苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第19讲6.3一次函数图像(学生版+解析)

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1.根据表格中地数据求出y与x的函数关系式
用待定系数法代入求
2.那么你可以把上面求出的函数关系式用图像的方法在平面直角坐标系表示出来吗？
第一步：画出平面直角坐标系；
第二步：把上面表格中的数据x对应横坐标、y对应纵坐标，把它们在平面直角坐标系表示出来；
第三步：顺次把描出的点连接起来。
3.上面的图像形成了一条直线。
4.试着画一下y=x+2的图像。
5.我们发现，由于两点确定一条直线，画一次函数的图像时，只要先确定这个图像上两个点的位置，再过这两个点画直线就可以了。通常取x轴与y轴的两个交点，我们只需要令x=0，y=0即可。
6.结合上面的两个图像，我们有什么发现？
在一次函数y=kx+b中：如果k＞0，那么函数值y随自变量x增大而增大；如果k＜0，那么函数值y随自变量x增大而减小；
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限。
7.画出y=-2x+2和y=x+1的图像，与y=-2x+1、y=x+2有什么位置关系？
一般地，正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的。
8.课外补充
两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行
【解惑】
例1：一次函数的图像大致是 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的、的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【详解】解：∵一次函数中，，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
例2：一次函数，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（ ）
A．0B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴．
解得．
观察各选项，只有D选项的数字符合
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
例3：已知直线，若，，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】首先根据，，得到、的符号，再根据图像与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴直线经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系：①、的图像经过一、二、三象限；②、的图像经过一、三、四象限；③、的图像经过一、二、四象限；④、的图像经过二、三、四象限．解题的关键是根据、之间的关系确定其符号、正确理解和掌握一次数图像与系数的关系．
例4：在函数的自变量中任意取两个点，，若，则对应的函数值y与y的大小关系是 ．
【答案】
【分析】先根据函数 判断出函数图象的增减性，再根据进行判断即可．
【详解】∵直线，，
∴y随x的增大而增大，
又∵，
∴．
故答案为.
【点睛】本题考查的是正比例函数的增减性，即一次函数中，当，y随x的增大而增大；当时 ，y随x的增大而减小．
例5：已知一次函数，当时，，当时，，求此一次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据待定系数法即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
一次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确建立二元一次方程组即可．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知点在一次函数的图像上，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用待定系数法将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：将点代入一次函数得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查已知点坐标运用待定系数法求解析式的参数，掌握一次函数图像与点坐标的关系是解题的关键．
2．（2023春·广东广州·八年级统考期末）直线经过点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将点代入求解即可．
【详解】解：将点代入可得：
解得
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
3．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）若正比例函数的图象中，随的增大而减小，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意和一次函数的性质，可以得到，从而可以求得的取值范围．
【详解】解：在正比例函数的图象中，随的增大而减小，
∴，
解得，
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正比例函数解析式为，将点，代入解析式中求出k的值，再将各个选项的横纵坐标依次代入解析式中去验证即可．
【详解】设正比例函数的解析式为，
因为正比例函数的图象经过点，
所以，
解得：，
所以，
将代入得，，故A选项错误；
将代入得，，故B选项错误；
将代入得，，故C选项错误；
将代入得，，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查求正比例函数解析式，以及函数图象上的点，能够运用待定系数法求解正比例函数解析式是解决本题的关键．
5．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）函数与y轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】令 ,即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，
故函数与轴的交点坐标是
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，解题关键是熟记一次函数的性质．
6．（2023春·江西上饶·八年级统考期末）已知点，是一次函数图象上的两点，当时， ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】>
【分析】先确定一次函数的一次项系数正负，然后根据一次函数的增减性可得出结论．
【详解】∵，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键．
7．（2023春·福建厦门·八年级厦门市海沧中学校考期末）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，则则实数k的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
8．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
9．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点和．
(1)求的值；
(2)若该一次函数的图象与直线（为大于0的常数）的图象交于点，点为原点，当面积为5时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把和代入得到关于k、b的方程组，解方程即可．
（2）根据题意得到，分析可知是以、为直角边的直角三角形，则，得到的值即为的值．
【详解】（1）将和代入，
得：，
解得：．
（2）∵点为原点，，
∴，
∵面积为5，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
10．（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期末）若y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，x的值是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系；
（2）把代入计算即可求出x的值．
【详解】（1）解：设，
把，代入得：，
解得，
即y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：把代入得：，
解得，
即x的值是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值等知识点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
11．（2023春·广东中山·八年级统考期末）已知正比例函数．
(1)若它的图象经过第二、四象限，求的取值范围；
(2)若点在它的图象上，求它的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
【知不足】
1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数，函数值随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件：y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0 ，然后解得即可．
【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键．
2．（2023春·福建福州·八年级校考期末）直线可以由（ ）单位长度得到的．
A．向右平移3个B．向左平移3个C．向下平移3个D．向上平移3个
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移规律进行求解即可．
【详解】解：直线向下平移3个单位长度得到，
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移法则，掌握函数图像的平移法则“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
3．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法即可求出函数的解析式．
【详解】从图示来看，点A、点B的坐标分别是、，设直线l的解析式为，将点A、点B的坐标代入直线l的解析式得：，
∴．
∴直线l的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组．
4．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据为第四象限内的点，可得 ，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解．
【详解】解：∵为第一象限内的点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．
5．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意点是线段的中点，由一次函数的解析式求得、坐标，进而即可求得的坐标．
【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，
，
点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，
是的中点，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知三角形的中线的性质是解题的关键．
6.（2023春·吉林·八年级校联考阶段练习）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式是
【答案】
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【详解】解：将函数的图象沿轴向上平移2个单位长度，
所得图象对应的函数关系式为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
7．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）直线的截距是 ．
【答案】
【分析】代入求出值，此题得解．
【详解】解：当时，，
直线的截距是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
8．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 ．
【答案】/
【分析】根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】解：直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
9．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）直线 向下平移个单位得到直线 ．
【答案】
【分析】直接根据上加下减的原则进行解答即可．
【详解】解：由上加下减的原则可知，向下平移6个单位，
所得直线解析式是：，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．（2023·福建·九年级专题练习）某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔枝种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
(2)该市2023年荔枝种植面积为多少万亩？
【答案】(1)与之间的关系式为
(2)该市2023年荔技种植面积为27万亩
【分析】（1）用待定系数法，将函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式即可求得函数的解析式．
（2）将2023代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可．
【详解】（1）解：设函数的解析式为：，
由图形可知函数图象经过点，和，则
，
解得：．
∴与之间的关系式为．
（2）解：令，得．
∴该市年荔技种植面积为万亩．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，熟练求解一次函数的解析式是解题的关键．
11．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）一次函数的图象经过点和点．

