苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第11讲勾股定理的逆定理及简单应用(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第11讲勾股定理的逆定理及简单应用(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第11讲勾股定理的逆定理及简单应用教师版docx、苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第11讲勾股定理的逆定理及简单应用学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。

1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。

2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？
是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b
∵∠A′C′B′=90°
∴A′B′²=a²+b²
∵AB²=a²+b²
∴A′B′²=AB²
∴A′B′=AB
在▲ABC和▲A′B′C′中
∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS
∴∠C=∠C
∴▲ABC是直角三角形
因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的 。
根据三边长度，判断下面的三角形形状。
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
锐角三角形：
直角三角形：
钝角三角形：
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为 .
4.根据勾股定理填写表格。
所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。
5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（ C ）
A，5； B．7； C．5或7； D．8．
6.勾股定理的简单应用
一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．

解：设米，则米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米．
方法： 。
考点一：判断直角三角形
例1．在中，，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1，1B．2，3，4C．5，6，7D．5，12，13
【变式1-2】若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【变式1-3】如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积．
考点二：利用勾股定理逆定理求解
例2．在中，已知，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．16C．19D．25
【变式2-2】如图，，，，，，该图形的面积等于 ．
【变式2-3】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
(1)求边的长；
(2)连接，判断的形状；
(3)求这块空地的面积．
考点三：梯子滑落问题
例3.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（ ）
A．2米B．1.3米C．0.9米D．0.7米
【变式3-2】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m．
【变式3-3】如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？
考点四：旗杆高度问题
例4．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（ ）
A．12 米B．10 米C．6 米D．15米
【变式4-1】如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺．
【变式4-3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
考点五：大树折断问题
例5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．5.3尺B．6.8尺C．4.7尺D．3.2尺
【变式5-2】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ．
【变式5-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长．
考点六：杯中筷子问题
例6. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ）
A．10尺B．5尺C．10尺或2尺D．5尺或4尺
【变式6-1】如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．

【变式6-3】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN.
考点七：台阶地毯问题
例7．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7B．8C．9D．5
【变式7-1】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A．B．C．D．
【变式7-2】如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ．
【变式7-3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
考点八：最短路径问题
例8．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（ ）米，踏之何忍”
A．5B．6C．4D．7
【变式8-2】在中，三条边长分别是a、b、c，且，则的形状是 ．
【变式8-3】综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
1．以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ）
A．6米B．10米C．16米D．18米
3．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．12米B．13米C．14米D．15米
4．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A．B．C．D．
5．如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A．48B．54C．24D．60
6．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（ ）
①的周长为4；②；③；④

A．①B．①②C．①②③D．①②③④
9．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
10．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
11．一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ．
12．如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ．
13．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）．
14．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远望”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远望”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口小时后分别位于点处，且相距．在的中点处恰好有一座小岛，另一艘游轮从港口出发沿方向以每小时的速度去往小岛，求游轮到小岛所需的时间．
15．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度
16．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)根据题意，______m，______m，______m；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
17．定义：在中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(2)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握直角三角形判断条件；
2．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理；
3. 能运用勾股定理及其勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n