初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）12.4 分式方程单元测试当堂检测题

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）12.4 分式方程单元测试当堂检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共36分）
1．在式子1a，2xyπ，3a2b3c4，56+x，x7+y8，xy+10x+y，x2x中，分式的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2．母题教材P4练习T1 下列各式中，不论x取何值,分式都有意义的是（ ）
A. 12x2+1B. 12x+1C. 13x−1D. 12x2
3．[［2025沧州期末］]下列分式中，为最简分式的是（ ）
A. 3a5a3b2B. a+2a2+2C. 2aa2+3aD. a2−aba2−b2
4．母题教材P14例1 化简x2y−x−xyy−x=（ ）
A. −xB. y−xC. x−yD. −x−y
5．[［2024泸州］]分式方程1x−2−3=22−x的解是（ ）
A. x=−73B. x=−1C. x=53D. x=3
6．若a+b=2，则代数式(b2a−a)÷a−ba的值为（ ）
A. 12B. −12C. 2D. −2
7．若沿河两地相距mkm，船在静水中的速度为bkm/h，水流的速度为ckm/h，则船在两地之间往返一次所需的时间是（ ）
A. 2mb+chB. (mb+c+mb−c)h
C. 2mb−chD. (mb+mc)h
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
9．若关于x的方程3xx−1=m1−x+4无解，则m的取值为（ ）
A. −1B. 1C. −2D. −3
10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程x−2x2−4x+4=0 的根为x=2；③方程12x=12x−4 的最简公分母为2x(2x−4).其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
11．已知关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. m>2B. m≥2
C. m≥2且m≠3D. m>2且m≠3
12．若关于x的不等式组3x+5≤2x+6,x+1>a无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2的解为整数，则满足条件的整数a的值为（ ）
A. 2或3B. 2或7C. 3 或4或7D. 2 或3或7
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知分式15−x的值为正数，写出一个符合条件的x的正整数值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．化简x−2x+3⋅x2−9x2−4的结果为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为了迎接2025年春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A,B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的质量与花90元购买B类糖果的质量相同，则A类糖果的价格为元/千克.
16．有依次排列的不为零的代数式a1=x+1，a2=x2−1，且a3=a2a1，a4=a3a2，a5=a4a3，⋯ ，依次类推，若an=1x−1，请用含k(k为正整数)的式子表示n:_ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） 3x−3−xx−3;
（2） (1x2−4+4x+2)÷1x−2.
18．（8分）解方程：
（1） 3x+1=2x2x+1；
（2） 3x−1+2x+1=6x2−1.
19．[［2025石家庄藁城区期末］]（8分）先化简：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，然后从0≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
20．（10分） 嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题：
嘉嘉说：“分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1时，x的值是1.”
琪琪说：“分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1的情况根本不存在.”
你同意谁的观点呢？请说明理由.
21．（12分）博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的1415.
（1） 求该学习小组的实际参观人数；
（2） 参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为10元和8元，若该小组每名参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买了多少套“长信宫灯”纪念卡.
22．（12分） 阅读下面的材料：
因为11×3=12×(1−13),13×5=12×(13−15),15×7=12×(15−17),⋯ ,117×19=12×(117−119),
所以11×3+13×5+15×7+⋯+117×19=12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+⋯+12×(117−119)=12×(1−13+13−15+15−17+⋯+117−119)=12×(1−119)=919.
根据上面的方法,解方程:1x(x+3)+1(x+3)(x+6)+1(x+6)(x+9)=32x+18.
23．（14分）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”.例如，M=xx+1，N=1x+1，M+N=xx+1+1x+1=1，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k=1.
（1） 已知分式A=x−7x−2，B=x2+6x+9(x+3)(x−2)，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由；
（2） 已知分式C=3x−4x−2，D=Px2−4，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3.
① 求P所代表的代数式；
② 若分式D的值为正整数，求正整数x的值.
