2025-2026学年度冀教版数学八年级上册第一十七章 特殊三角形 单元测试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年度冀教版数学八年级上册第一十七章 特殊三角形 单元测试卷（含答案），共18页。
第十七章 特殊三角形 综合素质评价一、选择题（每题3分，共36分）1．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，第一步应假设（ ）A. a不平行于bB. a平行于bC. a不垂直于cD. b不垂直于c2．母题 教材P163习题T3 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=35∘ ,则∠C的度数为（ ）（第2题）A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘3．如图，在△ABC中，∠BAC=62∘ ，∠C=48∘ ,AD⊥BC于点D,则∠BAD的度数是（ ）（第3题）A. 15∘ B. 16∘ C. 18∘ D. 20∘4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30∘ ，则OA的长为（ ）（第4题）A. 3B. 32C. 2D. 15．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60∘ 方向以9节（1节=1 海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60∘ 方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）（第5题）A. 9海里B. 12海里C. 15海里D. 30海里6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90∘ ，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）（第6题）A. AB=DCB. AC=DBC. ∠ABC=∠DCBD. ∠ABD=∠DCA7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC等于（ ）（第7题）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘8．[［2025沧州期末］]如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC=∠ACD=2∠B，下列判断正确的是（ ）（第8题）①若AB=27，△ADC的周长为43，则CD=11；②若∠A=36∘ ，则图中共有2个等腰三角形A. 只有①正确B. 只有②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确9．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘ ，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）（第9题）A. 53B. 52C. 4D. 510．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是（ ）（第10题）A. 3B. 4C. 5D. 611．如图，圆柱底面半径为52πcm，高为36cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）（第11题）A. 39cmB. 30cmC. 18cmD. 24cm12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N.连接MN，QC.下列说法：①∠AQB=60∘ ；②△CMN是等边三角形；③QC平分∠AQE；④△AMC≌△BNC；⑤QC2+QD2=2QE2，其中正确的有（ ）（第12题）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，若AB=AC=BC=DB，则∠D的度数为_ _ _ _ _ _ .（第13题）14．若a，b为等腰三角形ABC的两边，且满足(a−4)2+b−8=0，则三角形ABC的周长为.15．[［2025上海黄浦区期末］]将两块斜边长等于2的三角板(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边完全叠合，按如图所示摆放，E为AB的中点，连接EC，ED，CD,那么△ECD的面积等于_ _ _ _ _ _ .（第15题）16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数.（1） 任意写出满足条件的一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（2） 某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，则该直角三角形的面积为_ _ .三、解答题（共72分）17．（8分）如图，已知线段AB.用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB=90∘ ，且AC=BC.要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.18．（8分）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70∘ ，∠BCE=30∘ ，求∠EBF与∠FBC的度数．19．（8分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合.20．（8分）如图,在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25km.已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE=BE，求CE的长.21．[［2025承德期末］]（12分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.（1） 请你判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2） 若AB+AC=20，S△ABC=60，求DE的长.04分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点.由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q 不与点B 重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.（1） 若设AP的长为x，则PC=_ _ _ _ _ _ ，QC=_ _ _ _ _ _ .（2） 当∠BQD=30∘ 时，求AP的长.（3） 在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.23．（14分）如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC=90∘ ，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，连接AC.（1） 求证：△FBD≌△ACD;（2） 延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE=12BF;（3） 在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②. 