西南大学附属中学校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份西南大学附属中学校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了 下列各数中，不是无理数的是， 估计2 ×， 下列说法正确的是， 若定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，不是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：．属于有理数，不是无理数，符合题意；
B．属于无理数，不合题意；
C．属于无理数，不合题意；
D．属于无理数，不合题意；
故选：A．
2. 观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A. 12B. 18C. 20D. 50
答案：C
解析：解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
4. 估计2 ×（﹣1）的运算结果应在（ ）
A. 7到8之间B. 8到9之间C. 9到10之间D. 10到11之间
答案：B
解析：2×（﹣1）
＝2×（2﹣1）
＝12﹣2，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴3＜2＜4，
∴8＜12﹣2＜9．
故选：B．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形一定是矩形
B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
C. 对角线互相平分且相等的四边形一定是菱形
D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
答案：D
解析：解：对角线相等的平行四边形才是矩形，故A错误；
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，故B错误；
对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形，故C错误；
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故D正确；
故选：D．
6. 自11月以来，万州疫情越来越严峻.万州二中决定分高中部和初中部同时开展全员核酸检测，初中部比高中部每小时少检测300人，高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半．设高中部每小时检测人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设高中部每小时检测人，则初中部每小时检测人，
高中部检测完需要：小时，初中部检测完需要：，
又高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半，
则，
故选：A．
7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32B. 33C. 37D. 41
答案：D
解析：解：由题知，第①个图案中有个正方形，
第②个图案中有个正方形，
第③个图案中有个正方形，
第④个图案中有个正方形，
…，
第个图形中有个正方形，
∴第⑩个图案中正方形的个数为，
故选：D．
8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
答案：C
解析：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，
∴CE=CD=AC，
∴∠CAO=30°，
∴∠ACE=60°，
又∵OC=OA=，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠OEC=30°，
∴ Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，
则△AOC的面积为：，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
10. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：
①；
②若，则，；
③的解集为或；
④函数与直线（为常数）有3个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：B
解析：因为，且，
所以，
故①正确；
当时，，
解得，，符合题意；
当即时，，
所以，此时即，显然不成立，
所以②正确；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是或；
所以③不正确；
当即时，此时
因，
图像为抛物线上的一部分；
当即时，此时或，
因为，
图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下：
故当时，函数与直线（为常数）有3个交点．
所以④正确；
故选B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. ﹣tan60°＝_____．
答案：﹣1．
解析：解：原式＝2﹣×＝2﹣3＝﹣1．
故答案为﹣1．
12. 在，，3，0四个数中，随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数的对称轴在轴右侧的概率是______.
答案： 或0.5
解析：解：二次函数的对称轴为，
当对称轴在y轴右侧时，，得到，
而-2，-1，3，0这四个数中，小于0的个数有2个，
∴该二次函数的对称轴在轴右侧的概率为，
故答案为：．
13. 若多边形的内角和比外角和大540°，则该多边形的边数是______．
答案：七或7
解析：解：设这个多边形的边数是n，
则（n-2）•180°=360°+540°，
解得n=7．
故答案为：七．
14. 已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝_____．
答案：﹣2
解析：解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC上一点，连接AE，将沿AE翻折得到，交AC于点G，若，，则AG的长度为______．
答案：##
解析：
如图，过点F作交于点H，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿AE翻折得到，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，连接，平移得到，当点落在y轴上时，点恰好落在反比例函数（，）的图象上，若，则k的值为______．

答案：
解析：解：过点A、分别作y轴的垂线，垂直分别为B、C，如图所示：

由题意可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据反比例函数k的几何意义可知：，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴；
故答案为．
17. 若关于y的不等式组的解集为，且关于x的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 _______．
答案：19
解析：解：由得：，
由得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
∵方程的解是非负整数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴a的取值为，5，8，11，
∴所有满足条件的整数a的值之和是19．
故答案为：19．
18. 若一个四位数的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数称为“和差数”，令的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，且，则 ____________________；当，均为整数时，的最大值为_________．
答案： ①. ②. 6318
解析：解：，且，
，，
；
四位数为“和差数”，
，
，
，
是整数，
是整数，
由为整数可知，，
设（为整数且），
，
，
或8，
当时，
①若，则，此时，不符合题意；
②若，则，此时，；
③若，则，此时，；
④若，则，此时，；
⑤若，则，不符合题意；
当时，
①若，则，此时，；
②若，则，不符合题意．
综上，符合条件的有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318．
故答案为：；6318．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
；
小问2解析：
解：
．
20. 如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在CB的延长线上取点E，使CE＝CD，连接DE交AB于点F，作∠ABC的平分线BG交CD于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDG为平行四边形．
