西南大学附属中学校2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份西南大学附属中学校2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．垂线段最短
D．连接两点之间的线段叫两点间的距离
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
7．2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多明星将参与春晚彩排，家住长嘉汇购物公园旁的小西，在寒假某一天，先从家跑步去规划展览馆拍照打卡，再去面馆打包“重庆小面”，最后回家．小西家、面馆、规划展览馆在一条直线上．小西离开家的距离与时间之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．小西从家到规划展览馆的速度是
B．小西在面馆停留时间为30min
C．小西从面馆到家的速度是
D．小西从规划展览馆到面馆的速度
8．已知正方形的边长为，对角线交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．矩形中，；点在线段上，，连接，过点作，垂足为，与对角线交于点，交于点，则的长是（ ）
A．B．C．D．3
10．对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法；
①；
②若，则；
③若，则不存在正整数，使得是10的倍数．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．一个正n边形，其内角和是外角和的三倍，则n的值为 ．
12．为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是 ．
13．如图，在反比例函数的和图象上分别有两点，若轴且，则 ．
14．若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ．
15．如图，四边形内接于，，，点为的中点，连接，连接并延长，交于点，交于点．若，，则 ，
16．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“方圆数”，那么最小的“方圆数”为 ；将一个“方圆数”的前两位数记为，后两位数记为，规定，．若都是整数，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空．
(1)在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（）所作的图中，求证：．
证明：∵平分，
∴ ，
又∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
依据证明过程，小西得出如下结论：___________．
19．为全面推进新时代类育改革发展，了解掌握学生艺术素养发展情况，某学校举行了音乐基础知识测评．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用表示，共分为4个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，81，83，83，83，87，88，88，89
八年级学生测评成绩在C组的数据为：81，82，84，84，84，84，84，85，87，89
七年级20名学生音乐测评成绩的八年级20名学生音乐测评成绩的扇形统计图条形统计图
(1)上述图表中，则___________，_________，___________；
(2)通过二上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
(3)该校七年级有780人，八年级有700人，若测评成绩不低于90份的记为优秀，试估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？
20．“阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元．
(1)求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？
(2)“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，4500元购进的“随行杯”数量比4500元购进的“盲盒”数量多40个，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高，在售价不变的前提下，求这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为多少元？
21．如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）
22．外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点处的家中购买了位于点处“稻香园”的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于点的西北方向米处，点位于点南偏东方向且在点的北偏东方向，点位于点的南偏东方向，又在点的正西方向．（参考数据：）
(1)求的长（保留根号）；
(2)骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路施工，骑手有两条送餐路线可以选择，路线①，速度为每分钟120米，路线②，速度为每分钟240米，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？
23．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标．
24．已知与交于点，连接．
(1)如图，若，当时，求；
(2)如图，若，取中点为，过作交于点，证明：；
(3)如图，延长交延长线于点，若，，，是内一点，满足，，在右侧作，求的最大面积．
平均数
中位数
众数
七年级
85
83
八年级
85
84
《重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．C
解：的倒数是，
故选：．
2．D
解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．B
解：，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
4．C
解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题；
C、连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项说法是真命题；
D、连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，本选项说法是假命题；
故选：C．
5．A
解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，
相似比为，，
，
，
，
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故选：A．
6．A
解：
，
，
，
，
故选A．
7．D
解：A．小西从家到规划展览馆的速度是，故不正确；
B．小西在面馆停留时间为，故不正确；
C．小西从面馆到家的速度是，故不正确；
D．小西从规划展览馆到面馆的速度，故正确；
故选D．
8．A
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．A
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．B
已知，将代入可得：，
已知，将代入可得：，
已知，将代入可得：，
已知，将代入可得：，
由上述计算可知，题干未说明的取值，所以不一定等于7，
故说法①错误；
当时，，
，
∵，
，
故说法②错误；
当时，即，
此时，，
发现所有的末位数字均为2、4、6，不会出现0，
则不存在正整数，使得是10的倍数．
故说法③正确．
综上，正确的说法只有1个，
故选：B．
11．8
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．
解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，
∴春节和端午节刚好被选中的概率为，
故答案为：．
13．
解：交轴于点，如图，
