浙教版2025年七年级数学下学期期末总复习(知识梳理)专题02二元一次方程组(考点清单，3考点11题型)(学生版+解析)-

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清单01 二元一次方程组的相关概念
1.二元一次方程
二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式.
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
2.二元一次方程组
二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组.
一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）.
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
清单02 解二元一次方程组
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数；
2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
清单03 二元一次方程组与实际应用
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
【扩展说明】
1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点题型一】二元一次方程的识别（）
1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）下列是二元一次方程的是( )
A． B．C．D．
2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【考点题型二】根据二元一次方程的定义求参数（）
4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）方程是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．3
5．（20-21八年级上·辽宁铁岭·期末）若关于，的方程是二元一次方程，则 ．
6．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）若是关于，的二元一次方程，则 ．
【考点题型三】根据二元一次方程的解求参数或代数式的值（）
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ．
8．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若是方程的一个解，则代数式的值是（ ）
A．3B．C．D．
9．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知是二元一次方程的一组解，则 ．
10．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）已知是方程组的解，则的值是 ．
【考点题型四】判断二元一次方程组（）
11．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
13．（20-21七年级下·全国·课后作业）在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点题型五】判断是否二元一次方程组的解（）
14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
15．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
16．（21-22七年级下·浙江台州·期末）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【考点题型六】已知二元一次方程组的解求参数（）
17．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
18．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
20．（23-24七年级下·浙江·期末）已知是方程组的解，那么的值为 ．
【考点题型七】代入消元法（）
21．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·浙江温州·二模）用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
23．（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
(1)补全上述空白部分内容；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答．
24．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）解方程组：，并求分式的值．
【考点题型八】加减消元法（）
25．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是（ ）
A．B．C．D．
26．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）用加减法解方程组时，若要消去，则应（ ）
A．B．C．D．
27．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A．B．
C．D．
28．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）若与互为相反数，则 ．
29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）解方程组：
【考点题型九】解三元一次方程组的解法（）
30．（20-21七年级下·浙江·期末）若．则k的值为（ ）
A．3B．C．4D．
31．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知方程组的解满足方程，则 ．
32．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若同时满足：，，，则 ．
33．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．
(1)小北的方法：，整理可得：________；
，整理可得：________，∴．
小仑的方法：：________③；∴ ，得．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【考点题型十】列二元一次方程组（）
34．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）

A．B．C．D．
35．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校有空地60平方米，计划将其中的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x平方米，葡萄园的面积为y平方米，下列方程组正确的（ ）
A．B．C．D．
36．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醉、行酒各得几何？”设醇酒为x斗，行酒为y斗，则（ ）
A．B．
C．D．
37．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
38．（22-23七年级下·浙江·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为： ．
【考点题型十一】二元一次方程的应用（）
39．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）草基地为了提高收益．对收获的草莓分拣成，两个等级销售，每千克草莓的价格级比级的2倍少4元．3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元．
(1)问，两个等级的草莓每千克各是多少元？
(2)某超市从草莓基地购进、两个等级的草莓共200千克，且均价不超过19元，要求购进级草莓不少于48千克．
①根据所给的信息，、两个等级的草莓有哪几种购进方案？
②超市对购进的两个等级的草莓进行包装销售（如表所示，若不足一包，则该包不进行销售），全部包装销售完，当包装级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
40．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）请同学们根据以下素材，完成任务．
41．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务
42．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务．
43．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？
44．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
的解
的解
0
1
…
1
5
…
6
4
2
…
3
2
0
…
圆圆：由②，得③(依据：____________)
把③代入①，得
芳芳：把①代入②，得2(__________)．
草莓等级
包装重量（千克）
售价（元/包）
级
1
68
级
2
82
设计粽子采购方案
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本．
素材一
已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元．
素材二
（1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元．
素材三
某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．
任务一
求A、B型礼盒套装每箱各多少元？
任务二
若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？
任务三
若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______．
如何设计板材裁切方案？
素材1
图l中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材
2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出a和b的值，
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背9张和坐垫 a 张．
方法三：裁切靠背 b 张和坐垫6张．
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？
任务三
解决实际问题
现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和l张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）?并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案．
背景
为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1
买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2
为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3
班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数
问题解决
任务1
求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2
学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格：
款式
普通奶茶（杯）
加料奶茶（杯）
A
m
B
n
①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）；
②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．