浙教版2025年八年级数学下学期期末总复习(知识梳理)专题01二次根式(考点清单，5考点10题型)(学生版+解析)

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清单01 二次根式的基础
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
解决二次根式有无意义的关键：
1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
清单02 二次根式的性质
1）式子a（?≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以a具有双重非负性；
2）a2=aa≥0，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；
②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为.
清单03 二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即：
2.二次根式的除法
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即
【拓展】
3.最简二次根式
定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
4.二次根式的加减
同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即.
【口诀】一化、二找、三合并.
合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．
5.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
清单04 二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
化简二次根式的步骤:
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点题型一】二次根式有意义的条件（）
1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意；
B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意；
C、是二次根式，故C选项符合题意；
D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）当 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
当时，是整数，
故答案为：1（答案不唯一）．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
【考点题型二】求二次根式的参数（）
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：．
6．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，，
解得：，，
；
故答案：．
7．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．
【详解】解：，
，
，
又∵为整数，
．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键．
8．（21-22八年级上·浙江·期末）已知有理数满足等式，则 ； ．
【答案】
【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案．
【详解】解：由于，
，
由于与是有理数，
，，
，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型．
【考点题型三】利用二次根式的性质化简（）
9．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：由题意可知：，
，
故选：A．
10．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴，，
∴，
故选：C．
11．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
【详解】∵，，
∴，
∴原式，
，
故选：．
12．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）非零实数，满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，解题的关键熟练运用平方差公式；先运用平方差公式找到与的关系式；代入，通分化简即可．
【详解】两边同时乘以，可得：
可得：
把代入
故答案为：
【考点题型四】最简二次根式的判断（）
13．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
14．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可．
【详解】解：A中是最简二次根式，故符合要求；
B中，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：A．
【考点题型五】同类二次根式的判断（）
15．（21-22八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】能与合并，则该数与之是同类二次根式，即化简后被开方数相同，由此即可求解．
【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
B：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
C： ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
D：， 与是同类二次根式，能合并，符合题意
故选D
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟记同类二次根式的定义是解题关键．
16．（20-21八年级下·浙江·期末）若可以合并为一项，则可以是（ ）
A．6B．12C．15D．18
【答案】B
【分析】把每个选项的的值代入二次根式，化简后，再确定与是不是同类二次根式，从而可得答案.
【详解】解：可以合并为一项，
与是同类二次根式，
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与是同类二次根式；故符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式的识别，掌握同类二次根式的含义是解题的关键.
【考点题型六】已知同类二次根式求参数（）
17．（21-22八年级下·江苏连云港·期末）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意得：x+3=1+2x，
解得：x=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
18．（2025八年级下·全国·专题练习）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，．
故选：D．
19．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据最简二次根式和同类二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：6．
20．（23-24八年级下·贵州安顺·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．据此列式解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
21．（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知二次根式，
(1)如果该二次根式，求a的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）两边同时平方得关于的方程，求解即可；
（2）①根据同类二次根式的意义可求出的值，
②根据①的结论确定二次根式，根据二次根式的乘法运算，进一步得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
（2）①∵
又∵为最简二次根式，且与能够合并，，
∴
②
【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的乘法运算，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【考点题型七】二次根式的乘除运算（）
22．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
根据二次根式混合运算法则计算即可；
【详解】解：
故选：B
23．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
24．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算： ．
【答案】12
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．
【详解】解：原式

．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
25．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：．
【答案】．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【考点题型八】二次根式的加减运算（）
26．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列式子计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可．
【详解】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意；
B、不等于，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
27．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有，见解析
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法，先根据二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：有错误；
正确解法：．
28．（23-24八年级下·浙江台州·期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式的减法法则计算即可得出答案；
（2）利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
29．（20-21八年级下·浙江·期末）已知．求下列式子的值：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）15
【分析】（1）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案；
（2）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案．
【详解】解：∵，
∴ab==-2²=1，
a+b=+2+-2=，
（1）a2b+ab2
=ab（a+b）
=1×
=；
（2）a2-3ab+b2
=（a+b）2-5ab
=（）2-5×1
=20-5
=15．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．
【考点题型九】二次根式的化简求值（）
30．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
设，再利用完全平方公式运算求解即可．
【详解】解：设，
则，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
31．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中．
(1)____的解答过程是错误的；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)，
【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键．
（1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误；
（2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下：
，
．






．
小亮的解答过程是错误的．
（2）解：，
，
∴

．
原式．
32．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)16
(2)4
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用；
（1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可；
（2）原式化为，再整体代入即可．
【详解】（1）解：∵，；
∴；
（2）解：．
【考点题型十】二次根式的应用（）
33．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解．
【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
又，
，
故答案为：．
34．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
(1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，
（1）利用二次根式的除法解题即可；
（2）利用二次根式的混合运算解题即可．
【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米；
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
35．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长计算即可；
（2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可．
【详解】（1）解：．
长方形的周长是．
（2）解：


元．
答：购买地砖需要花费元．
36．（24-25七年级上·浙江金华·期中）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计．
(1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？
【答案】(1)5秒
(2)米
【分析】本题考查有关二次根式运算的运用：
（1）将代入求解即可得到答案；
（2）将代入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：当米时，
答：落到地面需要5秒；
（2）解：当秒时，
解得：，
答：物体下落前离开地面米．
37．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为．
(1)求圆环的宽度．
(2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，
根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可；
根据半径求得面积作差，再乘以单价即可．
【详解】（1）解： ，
故圆环的宽度为．
（2）解：（元），
则购买地砖需要花元钱．小亮：
解：原式

小芳：
解：原式