证明：∵BG平分∠ABC
∴∠ABG＝∠CBG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABG＝∠CGB，∠CDE＝∠BFE
∴∠CGB＝①
∴CB＝CG．
∵CE＝CD，CB＝CG
∴CE﹣CB＝CD﹣CG，即BE＝②
∵CD＝CE
∴∠CDE＝③
∵∠CDE＝∠BFE，∠CDE＝∠BEF
∴∠BFE＝④
∴BE＝BF
∵BE＝DG，BE＝BF
∴DG＝⑤
∵AB∥CD，DG＝BF
∴四边形BFDG为平行四边形．（推理根据：⑥ ）
答案：（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤，⑥一组对边平行且相等四边形是平行四边形
小问1解析：
解：尺规作图结果如下：
小问2解析：
证明：平分，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
．
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．（推理根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
21. 《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，通过演播室比赛的形式，重温经典诗词，继承和发扬中华优秀传统文化，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣．现已成功播出7季，深受观众的喜欢和热捧．《中国诗词大会》第8季正在各地火热选拔．某校为了选择优秀同学参加《中国诗词大会》第8季选拔，在七、八年级所有同学中进行了初赛．现从七、八年级中各随机抽取20名初赛成绩的数据（单位：分）进行整理和分析，共分为四个分数段（表示初赛成绩，取整数）：．；．；．；．，初赛成绩不低于90分进入下一轮复赛，下面给出部分信息：
七年级抽取20名同学初赛成绩数据为：45，48，50，55，56，60，60，60，63，64，72，75，77，77，78，81，83，88，92，96．
八年级抽取20名同学初赛成绩在分数段的所有数据为：71，71，72，74，76．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为______度，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，初赛成绩哪个年级更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级有人，八年级有人，估计七、八年级能进入复赛的同学共有多少人？
答案：（1），，，见解析
（2）八年级，理由见解析
（3）人
小问1解析：
解：七年级抽取20名同学初赛成绩数据中，分出现的次数最多，则；由八年级抽取20名同学初赛成绩统计图知，A分数段的人数有8人，则位于最中间的两个数分别是，其平均数为，故；七年级抽取同学初赛成绩扇形统计图中分数段对应扇形的圆心角度数为；（人），即八年级中位于C分数段的学生有4人，补充的统计图如下：
小问2解析：
解：八年级成绩更好；八年级学生的中位数高于七年级．
小问3解析：
七八两个年级抽取的学生中进入复赛的百分比分别为：，，七八两个年级抽取的学生中进入复赛的人数分别为：（人），（人），估计七、八年级能进入复赛的同学共有(人)．
22. 在全民健身运动中，骑自行车越来越受到市民青睐，从A地到B地有一条自行车骑行车道．小明从A地出发骑行去B地，小军从B地出发骑行去A地．
（1）小明和小军相约在上午8时同时从各自出发地出发，匀速前行，到上午10时，他们还相距，到中午12时，两人又相距．求A、B两地间的自行车道的距离．
（2）因骑自行车的市民越来越多，政府决定重新改建一条自行车道，改建的自行车道比A、B两地的距离多，某工程队由于采用了更加先进的修路技术和修路机器，每天可以比原计划的改建里程多，结果完成此项修路工程比原计划少用了5天．若每天付给工程队的施工费用为4万元，则完成工程后，一共付给工程队的费用是多少？
答案：（1）A、B两地间的自行车道的距离
（2）一共付给工程队的费用是100万元
小问1解析：
解：设两人的速度和为，
第一次相距时用时：，
第二次相距时用时：，
，
解得：，
∴，
答：A、B两地间的自行车道的距离．
小问2解析：
解：设实际用了天，则原计划用天，
改建的自行车道距离：，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，
∴付给工程队的费用：（万元），
答：一共付给工程队的费用是100万元．
23. 如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点B，A同时出发，P点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达A点停止运动，点Q以每秒个单位长度的速度由运动，P点运动时间为t秒，令的面积为，的面积为，回答下列问题：
（1）请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；
（2）请在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出的一条性质；
（3）求当时，t的取值范围．
答案：（1）；；
（2）图见解析；当时，取得最大值，最大值为6（答案不唯一）
（3）
小问1解析：
解：在矩形中，，，
∴，
∴，
当点P在边上时，，此时，
∴；
当点P在上时，，此时，
过点B作于点E，
∵，
∴，解得：，
∴；
∴与t之间的函数关系式为；
根据题意得：，
∴；
小问2解析：
解：对于
当时，，
对于
当时，，
当时，，
对于，
当时，，
当时，，
画出图象如下：
观察图象得：当时，取得最大值，最大值为6；
小问3解析：
解：观察图象得：与相交，联立得：
，解得：，
∴当时，t的取值范围．
24. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
答案：（1）观测站A、B之间的距离为海里．
（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析．
（2）过点B作，垂足为F，根据题意得：，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
小问1解析：
解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
小问2解析：
补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
答案：（1）
（2），
（3）M的坐标为或)或或或
小问1解析：
在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
小问2解析：
令，解得，，∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
小问3解析：
∵抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴方程为，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴，
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴， ，，
①当为菱形的边时，，即,，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的对角线时，，即，
∴，
解得，
∴；
③当，即，
∴，
∴或，
∴或；
综上所述，M的坐标为或)或或或
26.
如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底作等腰．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；
（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，请直接写出的最小值．
答案：（1）
（2）证明见解析部分 （3）
小问1解析：
解：如图1中，过点作于点．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
小问2解析：
证明：如图2中，连接，．
是等腰直角三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
；
小问3解析：
解：如图3中，设交于．
，
，
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
，
，
，
，
，
点在运动轨迹是直线，
如图4中，作点关于的对称点，连接，，，．
是定值，，，
，
当，，，共线时，的值最小，
如图5中，过点作于点，交的延长线于点．
，
，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
．
的最小值为．年级
平均数
中位数
众数
七年级
69
68
八年级
69
66