数学七年级下册（2024）三元一次方程组的解法第1课时教案设计

这是一份数学七年级下册（2024）三元一次方程组的解法第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了探究学习，典例分析等内容，欢迎下载使用。
1．了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组．
2．理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想．
教学重点
能应用消元法解三元一次方程组．
教学难点
能应用消元法解三元一次方程组．
教学过程
知识回顾
1．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
2．加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
新知探究
一、探究学习
【思考】在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
【师生活动】教师提问：这个问题中含有哪几个相等关系？
学生思考并回答：（1）胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22；
（2）胜场的得分＋平场的得分＋负场的得分＝47分；
（3）胜的场数＝负的场数×4＋2．
教师追问：如何设未知数，列方程求解？
学生分小组讨论，并派代表发言：
解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，根据题意，可以得到下面三个方程：
x＋y＋z＝22，
3x＋y＝47，
x＝4z＋2．
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
【新知】方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
【思考】怎样解三元一次方程组？
【师生活动】教师提示：二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？
学生根据教师提示，分小组讨论，并派代表回答，教师进行补充并出示分析．
【分析】仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②化简，得到两个只含y，z的方程y＋5z＝20和y＋12z＝41，它们组成方程组：
解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x．
【追问】你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
【师生活动】学生独立作答：
仿照前面学过的加减法，②－①先消去y，再将得到的只含x，z的方程2x－z＝25与③联立：
解这个二元一次方程组，可以求出x和z，进而可以求出y.
【归纳】解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性．通过问题探究，让学生理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想．
二、典例分析
【例1】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）．
A．B．
C．D．
【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
【答案】B
【例2】解三元一次方程组：
【师生活动】教师提示：解三元一次方程组的关键是将“三元”化“二元”．
学生根据提示，小组交流，并回答：可以将方程①变形为，代入到②③中，消去x，得到一个只含y，z的二元一次方程组．
教师点评：这种方法的确将“三元”化为了“二元”，但是方程①中每个未知数的系数的绝对值都不是1，将其变形，用代入法解比较繁琐．
学生继续思考，并回答：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
【答案】解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，
所以y＝．
因此，这个三元一次方程组的解为
【归纳】当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，可由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解．
【例3】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值．
【师生活动】教师提示：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
学生根据提示，思考并作答．
【答案】解：根据题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1.④
③－①，得4a＋b＝10．⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a=3，b=－2代入①，得c＝－5．
因此a，b，c的值分别为3，－2，－5．
【设计意图】通过例1、例2、例3的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．
课堂小结
课后任务
完成教材第109页练习题．