安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学（北师大版）试题（Word版附解析）

这是一份安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学（北师大版）试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．1D．2
2．的值为（ ）
A．B．C．D．
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4．已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面四边形中，，，，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（ ）
A．B．
C．D．
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．与夹角的余弦值为
11．已知函数，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．存在，使得成立
三、填空题
12．函数的最大值为 .
13．已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 .
14．已知点为的重心，分别为边，上一点，为的中点，若，，三点共线，且，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知，且.
(1)求；
(2)若，且，求.
16．已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
17．在直角坐标系中，已知点，，，点满足，，
(1)求；
(2)求在上的投影向量的坐标.
18．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.
(1)记的相伴函数为，当时，若，求的值；
(2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
(3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值.
参考答案
1．D
由正弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期为.
故选：D.
2．A
利用余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】.
故选：A.
3．C
由三角函数的平移变化即可得出的答案.
【详解】所以把函数的图象向右平移个单位长度可得：
，
故选：C.
4．C
根据，两边平方，由向量数量积运算得，再由夹角公式求解.
【详解】因为，所以 ，
即，得 ，
设与的夹角为θ，则，
因为，所以 .
故选：C
5．B
由已知式两边平方，可得，将所求式进行配方后，代入结论计算即得.
【详解】由两边取平方，可得，解得，
则.
故选：B.
6．B
在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.
【详解】在 中，由余弦定理得：
，
所以
在中，由正弦定理得 ，
所以
故选：B
7．A
根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为函数在区间上单调递减，
所以，,即，
故当时，.
故选：A
8．C
先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可.
【详解】因为，所以，且，
所以，，
又因为，所以，
则.
故选：C.
9．BD
由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．ABD
根据向量的加法的坐标运算和模长公式可判断A；根据垂直的坐标运算可判断B；利用夹角余弦及向量共线计算判断C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项D.
【详解】对于A，，则 ，故A正确；
对于B，因为
所以故B 正确；
对于C，，若与的夹角为锐角，
则得且与不共线（同向），
，解得：且
则的取值范围为：，故C错误；
对于D，，，
，所以与夹角的余弦值为：
，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可.
【详解】对于A，
，故 A 正确；
对于B，当 时 故B错误；
对于C，当 时 ，
因在上单调递增，则在上单调递增，故C正确；
对于D，若则是函数的一个周期，
因的最小正周期为π，所以 即
显然不存在整数，使得 ，故 D错误.
故选：AC.
12．
利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值.
【详解】由
，
可得.
故答案为：.
13．
先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量、、的坐标，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出的表达式，进而求出其最小值.
【详解】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，. 设，
已知，，可得：，
，所以.
.
根据向量模的计算公式：可得：
因为，所以，则，当且仅当时取等号.
故答案为：.
14．/0.5625
利用三角形重心性质和共线向量基本定理推得，与已知式比较，得到，再运用基本不等式求解即得.
【详解】因为点 为 的重心，所以 .
因为三点共线，所以存在 使得 ，
则，又
则得 即 .
由图可知因当且仅当 时等号成立，
故的最大值为 .
故答案为：.

15．(1)
(2)
（1）由，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案.
【详解】（1）已知，且，
所以，解得：或，
因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以.
因为，，，
所以，所以.
16．(1)
(2)
（1）根据函数的最大值和最小值求出，根据相邻两条对称轴间的距离求出，得出解析式；
（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.
【详解】（1）由已知得,解得.
由相邻两条对称轴间的距离为可知周期,于是，
故函数解析式为
（2）当时，，函数在区间内有两个零点，
则在区间上有两个根，，
则，所以.
17．(1)
(2)
（1）将向量坐标代入已知式，求解方程组即得；
（2）分别求出与的坐标，代入投影向量计算公式即可.
【详解】（1）由，，可得，
即，则有，解得，
故.
（2）由（1）可得，因，
则，，
于是在上的投影向量为，
则在上的投影向量的坐标为，即.
18．(1)
(2)
(3)
（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围
【详解】（1）


即
因 ，则，故，解得 .
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）

方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得
故 可得 故
又 ，的面积的取值范围为
19．(1)
(2)
(3)6
（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可；
（2）将函数化成，由题意推得，化简可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得；
（3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得.
【详解】（1）依题意，，
由，可得，
因，则，故，
于是；
（2）依题意，，其中，，
因函数在时取得最大值，则，解得，
即，则，，
由
，
因，函数在上单调递减，
故当时，取得最小值，此时取得最小值为；
（3）依题，则，因，则.
如图作于点，因点为的外心，则，
如图，
，
则，
由正弦定理，，则，则，
因，则当时，取得最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
B
A
C
BD
ABD
题号
11









答案
AC