2024-2025学年安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟高二下学期4月期中检测数学试卷(北师大版)（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟高二下学期4月期中检测数学试卷(北师大版)（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某质点的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式s(t)=2t2+5t，则该质点在t=3s时的瞬时速度为( )
A. 11m/sB. 14m/sC. 17m/sD. 33m/s
2.已知{an}是公差不为0的等差数列，则a9−a6+a1=( )
A. a1B. a2C. a3D. a4
3.如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路．若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则n=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.已知曲线y=x3+ax2在点(−1,a−1)处的切线的斜率为−1，则a=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
5.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有95％的把握但没有99％的把握认为高血压与高盐饮食有关，则χ2的观测值不可能为( )附：P(χ2≥3.841)=0.05,P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥7.879)=0.005．
A. 3.622B. 4.502C. 5.921D. 6.634
6.记Sn是等比数列an的前n项和，已知S2=−1,S4=−5，则S6=( )
A. −12B. −21C. −25D. −31
7.已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a1=3，an+12−an+1=2Sn，则a10=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
8.将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“b−a=d−c=12”的概率为( )
A. 6C2010B. 8C2010C. 12C2010D. 24C2010
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等比数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，公比为−2，则( )
A. an+an+1是等比数列B. lg2a2n−1是等差数列
C. Sn−1是等比数列D. 3Sn−1是等比数列
10.下列求导运算正确的是( )
A. e2025′=e2025B. lg3x3′=3xln3
C. (tanx)′=tan2x+1D. x2−12x2′=2x−1x3
11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，若C上存在n个互不重合的点P1，P2，P3，⋯，Pn满足∠P1FP2=∠P2FP3=⋯=∠Pn−1FPn=∠PnFP1=2πn，则下列结论中正确的是( )
A. 若n=2，则|P1P2|的最小值为4 B. 若n=2，则1|P1F|+1|P2F|=12
C. 若n=4，则1|P1F||P3F|+1|P2F||P4F|=116 D. 若n=4，则四边形P1P2P3P4面积的最小值为128
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)的导函数为f′x=1x2，函数gx=fsinx，则g′(π4)= ．
13.亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ．
14.已知各项均不为0的数列an的前n项和为Sn，且2nan+1=n3Sn，则Sn+1Sn的最大值为 .(注：ln2≈0.69)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=alnx−2x．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)若曲线y=f(x)与x轴相切，求实数a的值．
16.(本小题15分)
已知an是正项等比数列，且2a1和a3是方程x2−11x+18=0的两个不等实根．
(1)求an的通项公式；
(2)若an是递增数列，设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
某高科技公司开发一款新型机器人，为了解市场销售情况，统计了过去8个月的广告投入x(单位：万元)与销量y(单位：万台)的数据如下：
(1)求x,y；
(2)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以证明；
(3)已知利用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为y=2x+a，若某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量．
参考公式：相关系数r=i=1nxiyi−nxy i=1nxi2−nx2 i=1nyi2−ny2．
参考数据：i=18xiyi=1308,i=18xi2−8x2=42,i=18yi2−8y2=172, 7224≈85．
18.(本小题17分)