轴，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
故答案为．
14．
解：，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
，
，
关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，
这两个奇数解为1和3，
，
，
，
，
方程两边同时乘得：，
，
关于的分式方程的解是整数，
或或或或或，且，即，
又，
或2或4或或或，
满足条件的所有整数的值之和为：，
故答案为：．
15． 10
解：作，连接，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得（负值已舍），
∴，，；
过点作直径，连接，，
∵点为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，即，
故答案为：10；．
16． 1026 8254
解：由题意可知：，，，，且a、b、c、d互不相等的正整数，
最小的完全平方数，为9，
最小的“方圆数”为，
，
当时，，
最小的“方圆数”为；
，，
，
，
都是整数，
设，，
①，②，
得：，
得：，
都能被5整除，
能被5整除，，
，，，，，
，
都能被5整除，
时最大，
时最小，
，，
，
故答案为：8254
17．(1)
(2)
（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
，
，
，
18．(1)作图见解析；
(2)；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．
（1）解：如图，
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
依据证明过程，小西得出如下结论：三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．
故答案为：；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．
19．(1)81，84，10
(2)八年级学生测评成绩更好，理由见解析
(3)七、八年级测评成绩为优秀的学生共有218人
（1）解：由题意可得：七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人），在组中的人数有（人），
七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，81，83，83，83，87，88，88，89，
把七年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是81，81，
故中位数，
七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人），
，
在八年级20名学生的成绩中84出现的次数最多，故众数；
故答案为：81，84，10；
（2）解：八年级学生测评成绩更好，理由如下：
因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数及众数高于七年级，
所以得到八年级学生测评成绩更好；
（3）解：（人，
答：七、八年级测评成绩为优秀的学生共有218人．
20．(1)每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元
(2)这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元
（1）解：设每个“随行杯”售价为元，每个“盲盒”售价为元．根据题意列方程组：
解得：．
答：每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元；
（2）解：设“随行杯”的成本为元，则“盲盒”的成本为元．根据题意列方程：
解得：，
经检验是原方程的解，
故“盲盒”成本为元，
所以“随行杯”数量：（个），“盲盒”数量：（个），
则每个“随行杯”利润：（元）．每个“盲盒”利润：（元），
则总利润：（元），
答：这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元．
21．(1)，；
(2)图见解析，性质：当时，函数取得最大值为6；
(3)时，的取值范围为．
（1）解：当点在线段上时，，
∴，
当点在线段上时，，
∵，，
∴，
作于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：列表：
描点，连线，的函数图象，如图，
性质：当时，函数取得最大值为6；
（3）解：观察图象，时，的取值范围为．
22．(1)米
(2)骑手选择路线②的送餐路线才能更快的将外卖送到小西家
（1）解：如图所示，过点O作于H，
由题意得，，
∴ ，
，
在中，，
在中，，
，
∴；
（2）解：作，垂足为G，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
∴路线①的时间为分钟；
∴路线②的时间为分钟，
∵，
∴骑手选择路线②的送餐路线才能更快．
23．(1)
(2)
(3)或
（1）解：令，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：过作轴于，交于，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，则，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，
过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于，
∴，，
∴，，即，点在直线上移动，
∴，
∴当在上时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，
∴，
∴当时，最小，即，
∴的最小值；
（3）解：∵关于轴翻折得到点，
∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点，
连接交轴于，则轴，，

∴，，，
∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度，
∴在抛物线上的对应点为，即，
∵过作轴于点，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
当点在点左边时，由外角可得，不合题意；
当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于
∵，
∴，即平分，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
解得，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴；
当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴，
综上所述，或．
24．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：如图，过点A作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：延长、相交于点H，过E作于O，过A作于N，
∵，，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴；
在和和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，的中点为，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长至O，使，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点A、C、O、M四点共圆，
连接，则，
∴，
过M作交延长线于R，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，又，
∴点P、M、R、C四点共圆，且为圆心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，， 又,，
∴，
∴，
∴，又，
故作的外接圆，则点Q在劣弧上，设圆心为T，当时，面积的最大，设垂足为K，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大面积为．
x
0
1
2
3
6
2
6
6
3
1