数学：安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中检测试题（解析版）

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一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，得到，
则该质点在时的瞬时速度为，故C正确.
故选：C
2. 已知是公差不为0的等差数列，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由等差数列的性质知，结合题设有.
故选：D
3. 如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路．若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】甲地经乙地到丁地的路线共有条，
甲地经丙地到丁地的路线共有条，
故从甲地到丁地路线条数为，
所以，解得.
故选：B
4. 已知曲线在点处的切线的斜率为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】，则，
由题意知，解得.
故选：D
5. 某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（ ）
附：.
A. 3.622B. 4.502C. 5.921D. 6.634
【答案】A
【解析】由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，
得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.
故选：A
6. 记是等比数列的前项和，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在等比数列中，，而成等比数列，
因此，所以.
故选：B
7. 已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为正项数列的前项和为，且满足，，
当时，则有，即，解得（舍）或；
当且时，由可得，
上述两个等式作差得，整理得，
由题意可知，所以，且不满足，
所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故.
故选：B.
8. 将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将这20个小球随机分为两组放入甲，乙两个盒子中，共有种方法，
假设1号在甲盒中，则甲盒中小球的最大编号为13，故20号小球在乙盒中，
乙盒中小球最小编号为8，从而编号从1到7的小球均在甲盒中，
9,10,11,12号小球有任意2个在甲盒中，满足要求的情况数为，
将甲盒与乙盒互换，同样有6种情况，综上，共有种，满足要求，
所以“”的概率为.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等差数列
C. 是等比数列D. 是等比数列
【答案】ABD
【解析】A选项，由题意得，故，
其中，故为等比数列，A正确；
B选项，，故，
又，故是等差数列，B正确；
C选项，，，
，其中，故不是等比数列，C错误；
D选项，，故，
故，所以为等比数列，D正确.
故选：ABD
10. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，易得，故A错误，
对于B，由对数运算性质得，
则，故B正确，
对于C，由同角三角函数的基本关系得，
则，故C正确，
对于D，由幂函数求导法则得，故D错误.
故选：BC
11. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，
…，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为4
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则四边形面积的最小值为128
【答案】BCD
【解析】当，即，故共线，
所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，A错；
令，而，可设，
联立抛物线得，
所以，，则，，
所以，B对；
当，，、共线，
如下图，
令，，则，
易知，，，，
同B分析得，，
所以
，C对；
，
当时，最小，D对.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的导函数为，函数，则__________．
【答案】
【解析】，
所以，
故答案为：
13. 亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为__________．
【答案】
【解析】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种，
按分组，
若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，
若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种，
所以共有种；
按分组，
若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，
若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种，
所以共有种；
综上，共有种分配方法.
故答案：
14. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）
【答案】5
【解析】因为，，
所以，故，
令，,则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，
故在处取得最大值，最大值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若曲线与轴相切，求实数的值.
解：（1）若，则，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为.
（2），
设曲线与轴相切于，则，解得
故.
16. 已知是正项等比数列，且和是方程两个不等实根．
（1）求的通项公式；
（2）若是递增数列，设，求数列的前项和．
解：（1），解得或9，
故或，
设的公比为，
当时，，，解得，
所以；
当时，，，解得，
所以；
（2）是递增数列，故，，
所以①，②，
式子①-②得，
故.
17. 某高科技公司开发一款新型机器人，为了解市场销售情况，统计了过去8个月的广告投入（单位：万元）与销量（单位：万台）的数据如下：
（1）求；
（2）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（3）已知利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量.
参考公式：相关系数.
参考数据：
解：（1）由表格中数据，得，.
（2）依题意，，
相关系数，
相关系数非常接近1，说明x与y有强线性相关关系，适合用线性回归模型.
（3）由（1）知，
因此关于的线性回归方程为，当时，，
所以某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量45万台.
18. 如图，在多面体中，AG，DE，BF均与平面垂直，且C，E，F，G四点共面，，，，．
（1）求线段AG的长；
（2）求直线AE与平面所成角的正弦值．
解：（1）因为BF与平面垂直，平面，
所以⊥，⊥，
又，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
连接，，由勾股定理得，
故，故，
因为，，，
所以≌，故，
过点作⊥于点，故，
所以，所以，
又，
所以，
设，则，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
C，E，F，G四点共面，故，
即，
解得，故；
（2），平面的法向量为，
设直线AE与平面所成角的大小为，
则，
直线AE与平面所成角的正弦值为.
19. 在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和；
（3）设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围.
解：（1）由条件可知，，
当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以为奇数时，，
当为偶数时，，
所以；
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
；
，
所以；
（3），
所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，
，，，，
若集合中恰好有3个元素，则.广告投入万元
1
2
3
4
5
6
7
8
销量万台
26
30
31
33
35
38
38
41