浙教版2025年八年级数学下学期期末总复习(知识梳理)专题02一元二次方程(考点清单，5考点16题型)(学生版+解析)-

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清单01 一元二次方程基础
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【补充说明】
1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断.
2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.
3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.
【易错/热考】如果明确了ax2+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
清单02 解一元二次方程
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
当b＞0时，则x1=ba=，x2= -ba，此时方程有两个不相等的实数根；
当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当b＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
定义：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
清单03 根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:x=−b±b2−4ac2a；
2）方程有两个相等的实根：x1=x2=−b2a；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
清单04 韦达定理
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝−ba，x1•x2＝ca
【补充说明】
1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；
2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下：
清单05 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
【考点题型一】识别一元二次方程（）
1．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中， 为一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型二】化成一元二次方程一般式（）
4．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7B．2，4， C．2，，7D．2，，
5．（22-23八年级下·浙江·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（21-22八年级下·浙江温州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式为 ，一次项系数为 ．
【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（）
8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2B．C．1或D．2或
9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．C．2023D．2025
11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ．
【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（）
12．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）一元二次方程的解是（ ）
A．B．2C．D．
13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ．
14．（22-23九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ．
【考点题型五】解一元二次方程-配方法（）
15．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是 ．
19．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程
(1)
(2)
【考点题型六】解一元二次方程-公式法（）
20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
21．（21-22八年级下·浙江·期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（ ）
A．17B．14C．11D．8
22．（21-22八年级下·全国·单元测试）关于的一元二次方程＝的两根为 ．
23．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．

【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（）
24．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（ ）
A．B．0C．2D．4
25．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）方程的根是 ( )
A．B．C．，D．，
26．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为（ ）
A．20B．24C．40D．48
27．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．
【考点题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况（）
28．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
29．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
30．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
31．（21-22八年级下·北京海淀·期中）关于的一元二次方程的根的情况为 ．
【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（）
32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．8
33．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ．
35．（22-23八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【考点题型十】一元二次方程根与系数的关系（）
36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
37．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A．B．C．D．
38．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
39．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知、是方程的两个实根，则的值是 ．
40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一元二次方程的两根为m，n，则 ．
41．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
(1)用配方法解方程：．
(2)设，是一元二次方程的两根，求的值．
【考点题型十一】已知一元二次方程的一个解，利用韦达定理求另一个解（）
42．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）一元二次方程的一根为3，则另一根为（ ）
A．B．1C．D．
43．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．，B．，8C．4，D．4，8
44．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知方程的一个根为2，则另一个根为 ．
【考点题型十二】一元二次方程与实际应用-传播问题（）
45．（2024·重庆沙坪坝·一模）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
46．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（ ）
A．11B．12C．13D．14
47．（20-21八年级下·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 个班级．
48．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【考点题型十三】一元二次方程与实际应用-增长率问题（）
49．（22-23八年级下·浙江·期末）“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
50．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知第二次降价的百分率是第一次的倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
51．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【考点题型十四】一元二次方程与实际应用-图形问题（）
52．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
53．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
54．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________．
55．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则c的值是 ；
（2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ．
56．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．

(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
57．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
(1)设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
(2)若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
【考点题型十五】一元二次方程与实际应用-数字问题（）
58．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
59．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（ ）
A．B．
C．D．
60．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ．
61．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．
【考点题型十六】一元二次方程与实际应用-动态几何问题（）
62．（21-22八年级下·浙江温州·期中）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．1sB．4sC．5s或1sD．4s或1s
63．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？
(3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？
64．（20-21八年级下·浙江·期末）如图所示，中，．
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发
①经过几秒，的面积等于？
②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
（2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？