试探索CE，GE,BG之间的数量关系，并证明你的结论.第十七章 特殊三角形 综合素质评价 答案版一、选择题（每题3分，共36分）1．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，第一步应假设（ ）A. a不平行于bB. a平行于bC. a不垂直于cD. b不垂直于c【答案】A2．母题 教材P163习题T3 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=35∘ ,则∠C的度数为（ ）（第2题）A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘【答案】C3．如图，在△ABC中，∠BAC=62∘ ，∠C=48∘ ,AD⊥BC于点D,则∠BAD的度数是（ ）（第3题）A. 15∘ B. 16∘ C. 18∘ D. 20∘【答案】D4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30∘ ，则OA的长为（ ）（第4题）A. 3B. 32C. 2D. 1【答案】A5．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60∘ 方向以9节（1节=1 海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60∘ 方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）（第5题）A. 9海里B. 12海里C. 15海里D. 30海里【答案】D6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90∘ ，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）（第6题）A. AB=DCB. AC=DBC. ∠ABC=∠DCBD. ∠ABD=∠DCA【答案】D7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC等于（ ）（第7题）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘【答案】A【点拨】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60∘ .∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD=12∠BAC=30∘ ，AD⊥BC.∴∠ADC=90∘ .∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180∘−∠CAD2=180∘−30∘2=75∘ .∴∠EDC=15∘ .8．[［2025沧州期末］]如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC=∠ACD=2∠B，下列判断正确的是（ ）（第8题）①若AB=27，△ADC的周长为43，则CD=11；②若∠A=36∘ ，则图中共有2个等腰三角形A. 只有①正确B. 只有②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】A【点拨】①∵∠ADC=∠ACD=2∠B，∠ADC=∠BCD+∠B，∴AD=AC，∠BCD=∠B.∴BD=CD.∵AB=27，△ADC的周长=AD+AC+CD=AD+AD+BD=AB+AD=43，∴AD=43−27=16.∴CD=BD=AB−AD=11，故①正确；②∵∠A=36∘ ，AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=180∘−36∘2=72∘ .∴∠BCD=∠B=12∠ADC=72∘÷2=36∘ .∴∠A=∠B.∴AC=BC.∴ 易知图中共有3个等腰三角形，故②错误.9．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘ ，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）（第9题）A. 53B. 52C. 4D. 5【答案】C【点拨】设BN=x，由折叠可得DN=AN=9−x.因为D是BC的中点，所以BD=3.在Rt△BDN中，由勾股定理得x2+32=(9−x)2，解得x=4,即BN的长为4.10．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是（ ）（第10题）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【点拨】如图，分情况讨论：①AB为底边时，符合条件的格点C有2个；②AB为其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个.故符合条件的格点C有5个.11．如图，圆柱底面半径为52πcm，高为36cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）（第11题）A. 39cmB. 30cmC. 18cmD. 24cm【答案】A12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N.连接MN，QC.下列说法：①∠AQB=60∘ ；②△CMN是等边三角形；③QC平分∠AQE；④△AMC≌△BNC；⑤QC2+QD2=2QE2，其中正确的有（ ）（第12题）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【点拨】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60∘ ，∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中，BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=DC,∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴∠CAD=∠CBE.∵∠AMC=∠BMQ，∴∠AQB=∠ACB=60∘ ，故①正确；②∵∠ACB=∠DCE=60∘ ,∴∠BCN=60∘ .∵∠CAM=∠CBN，AC=BC，∠ACM=∠BCN=60∘ ，∴△AMC≌△BNC(ASA)，∴CM=CN，∴△CMN是等边三角形，故②④正确；③如图①，过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BE于点G，∴∠AHC=∠BGC=90∘ .∵AC=BC，∠CAH=∠CBG，∴△ACH≌△BCG(AAS)，∴CH=CG.又∵CH⊥AD，CG⊥BE，∴QC平分∠AQE，故③正确；⑤如图②，过点C作CK//BE，交AD于K，由③知QC平分∠AQE，∴∠EQC=60∘ .∵CK//BE，∴∠EQC=∠KCQ=60∘=∠DCE，∴∠QCE=∠KCD.∵CD=CE，∠ADC=∠BEC，∴△DCK≌△ECQ(ASA)，∴CK=CQ，QE=KD，∴△CKQ是等边三角形，∴KQ=CQ，∴QE=DK=KQ+QD=CQ+QD，∴QE2=(CQ+QD)2=CQ2+2CQ⋅QD+QD2，故⑤不正确.综上，正确的有①②③④，共4个.二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，若AB=AC=BC=DB，则∠D的度数为_ _ _ _ _ _ .（第13题）【答案】30∘ 14．若a，b为等腰三角形ABC的两边，且满足(a−4)2+b−8=0，则三角形ABC的周长为.【答案】2015．