(1)画出函数图象并求出该一次函数的解析式；
(2)求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；
(3)求一次函数与正比例函数的交点坐标
【答案】(1)图见解析，
(2)；
(3)一次函数与正比例函数的交点坐标是．
【分析】（1）描点，连线即可作出函数图象，利用待定系数法即可求解；
（2）令，得到，令得到，即可求解；
（3）联立，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：直线如图：

∵一次函数的图象经过点和点，
则有，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：对于直线，令，得到，令得到，
∴；
（3）解：由，解得，
∴，
∴一次函数与正比例函数的交点坐标是．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
(2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
(3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】(1)一次
(2)
(3)当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为
【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入函数关系式，求出函数值即可．
【详解】（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故可知可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
（3）当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.
【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意；
B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意；
C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意；
D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.
2．（2023春·新疆塔城·八年级统考期末）一次函数图象上有两点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】在中，当时，y随x的增大而增大，利用一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】在一次函数中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，在中，当时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
3．（2023春·新疆塔城·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，函数的图像经过（ ）
A．第一，二象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限
【答案】B
【分析】根据正比例函数图像的性质解答即可.
【详解】∵函数是正比例函数，且,
∴的图像经过第一，三象限.
故选：B
【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质.对于，当时，函数图像经过一、三象限；当时，函数图像经过二、四象限.熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键.
4．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
∵，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当时函数的图象在一、二、三象限．
5．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）一次函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】把点代入求出的值即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上的点的坐标一定适6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）将直线向左平移2个单位再向上平移3个单位所得直线解析式是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，即可进行解答．
【详解】解：将直线向左平移2个单位再向上平移3个单位所得直线解析式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移规律，解题的关键是掌握一次函数的平移规律“上加下减，左加右减”．
7．（2023·天津·统考中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________；
③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③；
(2)
【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可．
【详解】（1）①，
由图填表：
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：0.06；
当时，
；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为；
（2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
∴
解得，
当时，，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像经过，两点．

