河南省实验中学2024~2025学年高一下册期中考试数学试卷【附解析】

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（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
2. 水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（）

A. B. C. D.
3. 已知复数满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
5. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（）
A. B. C. D.
6. 设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（）
A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心
7. 点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（）
A. B. 3C. D. 2
8. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分.
9. 已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，，
10. 对于，下列说法错误的是（）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，，则锐角周长的取值范围为
11. 定义：两个向量叉乘，则以下说法正确的是（）
A. 若，则
B.
C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____.
13. 已知平面向量，，若与夹角为锐角，则实数x的取值范围为______.
14 已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若复数，求的模.
16. 如图，在直棱柱中，点分别为的中点，线段与线段交于点.
（1）求证: 平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
17. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
18. 如图，圆的半径为，其中、为圆上两点.
（1）若，当为何值时，与垂直？
（2）若为重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值.
（3）若的最小值为，求的值.
19. 已知分别为三个内角的对边，且，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.