[［2025上海黄浦区期末］]将两块斜边长等于2的三角板(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边完全叠合，按如图所示摆放，E为AB的中点，连接EC，ED，CD,那么△ECD的面积等于_ _ _ _ _ _ .（第15题）【答案】14 16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数.（1） 任意写出满足条件的一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（2） 某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，则该直角三角形的面积为_ _ .【答案】（1） 8,15,17（答案不唯一）（2） 210【解析】（2） 【点拨】∵n=5，∴a=12(m2−25),b=5m,c=12(m2+25).∵ 直角三角形的一边长为37，∴ 分三种情况讨论：①当a=37，即12(m2−25)=37时，解得m=±311（不合题意，舍去）；②当b=37，即5m=37时，m=375（不合题意，舍去）；③当c=37，即12(m2+25)=37时，解得m=±7.∵m>n>0，m，n是互质的奇数，∴m=7.当m=7时，a=12(m2−25)=12(72−25)=12，b=5m=35.∴ 该直角三角形的三条边长分别为12,35,37，∴ 面积为12×12×35=210.三、解答题（共72分）17．（8分）如图，已知线段AB.用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB=90∘ ，且AC=BC.要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.【解】如图，△ABC即为所求.方法一：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D，在射线DM上取DC，使得DC=AD，最后连接AC,BC即可得所求的△ABC.方法二：分别以点A,B为垂足作AD⊥AB，BE⊥AB，再作∠DAB和∠EBA的平分线交于点C，即可得所求的△ABC.18．（8分）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70∘ ，∠BCE=30∘ ，求∠EBF与∠FBC的度数．【解】∵CE，BF是两条高，∴∠AEC=∠AFB=90∘.∵∠A=70∘ ,∴∠EBF=20∘ ，∠ECA=20∘ .又∵∠BCE=30∘ ，∴∠ACB=30∘+20∘=50∘ .∴∠FBC=90∘−50∘=40∘ ．19．（8分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合.【证明】假设点D与点E重合.∵AD是△ABC的中线，AE⊥BC，∴AD垂直平分BC.∴AB=AC，这与AC>AB相矛盾.∴ 点D与点E不重合.20．（8分）如图,在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25km.已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE=BE，求CE的长.【解】在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC2+CE2=AE2.在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD2+DE2=BE2.∵AE=BE，∴AE2=BE2，即AC2+CE2=BD2+DE2.设CE=xkm，则152+x2=102+(25−x)2，解得x=10.∴CE=10km.21．[［2025承德期末］]（12分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.（1） 请你判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2） 若AB+AC=20，S△ABC=60，求DE的长.【答案】（1） 【解】AD垂直平分EF.理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF.在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF.∵DE=DF，∴AD垂直平分EF.（2） ∵DE=DF，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12DE(AB+AC)=60.∵AB+AC=20，∴DE=6.22．[［2025邯郸期末］]（14分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点.由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q 不与点B 重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.（1） 若设AP的长为x，则PC=_ _ _ _ _ _ ，QC=_ _ _ _ _ _ .（2） 当∠BQD=30∘ 时，求AP的长.（3） 在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.【答案】（1） 6−x；6+x（2） 【解】过点P作PF//QC交AB于点F，则△AFP是等边三角形，∠DQB=∠DPF，∴AP=FP=AF.∵P,Q同时出发且速度相同，∴BQ=AP，∴BQ=FP.又∵∠BDQ=∠FDP，∴△DBQ≌△DFP(AAS),∴BD=FD.易知∠BDQ=∠FDP=∠FPD=∠BQD=30∘ ,∴DF=FP=AF.∴BD=DF=FA=13AB=13×6=2.∴AP=2.（3） 在运动过程中，线段ED的长不发生变化.ED的长为3.23．（14分）如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC=90∘ ，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，连接AC.（1） 求证：△FBD≌△ACD;（2） 延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE=12BF;（3） 在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②. 试探索CE，GE,BG之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】（1） 【证明】∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC=90∘ ,∴BD=CD,∠BDC=∠CDA=90∘ .在△FBD和△ACD中，BD=CD,∠BDF=∠CDA,DF=DA,∴△FBD≌△ACD(SAS).（2） 【证明】∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠BEC=90∘ .∵BF平分∠DBC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE(ASA),∴AE=CE.∴CE=12AC.由（1）知△FBD≌△ACD，∴BF=CA，∴CE=12BF.（3） 【解】BG2=GE2+CE2.证明如下：连接CG,∵H是BC边的中点，BD=CD，∴HD垂直平分BC,∴BG=CG.∵BE⊥AC,∴ 在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，∴BG2=GE2+CE2.