苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第11讲3.2-3.3勾股定理的逆定理与简单应用(学生版+解析)

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1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。

2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？
因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的 。

根据三边长度，判断下面的三角形形状。
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
锐角三角形：
直角三角形：
钝角三角形：
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为 .
4.根据勾股定理填写表格。
所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。
5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A，5； B．7； C．5或7； D．8．
6.勾股定理的简单应用
一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．

解决应用的方法： 。
【解惑】
例1：下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19
例2：如图，小贤家的矩形木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理B．两锐角互余的三角形是直角三角形
C．三个角都是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
例3：如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ）
A．米B．米C．米D．米
例4：如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为_________．
例5：若的三边满足条件，试判断的形状．
【摩拳擦掌】
1．（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2023春·新疆阿勒泰·八年级统考期中）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．24
3．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．C．，，D．
4.（2023春·北京海淀·八年级北京二十中校考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是__________尺．
5．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在中，，则的面积等于___________．
6．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求______km．
7．（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是________．
8．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，长为5，点D是上的一点，，．
(1)求证：为直角三角形；
(2)求出线段的长．
9．（2023春·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．
10．（2023春·河南濮阳·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？
【知不足】
1．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，在中，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
4．（2022春·八年级单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________？
5．（2023春·全国·八年级专题练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 _______ ．
6．（2022春·广东中山·八年级中山一中校考期中）如图，有一个长方体池子，底面是边长为丈（1丈＝10尺）的正方形，中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长_____________尺．

7．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）一架方梯长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙长米，如果梯子的顶端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

8．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图所示的一块地，已知，求阴影部分的面积．

9．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，于D， ，

(1)求的值．
(2)判断的形状，并说明理由．
【一览众山小】
1．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
2．（2023·江苏南通·统考二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65B．85C．90D．150
4．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）一个圆柱形的高是，底面圆的周长，蚂蚁想从处爬到处，则蚂蚁爬行最短距离是___________．
5．（2022秋·七年级单元测试）已知两条线段的长为5和4，当第三条线段的长的平方为________时，这三条线段能组成一个直角三角形．
6．（2022春·八年级单元测试）如图，以的两边、分别向外作正方形，它们的面积分别是，，若，，，则的形状是________三角形．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．

8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行．
9．（2023·江西九江·校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺．
10．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒.
11．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

12．（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．
13．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
根据以上材料，解答下列问题：
(1)仿照材料的方法，分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状．
14．（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）如图，M是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接．

(1)猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，连接，求证：
15．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，，．求图中着色部分的面积．
a
3
6
9
…
b
4
8
16
…
4n
c
5
15
20
…
5n