第十二章 分式和分式方程 综合素质评价 答案版
一、选择题（每题3分，共36分）
1．[［2025邢台校级开学］]在式子1a，2xyπ，3a2b3c4，56+x，x7+y8，xy+10x+y，x2x中，分式的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
2．母题教材P4练习T1 下列各式中，不论x取何值,分式都有意义的是（ ）
A. 12x2+1B. 12x+1C. 13x−1D. 12x2
【答案】A
3．[［2025沧州期末］]下列分式中，为最简分式的是（ ）
A. 3a5a3b2B. a+2a2+2C. 2aa2+3aD. a2−aba2−b2
【答案】B
4．母题教材P14例1 化简x2y−x−xyy−x=（ ）
A. −xB. y−xC. x−yD. −x−y
【答案】A
5．[［2024泸州］]分式方程1x−2−3=22−x的解是（ ）
A. x=−73B. x=−1C. x=53D. x=3
【答案】D
6．若a+b=2，则代数式(b2a−a)÷a−ba的值为（ ）
A. 12B. −12C. 2D. −2
【答案】D
7．若沿河两地相距mkm，船在静水中的速度为bkm/h，水流的速度为ckm/h，则船在两地之间往返一次所需的时间是（ ）
A. 2mb+chB. (mb+c+mb−c)h
C. 2mb−chD. (mb+mc)h
【答案】B
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
【答案】B
9．若关于x的方程3xx−1=m1−x+4无解，则m的取值为（ ）
A. −1B. 1C. −2D. −3
【答案】D
10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程x−2x2−4x+4=0 的根为x=2；③方程12x=12x−4 的最简公分母为2x(2x−4).其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【点拨】①解分式方程不一定会产生增根，故错误；②当x=2时，分母为0，所以x=2是增根，故错误；③该方程的最简公分母为2x(x−2)，故错误，故正确的个数是0.
11．已知关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. m>2B. m≥2
C. m≥2且m≠3D. m>2且m≠3
【答案】C
【点拨】解分式方程可得x=m−2.因为关于x的分式方程的解是非负数，所以x≥0且x≠1.所以m−2≥0,m−2≠1,解得m≥2且m≠3.
12．若关于x的不等式组3x+5≤2x+6,x+1>a无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2的解为整数，则满足条件的整数a的值为（ ）
A. 2或3B. 2或7C. 3 或4或7D. 2 或3或7
【答案】D
【点拨】由不等式组3x+5≤2x+6,x+1>a得x≤1,x>a−1.∵ 不等式组无解，∴a−1≥1.∴a≥2.解分式方程5−ay2−y−1=3y−2，得y=6a−1.∵ 方程有整数解，∴a−1=±1或±2或±3或±6，y≠2,∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=−2或a=7或a=−5.又∵a≥2，∴a=2或a=3或a=7，故选D.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知分式15−x的值为正数，写出一个符合条件的x的正整数值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】4（答案不唯一）
14．化简x−2x+3⋅x2−9x2−4的结果为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x−3x+2
15．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为了迎接2025年春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A,B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的质量与花90元购买B类糖果的质量相同，则A类糖果的价格为元/千克.
【答案】20
【点拨】设B类糖果的价格为x元/千克，则A类糖果的价格为(x+2)元/千克.∵ 花100元购买A类糖果的质量与花90元购买B类糖果的质量相同，∴100x+2=90x，解得x=18，经检验，x=18是方程的解，∴A类糖果的价格为18+2=20（元/千克）.
16．有依次排列的不为零的代数式a1=x+1，a2=x2−1，且a3=a2a1，a4=a3a2，a5=a4a3，⋯ ，依次类推，若an=1x−1，请用含k(k为正整数)的式子表示n:_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】n=6k
【点拨】由题意得a1=x+1，a2=x2−1，a3=x2−1x+1=x−1，a4=x−1x2−1=1x+1，a5=1x+1x−1=1x2−1，a6=1x2−11x+1=1x−1，a7=1x−11x2−1=x+1，⋯ ，∴a6=a12=a18=⋯=1x−1.∵an=1x−1，∴n=6k.
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） 3x−3−xx−3;
（2） (1x2−4+4x+2)÷1x−2.
【答案】（1） 【解】原式=3−xx−3=−1.
（2） 原式=1+4(x−2)(x+2)(x−2)⋅(x−2)=4x−7x+2.
