2024-2025学年河南省郑州市实验中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市实验中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是( )
A. 六棱柱B. 五棱锥C. 四棱柱D. 三棱台
2.已知A(3,5)，B(1,−2)，C(2,1)，则AB+AC=( )
A. (3,11)B. (−3,−11)C. (9,9)D. (−9,−9)
3.已知a∈R，复数z=a+i1+2i在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围为( )
A. −2,12B. 19,9C. −12,12D. −2,2
4.在▵ABC中，AB=6，AC=5，BC=8，则▵ABC为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5.若复数z=a+i(a∈R)是关于x的一元二次方程x2+4x+m=0(m∈R)的一个根，则m=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.如图，在△ABC中，BD=3DC,AF=2FC,E是AD的中点，则EF=( )
A. 18AB+724ACB. −16AB+13ACC. 16AB+13ACD. −18AB+724AC
7.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机(视为质点)飞升至离地面高为ℎ米的点A处时，测得塔尖C的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b米后至点B处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面( )
A. ℎ−btanβ−tanαtanα⋅tanβ米B. ℎ−btanα⋅tanβtanβ−tanα米
C. ℎ−btana+tanβtana⋅tanβ米D. ℎ−b(tana×tanβ)tanα+tanβ米
8.不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( )
A. 这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率
B. 至少有一个红球被取出的概率为25
C. 这两个球上的数字相同的概率为215
D. 这两个球上的数字之积为偶数的概率为35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命B. 调查某班学生的身高
C. 调查全国居民使用某款手机的情况D. 调查飞机零部件的质量情况
10.已知e1,e2是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为π3，若a=e1+3e2,b=xe1−e2,c=e1+ye2，且a//b，a⊥c，则( )
A. x=−13B. y=−57C. |c|=67D. a⋅b=−133
11.如图，在正四棱锥P−ABCD中，E,F分别是PA, PC的中点，则下列结论正确的是( )
A. 设PD∩平面BEF=Q，则PQPD=13
B. 三棱锥E−BDF与正四棱锥P−ABCD的体积之比为1:4
C. 若PAAB= 52，则正四棱锥P−ABCD内切球与外接球的半径之比为1:6
D. 正四棱锥P−ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之比为1:5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据25，23，26，19，17，21，20的第40百分位数为 ．
13.如图，▵A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的▵ABC的直观图，若O′A′=B′C′=2,∠O′C′B′=75∘，则在▵ABC中，AC= ..
14.在▵ABC中，AB+AC=6，BC=4，D是BC的中点，E是▵ABC的内心，则AD⋅AE= .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安全知识测试，将他们的得分(满分：100分)分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值；
(2)在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数；
(3)若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形，PC= 2AB．
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件A:a≤2，事件B:b=2，事件C:b=6．
(1)求事件C发生的概率；
(2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．
18.(本小题12分)
定义：两个多面体M1，M2的重合度K=V公共V1+V2−V公共，其中V公共是多面体M1，M2的重合部分的体积，V1，V2分别是多面体M1，M2的体积.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是棱BB1，CC1上的点(不包含端点)，且BD=CE，延长AD，AE，分别交A1B1，A1C1的延长线于点F，G．
(1)已知BD=12BB1,且三棱柱ABC−A1B1C1的体积为18．
①求三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG重合部分的体积；
②求三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG的重合度K．
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG的重合度K=13,求BDBB1的值．
19.(本小题12分)
已知锐角三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且a2+b2+c2=4ab．
(1)若c=5, csC=13，求▵ABC的面积；
(2)求C的取值范围；
(3)求1tanA+1tanB+1tanC的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.D
6.D
7.B
8.C
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.20
13.2 7
14.3
15.解：(1)由图得10×(0.01+2×0.02+0.03+0.005+m)=1，解得m=0.015．
(2)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为10×0.01=0.1，
则学生人数为1000×0.1=100，
得分在[80,90)内的频率为10m=0.15，则学生人数为1000×0.15=150，
故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为100100+150×50=20人.
(3)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为10×(0.02+m+0.005)=0.4，
以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为0.4×40000=16000人.

16.解：(1)设PC= 2= 2AB，则AB=1，即底面正方形边长是1，等边三角形▵PAB的边长是1，
由PC= 2,PB=BC=1，即PC2=PB2+BC2，则BC⊥PB，显然BC⊥AB，
又PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，
又BC⊂平面ABCD，则平面PAB⊥平面ABCD．
(2)
作PE⊥AB垂足为E，作EF⊥CD，垂足为F，连接PF，
平面PAB⊥平面ABCD，PE⊥AB，PE⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，
于是PE⊥平面ABCD，由CD⊂平面ABCD，则PE⊥CD，
又PE∩EF=E，PE,EF⊂平面PEF，则CD⊥平面PEF，
又PF⊂平面PEF，则CD⊥PF，又EF⊥CD，
则∠PFE为平面PCD与平面ABCD所成角，
由PE= 32,EF=1,PF= PE2+EF2= 72，
则sin∠PFE=PEPF= 217

17.解：(1)设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，a为奇数为事件D，
P(C)=P(D)×P(C|D)+PD×PC|D=12×14+12×18=316
(2)事件A，B不是相互独立；
P(B)=12×14+12×18=316,P(A)=26=13，
P(AB)=12×14+12×18=316，
因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不是相互独立；

18.解：(1)设▵A1B1C1的面积为S，三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，则三棱柱ABC−A1B1C1的体积V1=Sℎ．
①作DH//AB，交AA1于点H，连接EH，
因为DH⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DH//平面ABC，
因为BD//CE，且BD=CE，所以BC//DE，
又DE⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DE//平面ABC，
又DH∩DE=D，所以平面DEH//平面ABC，
因为BD=12BB1，所以H为棱AA1的中点，
则三棱柱HDE−A1B1C1的体积VHDE−A1B1C1=12V1=9，三棱锥A−DEH的体积VA−DEH=16V1=3．
故三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG重合部分的体积V公共=VHDE−A1B1C1+VA−DEH=9+3=12．
②因为DH//A1B1，所以DH//A1F，所以▵ADH∽△AFA1，
所以DHA1F=AHAA1=BDBB1=12，所以A1B1A1F=12．
因为DE//B1C1，B1C1⊂平面A1FG，DE⊄平面A1FG，所以DE//平面A1FG．
因为平面AFG∩平面A1FG=FG，且DE⊂平面AFG，
所以DE//FG，所以B1C1//FG，
则▵A1B1C1∽△A1FG，故S▵A1FG=4S▵A1B1C1=4S，
从而三棱锥A−A1FG的体积V2=13S▵A1FG⋅ℎ=43Sℎ=24，
故三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG的重合度K=V公共V1+V2−V公共=1218+24−12=25．
(2)设BDBB1=λ(04ab−a2−b24ab−a2−b2+b2>a2a2+4ab−a2−b2>b2 ⇒12