(1)求这个次函数的解析式；
(2)在如图所示的同一平面直角坐标系中分别画出一次函数和的图像．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（2）根据一次函数的平移性质进行画图即可．
【详解】（1）解：∵一次函数（）的图像经过，两点，
将，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：一次函数的图象是由的图象向下平移三个单位得到的，如图：

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，熟练掌握求一次函数的解析式和一次函数的性质是解题的关键．
9．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，为，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点．

(1)求该一次函数的解析式．
(2)该一次函数与轴交于点，若点为直线上的动点，当面积等于面积的时，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式是
(2)的坐标为或
【分析】（1）先求得点的坐标，待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）先求得点的坐标，求得，设的纵坐标为，即可求得，代入求得自变量的值，即可求得点坐标．
【详解】（1）解：在中，令，解得，则的坐标是，
设一次函数的解析式是，
则，解得：．
则一次函数的解析式是．
（2）解：一次函数的解析式中：令，解得：，则的坐标是．
则．
∴．
设的纵坐标为，则，．
把，代入，求得，
∴的坐标为或．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值或自变量，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
10．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B．以点A为圆心，以长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，作直线．和的平分线相交于点D．

(1)求直线的表达式；
(2)连接，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的坐标，进而求出的长，得到点坐标，待定系数法求出直线的表达式；
（2）角平分线的定义和三角形的内角和定理求出的度数，证明，得到，利用周角的定义求出即可．
【详解】（1）解：∵，当时，，当时，，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
则：，解得：，
∴；
（2）解：∵和的平分线相交于点D，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数，坐标与图形．熟练掌握待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定方法证明三角形全等，是解题的关键．
11.（2023春·山东滨州·八年级统考期末）一次函数的图象过点与．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分别求出一次函数图象与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
把，代入得：，
解得，
则一次函数解析式为；
（2）解：对于，
令，则；
令，则
∴函数图象与两坐标轴交点坐标为，
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点等知识，熟知相关知识，正确求出函数解析式是解题关键．
12．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）学习完一次函数后，某班同学在数学老师的指导下，继续对函数的图象和性质进行探究．同学们在研究的过程中发现，这个函数的自变量x的取值范围是全体实数，他们将x与y的几组对应值列表（如下表），并画出了函数图象的一部分（如图）．
请你完成以下的研究问题：
(1)表中的___________．
(2)根据上表的数据，画出函数图象的另一部分．
(3)请你根据函数的图象判断以下两种说法（在相应的括号内填“对”或“错”）．
①当时，y随x的增大而减小（ ）；
②整个函数图像关于直线对称（ ）
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)①错，②对
【分析】（1）分别求出当时的函数值m，n，再相加即可；
（2）描点、连线即可画出自变量大于1时的函数图象；
（3）观察图象的升降即可对①作出判断；观察整个函数图象即可对②作出判断．
【详解】（1）解：当时，，，
∴，
故答案为：4；
（2）解：画出的函数另一部分图象如下：

（3）解：①观察图象知，当时，图象是上升的，即y随x的增大而增大，
故答案为：错；
②由图象知，整个函数图像关于直线对称，
故答案为：对．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握函数基础知识及一次函数的知识是解题的关键．
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/
10
30
50
70
90
张强离开宿舍的时间/
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/
1.2
张强离开宿舍的时间/
1
10
20
60
张强离宿舍的距离/
0.12
1.2
1.2
0.6
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
n
2
3
4
…