18．（8分）解方程：
（1） 3x+1=2x2x+1；
（2） 3x−1+2x+1=6x2−1.
【答案】
（1） 【解】方程两边同乘x(2x+1)，得3(2x+1)+x(2x+1)=2x⋅x,
解这个整式方程，得x=−37.
经检验：x=−37是原方程的解.
（2） 方程两边同乘(x+1)(x−1),得3(x+1)+2(x−1)=6,
解这个整式方程，得x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0,
所以x=1是增根，原方程无解.
19．[［2025石家庄藁城区期末］]（8分）先化简：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，然后从0≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
【解】原式=x−1−1x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2.
∵x−1≠0且x+1≠0且x−2≠0，
∴ 在0≤x≤2的范围内可以取整数0.
当x=0时，原式=0+10−2=−12.
20．（10分） 嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题：
嘉嘉说：“分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1时，x的值是1.”
琪琪说：“分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1的情况根本不存在.”
你同意谁的观点呢？请说明理由.
【解】同意琪琪的观点.理由如下：
由分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1，可得xx−1−1=3(x−1)(x+2).
去分母，得x(x+2)−(x−1)(x+2)=3.解得x=1.
经检验，x=1是原方程的增根，
所以原方程无解，即不存在分式xx−1比3(x−1)(x+2)多1的情况.
21．（12分）博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的1415.
（1） 求该学习小组的实际参观人数；
（2） 参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为10元和8元，若该小组每名参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买了多少套“长信宫灯”纪念卡.
【答案】
（1） 【解】设该学习小组的实际参观人数为x人，
根据题意,得360+60x=360x−3×1415，解得x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意.
答：该学习小组的实际参观人数为15人.
（2） 设购买了y套“长信宫灯”纪念卡，则购买了(15−y)套“错金铜博山炉”纪念卡，根据题意,得
10y+8(15−y)≤140，解得y≤10，
∴y的最大值为10.
答：最多购买了10套“长信宫灯”纪念卡.
22．（12分） 阅读下面的材料：
因为11×3=12×(1−13),13×5=12×(13−15),15×7=12×(15−17),⋯ ,117×19=12×(117−119),
所以11×3+13×5+15×7+⋯+117×19=12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+⋯+12×(117−119)=12×(1−13+13−15+15−17+⋯+117−119)=12×(1−119)=919.
根据上面的方法,解方程:1x(x+3)+1(x+3)(x+6)+1(x+6)(x+9)=32x+18.
【解】将分式方程变形为13(1x−1x+3+1x+3−1x+6+1x+6−1x+9)=32x+18.
整理,得1x−1x+9=92(x+9).
方程两边同乘2x(x+9)，得2(x+9)−2x=9x,
解得x=2.
经检验，x=2是原方程的解.
23．（14分）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”.例如，M=xx+1，N=1x+1，M+N=xx+1+1x+1=1，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k=1.
（1） 已知分式A=x−7x−2，B=x2+6x+9(x+3)(x−2)，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由；
（2） 已知分式C=3x−4x−2，D=Px2−4，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3.
① 求P所代表的代数式；
② 若分式D的值为正整数，求正整数x的值.
【答案】
（1） 【解】是.∵A+B=x−7x−2+x2+6x+9(x+3)(x−2)=x−7x−2+(x+3)2(x+3)(x−2)=x−7x−2+x+3x−2=2x−4x−2=2(x−2)x−2=2，
∴A与B互为“和整分式”，“和整数值”k=2.
（2） ① ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3，∴C+D=3x−4x−2+Px2−4=(3x−4)(x+2)(x+2)(x−2)+P(x+2)(x−2)=3x2+2x−8+P(x+2)(x−2)=3，∴3x2+2x−8+P=3(x+2)(x−2).
∴P=3(x2−4)−(3x2+2x−8)=−2x−4.
② ∵D=Px2−4=−2x−4(x+2)(x−2)=−2(x+2)(x+2)(x−2)=−2x−2，且分式D的值为正整数，
∴x−2=−1或x−2=−2，解得x=1或x=0（舍去）.
∴ 正整数x的值为1.