如图，在多面体ABCDEGF中，AG，DE，BF均与平面ABCD垂直，且C，E，F，G四点共面，AB⊥BC，AB=AD=2，BC=CD=2 3，DE=BF=3．
(Ⅰ)求线段AG的长;
(Ⅱ)求直线AE与平面ECFG所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
在数列an中，已知a1=2，且当n为奇数时，an+1=3an+1；当n为偶数时，an+1=2an−1．
(1)求an的通项公式；
(2)求an的前n项和Sn；
(3)设bn=an2n，若集合M=n|bn≥λ中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.ABD
10.BC
11.BCD
12. 2
13.50
14.5
15.(1)若a=1，则f′(x)=1x−2=1−2xx，
故f′(1)=−1，而f(1)=ln1−2=−2，
故曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y=−(x−1)−2=−x−1．
(2)f′(x)=ax−2=a−2xx，
设曲线y=f(x)与x轴相切于x0,0，则alnx0−2x0=0a−2x0x0=0，解得x0=ea=2e
故a=2e．
16.(1)x2−11x+18=0，解得x=2或9，
故2a1=2a3=9或2a1=9a3=2,
设an的公比为q,q>0，
当2a1=2a3=9时，a1=1a3=9,q2=a3a1=9，解得q=3，
所以an=a1⋅qn−1=3n−1；
当2a1=9a3=2时，a1=92a3=2,q2=a3a1=49，解得q=23，
所以an=a1⋅qn−1=92⋅23n−1=2n−23n−3；
(2)an是递增数列，故an=3n−1，
bn=nan=n3n−1，
所以Tn=130+23+332+⋯+n3n−1①，13Tn=13+232+333+⋯+n3n②，
式子①−②得23Tn=1+13+132+133+⋯+13n−1−n3n=1−13n1−13−n3n=32−32+n⋅13n，
故Tn=94−34+12n⋅13n−1．
17.(1)由表格中数据，得x=18i=18 i=4.5，y=26+30+31+33+35+38+38+418=34．
(2)依题意，i=18xiyi=1308,i=18xi2−8x2=42,i=18yi2−8y2=172, 7224≈85，
相关系数r=i=18xiyi−8xy i=18xi2−nx2 i=18yi2−ny2=1308−8×4.5×34 42× 172=84 7224≈8485≈0.988，
相关系数非常接近1，说明x与y有强线性相关关系，适合用线性回归模型．
(3)由(1)知a=y−2x=34−2×4.5=25，
因此y关于x的线性回归方程为y=2x+25，当x=10时，y=2×10+25=45，
所以某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量45万台．
18.解：(Ⅰ)因为BF⊥平面ABCD，BC、BA⊂平面ABCD，所以BF⊥BC、BF⊥BA，
而AB⊥BC，因此BC、BA、BF两两垂直．
以B为坐标原点，BC、BA、BF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如下：
因为AB=AD=2，BC=CD=2 3，AB⊥BC，
所以tan∠CAB=BCBA=2 32= 3，所以∠CAB=π3，
同理可得，所以，
因此B0,0,0、C2 3,0,0、，即D 3,3,0、A0,2,0．
因为DE=BF=3，DE、BF均与平面ABCD垂直，所以F0,0,3、E 3,3,3．
设G0,2,tt>0，则CG=−2 3,2,t、CF=−2 3,0,3、CE=− 3,3,3、AG=0,0,t．
因为C、E、F、G四点共面，所以CG=mCF+nCE，
即−2 3,2,t=m−2 3,0,3+n− 3,3,3=−2 3m− 3n,3n,3m+3n，
因此2m+n=23n=23m+3n=t，解得m=n=23t=4，所以AG=t=4，即线段AG的长为4．
(Ⅱ)在(Ⅰ)的坐标系下，AE= 3,1,3、CF=−2 3,0,3、CE=− 3,3,3．
设平面CEGF的法向量为m=x,y,z，则由CF·m=0CE·m=0得−2 3x+3z=0− 3x+3y+3z=0,
取z=2得x= 3，y=−1，因此m= 3,−1,2是平面CEGF的一个法向量．
设直线AE与平面ECFG所成角为θ，则sinθ=cs=AE ·mAE ·m=8 13·2 2=2 2613，
因此直线AE与平面ECFG所成角的正弦值为2 2613．
19.解：(1)由条件可知，a2=3a1+1=7，
当n为偶数时，an+1=2an−1，所以数列an的奇数项成公比为2的等比数列，
所以a2n−1=a1⋅2n−1=2n，所以n为奇数时，an=2n+12，
当n为偶数时，，
所以an=2n+12,n为奇数3⋅2n2+1,n为偶数；
(2)当n为偶数时，
Sn=2+(3×2+1)+4+3×22+1+...+2n2+3×2n2+1
=2+4+...+2n2+3×2+22++n2
=4×2×1−2n21−2+n2=2n2+3−8+n2；
当n为奇数时，
Sn=2+(3×2+1)+4+3×22+1+...+3×2n−12+1+2n+12，
=2+4+...+2n+12+3×2+22+−12+n−12
=2×1−2n+121−2+3×2×1−2n−121−2+n−12；
=5⋅2n+12−8+n−12，
所以Sn=5⋅2n+12−8+n−12,n为奇数2n2+3−8+n2,n为偶数；
(3)bn=21−n2,n为奇数3⋅2−n2+2−n,n为偶数,
所以当n为奇数时，数列bn单调递减，当n为偶数时，数列bn单调递减，
b1=1，b2=74，b3=12，b4=1316，b5=14，b6=2532，
当25321316时，集合M=n|bn≥λ中有至多2个元素，不合题意，
若集合M=n|bn≥λ中恰好有3个元素，则2532