期
C．是的一个对称中心D．为偶函数
10．已知，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题（本大题共4小题）
11．已知 ，则 .（结果用 表示）
12．函数的零点个数为 .
13．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 .
14．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题）
15．集合.
(1)若，求
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
16．已知二次函数 的图象过原点，且满足 .
(1)求的解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出其单调递增区间；
(3)对于任意，函数在上都存在一个最大值，写出关于的函数解析式.
17．已知函数的图象关于点对称.
(1)求的最小正周期和对称轴方程：
(2)已知,求 .
18．已知.
(1)证明是奇函数，并说出在其定义域上的单调性；
(2)若存在实数和，使得，且，求的取值范围.
19．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量.
(1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释；
(2)已知，
①求 ；
②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？
20．给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.
(1)证明：函数对于不具有“确界保持性”；
(2)判断函数对于是否具有“确界保持性”；
(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意集合 ，，
则 ，
故选：A
2．【正确答案】B
【分析】根据角终边上一点的坐标，结合正切函数的定义，即可得答案.
【详解】由题意知角终边上有一点，
故，
故选：B
3．【正确答案】C
【分析】直接由作差法逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意，即，故A错误；
对于B，由题意，即，故B错误；
对于C，由题意，即，故C正确；
对于D，由题意，即，故D错误.
故选：C.
4．【正确答案】A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
5．【正确答案】B
【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可.
【详解】由题意，所以，
化简得，因为，所以，
所以，解得.
故选：B.
6．【正确答案】B
【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；
又因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
结合题意可得，解得，
即实数的取值范围为，
故选：B
7．【正确答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性,一一判断各选项中的函数性质，即可得答案.
【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，的定义域为R，且为奇函数，在R上单调递增，正确；
对于C，设，定义域为R，满足，
故函数为奇函数；
当时，在上单调递增，且，
当时，在上单调递增，且，
故在R上单调递增，C正确；
对于D，设，定义域为R，且满足，
故为奇函数；
又在R上单调递增，在R上单调递减，
故在R上单调递增，D正确，
故选：BCD
8．【正确答案】AD
【分析】根据题意可得函数最小正周期，即可求得，判断A；结合函数的最值可确定的值，判断B；结合函数的单调性以及周期，可判断C；根据函数最小值求出，可得函数解析式，由题意列出不等式，求得t的范围，结合k的取值，即可判断D.
【详解】不妨设8月1日时为，则设T为最小正周期，则，
即，A正确；
又，B错误；
因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加，
从8月19日至25日逐渐减少，C错误；
由以上分析可知，
当时，y取到最小值100，即，
故，
则，
令，则，
则，即，
故或或，共13天，D正确，
故选：AD
9．【正确答案】ACD
【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解.
【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确；
且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误；
因为，所以的对称轴为，
又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确；
因为，所以，即为偶函数，故D正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】ABD
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于，故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
即的最小值为 ，A正确；
对于B，由于，，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，得，
故
由于，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，则，
故，
由于，故，
，
则，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD
难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解.
11．【正确答案】
【分析】直接由换底公式即可得解.
【详解】由题意.
故答案为.
12．【正确答案】1
【分析】判断函数的单调性，分类讨论k的取值范围，结合零点存在定理，即可求得答案.
【详解】由题意知在上单调递减，
当时，，此时函数有1个零点；
当时，，
，此时函数在上有唯一零点，
当时，，
，此时函数在上有唯一零点，
综合可得函数的零点个数为1，
故1
13．【正确答案】
【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解.
【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以，
所以，
又的图象也过点，
所以，又，解得，
所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.
【详解】由题意得，
当时，有，此时，
令，则，
因为时，所以，
因为对于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，如图所示：
由图可知，，所以.
故答案为.
关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.
15．【正确答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）解不等式求出集合A，根据集合补集以及并集运算，即可求得答案；
（2）根据是的充分条件，可得，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由，解得，则，
时，，
故或，；
（2）因为，，
而 是的充分条件，故，
故，解得.
16．【正确答案】(1)
(2)图象见解析，
(3)
【分析】（1）设，利用待定系数法，求出，即得答案；
（2）化简为分段函数形式，即可作出其图象，根据图象可得单调递增区间；
（3）结合图象求出时，时，，分段讨论t的取值范围，即可得M的表达式.
【详解】（1）设，由于二次函数 的图象过原点，故，
由，得，
即，故，
故；
（2），
作出其图象如图：
单调递增区间为；
（3）由的图象可知，当时，由，得，
当时，；
当时，；
当时，，
故.
17．【正确答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简的表达式，结合其图象关于点对称，求出a的值，可得的解析式，即可求得最小正周期，结合正弦函数的对称性即可求得其对称轴方程；
（2）由得出，利用二倍角公式可求出的值，再利用诱导公式即可求得，即得答案.
【详解】（1）由题意得，
该函数图象关于点对称，则，
即，解得，
故，则的最小正周期为；
令，则，
即的对称轴方程为；
（2）因为，故，
则，
故.
18．【正确答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）直接由奇函数的定义证明即可，由复合函数单调性证明即可.
（2）首先得在有解，等价转换为在上有解，分类讨论即可得解.
【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称，
且，所以是奇函数，
由复合函数单调性可知单调递减.
（2）因为，是奇函数，且在上单调递减，
所以，
由题意得在有解，
，
令，则，
令，则，
由得，
因为在上单调递减，在上单调递增，且时，，或时，，
所以，
在有解，等价于在上有解.
当时，，
因为，所以满足题意；
当时，因为，所以满足题意；
当时，，
令，解得，
所以在上有解，所以的取值范围为.
19．【正确答案】(1)；解释见解析
(2)①1，2；②答案见解析
【分析】（1）根据题意即可确定的值，并得出的值的一个合理的解释；
（2）①根据，结合函数解析式，即可求得答案；
②求出两种方案下的残留污渍量，作差比较大小，即可得到结论.
【详解】（1）由题意得，
的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化；
（2）①，由，，得；
又，则，
②，设清洗前物品上污渍残留量为单位1，
“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为，
“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为，
，
当时，，即“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好；
当时，，两种方案效果相同；
当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好.
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令，以特殊值说明函数不满足值域为，即可证明结论；
（2）根据对于具有“确界保持性”的定义，说明满足定义中的条件，即可得出结论；
（3）根据的结构特点，先确定时，函数符合题意，再分别说明和时，函数值域不符合题意，即可确定答案.
【详解】（1）证明：令，
因为，不满足函数值域为，
故函数 对于不具有“确界保持性”；
（2）函数对于具有“确界保持性”；
理由如下：
令，
在上单调递减，且当时，，
故函数对于具有“确界保持性”；
（3）令，
根据“确界保持性”定义可知在上单调递减，
故，即的值域为；
由于
，
可以看到，若当，即时，
则可化简为，且在上均单调递减，
故先证明符合题意；
当时，，
先证明在上单调递减，
设，
则
当时，，
故，，
，
则，
即，
故，即，
所以在上单调递减；
故，
又因为，
当x趋向于无限大时，均无限接近于0，且大于0，
即，且无限接近于0，
故的值域为，
故函数对于具有“确界保持性”，
当时，，
取，则，不满足函数值域为，
此时，不符合题意，舍去；
当时，，，
则，
取，则，不满足函数值域为，
此时，不符合题意，舍去；
综上，当时，函数对于具有“确界保持性”.
难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，难点在于（3）中根据函数对于具有“确界保持性”，求解参数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符合题意，即可解决问题.