数学八年级上册（2024）13.1 三角形中的边角关系第3课时教案

这是一份数学八年级上册（2024）13.1 三角形中的边角关系第3课时教案，共5页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
素养目标
1.掌握三角形的高、角平分线、中线、重心的定义，以及其中体现出来的性质.
2.会画三角形的高、角平分线、中线.
3.会用一般到特殊的转化思想探索三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交于一点.
重点：了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具画出三角形的高、角平分线与中线.
难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别；钝角三角形高的画法；不同的三角形三条高的位置关系.
教学过程
一、情境导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两人想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题.
二、合作探究
探究点一：三角形的高、角平分线、中线的有关概念
【类型一】 认识高、角平分线、中线
如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，点F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD中边AD上的高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理BE经过△ABD中边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；由于CH⊥AD于点H，故CH是△ACD中边AD上的高，故③正确.答案为A.
方法总结：判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部.三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合.
【类型二】 三角形高的画法
画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
解析：根据概念可知，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段.过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边或在该边的延长线上.
探究点二：三角形中有关高、角平分线、中线的常见计算
【类型一】 三角形的角平分线、高结合求角度
如图，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAE的度数.
解析：由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是△ABC的角平分线，有∠EAC＝12∠BAC，故∠DAE＝∠EAC－∠DAC.
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°.∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝12∠BAC＝34°.∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC＝90°－∠C＝14°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－14°＝20°.
方法总结：利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系.
【类型二】 应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝ .
解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴△ABD的周长－△ADC的周长＝（BA＋BD＋AD）－（AC＋AD＋CD）＝BA－AC.∴BA－5＝2.∴BA＝7cm.
方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
【类型三】 利用中线解决三角形的面积问题
如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝ .
解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝12AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝13S△ABC＝13×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝（S△ADF＋S△ABF）－（S△ABF＋S△BEF）＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比.
三、板书设计
三角形中几条重要线段
高：三角形的顶点向对边所作的垂线段角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段中线：三角形的顶点与对边中点的连线
教学反思
本节课知识点较多，不仅要让学生理解三角形的高、角平分线、中线的概念，而且还要对三种线段的表示方法和性质进行探讨.在教学中，一直关注学生的自主学习、合作交流的过程，让学生在亲身经历整个探究过程后，能够对三角形的高、角平分线和中线有很好地理解，在获得数学知识的同时，提高探究、发现和总结归纳的能力.在变式练习中，及时发现错误，并展示出来一起讨论.使学生在反思中，不断提升对概念的理解.