福建省泉州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份福建省泉州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，.
故选：C.
2. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】令，解得，令，解得，
得到，
即可以推出，推不出，
得到“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A选项：函数定义域为，，函数是偶函数，A选项排除；
B选项：函数定义域为，，函数是奇函数，
且函数在单调递增，B选项正确；
C选项：函数定义域为，，函数偶函数，C选项排除；
D选项：函数定义域为，D选项排除.
故选：B.
4. 已知，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，∴，
当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
5. 函数且的图象如图所示，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数，
根据复合函数单调性同增异减可知，，
，所以，，
由图可知当时，，所以A选项正确.
故选：A.
6. 《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（ ）（参考数据：）
A. 10B. 12.5C. 13D. 26
【答案】C
【解析】扇形的半径，面积为，
，
三角形的面积为，
所以弧田的面积约为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以，
所以，
，
所以.
故选：D.
8. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵函数在上单调递增，
∴当时，，
令，，
当时，函数对称轴，则函数在上单调递增，
则，即函数的值域为，
要想函数的值域为，则，即，∴，
当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即函数值域为，
∵，∴此时函数的值域为，即，
综上所述：.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确.
B选项，若，当时，，所以B选项错误.
C选项，若，则，C选项正确.
D选项，若，则，D选项错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的取值范围为
D. 使得成立的的取值集合为
【答案】ACD
【解析】由解析式知道，则周期，故A选项正确；
令，解得，
∴在区间上单调递增，在上递减，故B选项错误；
当时，，即，故C选项正确；
令，解得或，
由函数单调性可知成立的的取值集合为，故D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（ ）
A.
B.
C. 直线是函数的一条对称轴
D. 若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32
【答案】ACD
【解析】因为的图象关于直线对称，根据函数图象平移规律，
将的图象向左平移个单位得到的图象，
所以的图象关于对称，即是偶函数，，
已知，令，则，
由于，所以，故A正确，
由，可得，进而，
所以函数是周期为的周期函数，
对任意，当时，，
移项得到，这意味着当，即时，，
所以在上单调递增，
因为是偶函数，所以在上单调递减，，，
由于在上单调递减，所以，即，故B错误，
函数的周期为，又因为的图象关于直线对称，
所以的图象关于轴对称，即，
因为的图象关于轴对称，所以，
又因为的周期为，则，
再根据，可得，
同样，，而，
，
所以，设，则，
因为是偶函数，所以，
那么，
所以直线是函数的一条对称轴，C选项正确，
令，即，
设，，关于对称，
是周期为的偶函数，
由在区间上有个零点，这个零点两两关于对称，
设这个零点为，则，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 使得有意义的的取值集合为__________.
【答案】或
【解析】若有意义，则且，
即的取值集合为或.
13. 写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________.
①为幂函数；
②为偶函数；
③在区间上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减，
所以中，是偶数且为负数，所以符合题意.
14. 在平面直角坐标系中，已知角为第一象限角，其终边和单位圆的交点与点关于直线对称，则__________.
【答案】
【解析】由已知点的坐标为，且，，
又点与点关于直线对称，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
又为锐角，所以，所以，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值.
解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）由，可得，
所以
.
16. 已知集合，集合.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
令，解得，
所以，故或.
（2）由得到，
（i）当时，，
因为，所以，解得.
（ii）当时，，
因为，所以，解得.
（iii）当时，，
因为，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
17. 已知函数为奇函数.
（1）求实数，判断并根据定义证明的单调性；
（2）求不等式的解集.
解：（1）求解法一：
函数的定义域为，
因为为奇函数，所以，
所以，所以，
解得.
求解法二：
由即，
解得，此时.
因为，所以为奇函数，符合题意.
以下用定义证明是增函数：
任取，且，则
，
又因为在上单调递增，且，所以，故，
又，所以，
所以函数在上单调递增.
（2）由，可得，
又因为为奇函数，所以，
所以，
又函数在上单调递增，所以，
即，即，
解得，所以不等式解集为.
18. 已知函数其中.
（1）当时，
（i）按关键点列表，并画出函数的简图；
（ii）写出的单调区间；
（2）是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由.
解：（1）（i）当时，列表如下：
描点如图：
（ii）由图可知，单调递增区间：；
单调递减区间：.
（2）存在实数，使得的图象是中心对称图形；
对称中心为.
下证明：①对于任意.
所以
；
②对于任意，.
所以
；
综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称.
19. 函数和的定义域分别为，如果对于中的任意一个数，按照的对应关系，在中都有且仅有个确定的数与之对应，则称为的“函数”.例如：，则为的“函数”.
（1）设，判断以下两种说法是否正确，并说明理由：
①是的“函数”；②是的“函数”；
（2）设，判断是否为的“函数”，若是，求；若不是，请说明理由；
（3）设，若为的“函数”，求的取值范围.
解：（1）①是正确的，因为对，
按照的对应关系，即，
所以，所以，对，按照的对应关系，
在中都有且仅有1个确定的数与之对应所以，是的“函数”，所以，①正确；
②是错误的，因为当时，，
因为，按照的对应关系，此时不存在，使得.
所以，不是的“函数”，所以，②错误.
（2），
且，，
因为，
当，有，
所以在上单调递减；
当，有，
所以在上单调增减.
因为，所以，在上单调递减，在上单调递增.
所以，有.
因为，所以，问题等价于对于中的任意一个数，
关于的方程在内都恰有几个解的问题，
令，则，问题等价于判断对于，
方程在内都恰有几个解，
记，因为，
当，
又在单调递增，
所以在都恰有1个解；
当，
又在单调递减，
所以在都恰有1个解；
当，此时方程没有解，
所以，方程在内恰有2个解，即一个周期内方程都恰有2个解.
所以，方程在内恰有4个解，所以对于中的任意一个数，
按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应，
即为的“函数”，所以.
（3）由（2）可知有.
，
因为为的“函数”，即对于中的任意一个数，
按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应，
即对于，关于的方程都恰有4个解.
令，则，此时问题等价于对于，
关于的方程在上都恰有4个解，
令，由（2）可知，
要使在上都恰有4个解，
则关于的方程在必有2个不同的解，
记，因为的对称轴，
所以，关于的方程的两根应满足，
所以
即
即
因为，所以
所以.