2024-2025学年河南省普通高中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省普通高中高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,2,4}，B={−2,0,2,3}，则A∩B=( )
A. {0}B. {2}
C. {0,2}D. {−2,−1,0,2,3,4}
2.已知i为虚数单位，则|2−3i|=( )
A. 2B. 3C. 5D. 13
3.如图，用斜二测画法作出四边形ABCD的直观图为四边形A′B′C′D′，若A′B′//D′C′//x′轴，A′D′//B′C′//y′轴，且A′B′=2B′C′=2，则四边形ABCD的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
4.cs160°cs130°−sin(−160°)cs40°=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
5.现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为( )
A. 13B. 25C. 715D. 815
6.已知正实数a，b满足a+2b=1，则2a+b的最小值为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(5−x)=f(x)，当0≤x≤52时，f(x)=2x−1，则f(−14)=( )
A. −1B. 1C. 3D. 7
8.为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得PQ=2m，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为α，β，δ(α1在R上单调递减，则实数a的取值范围为______．
14.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]}，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为43，则这7个样本数据的中位数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z的共轭复数为z−，z−在复平面内对应的点为(−1,−2)，i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若zi是方程x2−ax−b=0(a,b∈R)的根，求a，b的值．
16.(本小题15分)
某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩(单位：分)，这200名学生的成绩分布在区间[40,100]内，并分成6组：第1组为[40,50)，频数10；第2组为[50,60)，频数20；第3组为[60,70)，频数30；第4组为[70,80)，频数50；第6组为[90,100]，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计这200名学生成绩的70%分位数．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ln(e2x−2+1)−x．
(1)比较f(0)，f(2)的大小关系；
(2)证明：函数f(x)的图象关于直线x=1对称；
(3)若关于x的方程m2+3m=2f(x)−2ln2有解，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b= c2+ab．
(1)求C；
(2)已知CD为∠C的平分线，且CD交AB于点D．
(ⅰ)若CD=2，求AC+AD的取值范围；
(ⅱ)若点E满足EB=AD=14AB，求cs∠DCE的值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点．
(1)证明：平面MNE//平面PAB；
(2)若PA⊥PB，PA=PB，三棱锥P−ABC的外接球为球O．
(ⅰ)证明：A，B，C，O四点共面；
(ⅱ)求直线PO与平面PBC所成角的正弦值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={−1,0,2,4}，B={−2,0,2,3}，
所以A∩B={0,2}．
故选：C．
根据交集的定义可求A∩B．
本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由复数模的公式可知，|2−3i|= 22+(−3)2= 13．
故选：D．
由复数模长公式直接计算即可．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，直观图四边形A′B′C′D′中，若A′B′//D′C′//x′轴，A′D′//B′C′//y′轴，且A′B′=2B′C′=2，
则原图四边形ABCD中，AB/​/CD/​/x轴，且AB=DC=2，AD//BC//y轴且AD=BC=2，
故四边形ABCD为边长为2的正方形，其面积S=2×2=4．
故选：C．
先由直观图的定义和性质得到四边形ABCD为边长为2的正方形即可求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：原式=cs160°cs(90°+40°)+sin160°cs40°
=−cs160°sin40°+sin160°cs40°
=sin(160°−40°)=sin120°= 32．
故选：A．
由130°=90°+40°和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解．
本题考查了诱导公式及两角差的正弦公式，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，4名男志愿者用1、2、3、4表示，2名女志愿者用a、b表示，
设A=“抽取的2名志愿者中有一男一女”，
则Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，(3,4)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)}，共15个基本事件，
A={(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,b)，(4,a)}，共有8个基本事件，
故P(A)=815．
故选：D．
我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出．
本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由已知，a，b是正实数，
所以2a+b=(a+2b)(2a+b)=4+ab+4ab≥4+2 ab⋅4ab=8，
当且仅当ab=4ab即a=12，b=4时取得等号，
故2a+b的最小值为8．
故选：A．
利用基本不等式结合“1”的妙用，即可得到答案．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，f(5−x)=f(x)，
所以f(−x)=f(x)，
故f(5−x)=f(−x)，
可得f(x+5)=f(x)，所以f(x)的周期为5．
当0≤x≤52时，f(x)=2x−1，
故f(−14)=f(1)=2×1−1=1．
故选：B．
由f(x)是偶函数，结合f(5−x)=f(x)得到f(x)的周期为5，再由0≤x≤52时，f(x)=2x−1，即可得解．
本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得PM=MQ=m，设AB=x，
则在△ABQ中，sinβ=ABAQ，故AQ=xsinβ，
同理可得AP=xsinα，AM=xsinδ，
在△PAM中，由余弦定理得cs∠PMA=PM2+MA2−AP22PM⋅MA=m2+x2sin2δ−x2sin2α2m⋅xsinδ，
在△QAM中，由余弦定理得cs∠QMA=QM2+MA2−AQ22QM⋅MA=m2+x2sin2δ−x2sin2β2m⋅xsinδ，
由于∠PMA+∠QMA=π，故cs∠PMA+cs∠QMA=0，
m2+x2sin2δ−x2sin2α2m⋅xsinδ+m2+x2sin2δ−x2sin2β2m⋅xsinδ=0
整理可得2m2+2x2sin2δ=x2sin2α+x2sin2β，
解得x= 2msinαsinβsinδ sin2βsin2δ+sin2αsin2δ−2sin2αsin2β．
故选：A．
设AB=x，先由三角函数得到AQ=xsinβ，AP=xsinα，AM=xsinδ，在△PAM和△QAM中，分别使用余弦定理，结合cs∠PMA+cs∠QMA=0得到方程，求出答案．
本题考查直角三角形的性质的应用，余弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)≤1，
而P(A)=0.8，P(B)=0.5，则P(A)+P(B)=0.8+0.5=1.3>1，
必有P(AB)>0，事件A与B不可能为互斥事件，故A错误；
对于B，若P(A∩B)=0.4，此时P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.5=0.4，
则A与B相互独立，故B正确；
对于C，若B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.5，故C正确；
对于D，若A与B相互独立，则A−与B相互独立，
所以P(A−∪B)=P(A−)+P(B)−P(A−B)=1−P(A)+P(B)−P(A−)P(B)
=1−P(A)+P(B)−[1−P(A)]P(B)=1−0.8+0.5−0.2×0.5=0.6，故D正确．
故选：BCD．
由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐一分析即可判断．
本题考查相互独立事件的判断，涉及互斥事件的先，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据f(3π8)=f(7π8)=1，可得sin(3π8ω+φ)=sin(7π8ω+φ)=12，
结合正弦函数的性质，可得3π8ω+φ=2kπ+π6,7π8ω+φ=2kπ+5π6,k∈Z，
解得ω=43，φ=2kπ−π3，k∈Z，结合|φ|1在R上单调递减，
所以a1−1≥1−2a0