山东省青岛市第十五中学2024−2025学年高二下学期第三学段质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份山东省青岛市第十五中学2024−2025学年高二下学期第三学段质量检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( )
A．B．C．1D．
2．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ）
A．144B．120C．96D．90
4．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．24
5．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ）
附：
A．60B．65C．70D．75
6．已知随机变量.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
二、多选题
9．以下四个命题中，其中正确的是（ ）
A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则.
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
C．在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位；
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
10．已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．设随机变量，若，则 .
13．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ．
14．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则= ；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数，当时取得极大值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
16．某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，.
参考数据：，
17．已知函数．
（1）若为上的单调函数，求的取值范围；
（2）若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围．
18．新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
（1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率：
（2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项．
①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19．维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中．
(1)若，，且点，，写出所有的点的坐标；
(2)任取维空间中的不同两点．
（i）若，求的概率；
（ii）记随机变量，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，
∴．
方法二：由题可知，服从超几何分布，故．
故选D．
2．【答案】D
【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解.
【详解】由于函数，则，
代入，可得：，
解得：，所以，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明赢方的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种），
棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放输方的白棋，共有种．
故此时棋子的分布情况共有种.
故选
4．【答案】A
【详解】原式，因展开式中没有项，
展开式中项为，
所以的展开式中的系数为.
故选A.
5．【答案】C
【详解】设男生总人数为，依题意可得列联表如下：
若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，
则，
解得，则被抽取的男生人数至少为70人.
故选C.
6．【答案】B
【详解】由，则，
，
且，
构造函数，其导函数为，
由于，，故函数在区间上单调递增；
当时，取最小值；当时，函数值为；
所以；
故选B.
7．【答案】A
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选A
8．【答案】C
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可.
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于选项A，，，代入回归直线方程为，即，则，正确；
对于选项B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误；
对于选项C， 在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位，正确；
对于选项D，对两边取对数得，设，则，与比较得，则，，即，正确.
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】由题设，令且，
令，则在上恒成立，即在上单调递增，
根据复合函数及指数函数的单调性易知在上单调递增，而，
所以，故，A对；又，则，B错；
由，显然等号不能成立，
所以，即，C对；
由，则，又，则，D错.
故选AC
11．【答案】ACD
【详解】令.
对于A选项，，，
所以，故A正确；
对于B选项，令，可得，
则有，
，的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
由，解得，所以，，故B错误；
对于C选项，，因此，，故C正确；
对于D选项，，
因此，，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为随机变量，，
则，解得.
13．【答案】
【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，
在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
则小张决定采购该企业产品的概率.
14．【答案】
【详解】当时，，又根据题意可知，
故可得，
则；
当时，，根据题意可设
故可得
则；
当时，因为，故显然成立，故满足题意；
当时，等价于，
不妨令，容易知，
又因为，
故要满足题意，只需，解得，结合，则.
综上所述，.
15．【答案】（1）
（2）最大值是，最小值是.
【详解】（1）因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，.
①当时，，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去.
②当时，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意.
综上可得：.
（2）由（1）可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是.
16．【答案】（1）；（2）人．
【详解】（1）由题意知，
，
，
，
所以，
，
故所求经验回归方程为；
（2）由题可知，
该地参与社区养老的老人有（人）
该地参与社区养老的老人约有人.
17．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1）若为上的单调增函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
若为上的单调减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
综上所述，若为上的单调函数，则的范围为.
（2）定义域为，且，故为奇函数，
又，
则函数恰有三个不同的零点，等价于在有一个零点，
又，
令，则，
①由（1）可知，当时，为上的单调减函数，
又，故在恒成立，故在单调递减，
又，，故存在，使得，
则得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故当，，
又，故存在，使得，
则在有一个零点；
②当时，，
令，则，则在单调递增，
则，即在恒成立，
则在无零点，不符合题意；
③当时，令，
则，
令，则，
若，则；
若，令得，
则得；得，
又，则在恒成立，即在恒成立，
因，则，则，
则在上单调递减，
因，
易知当时，时，
则，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
即在有一个零点；
综上所述，的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）① ，；②
【详解】（1）设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，
所以；
（2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
.
②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为0，2，3，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，
则，
，
，
所以；
要使唯独选择方案I最好，则
解得：，故P的取值范围为．
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由定义可知，，
即，且，
所以解得满足方程的B点坐标为；
（2）（i）（固定点P）：设点，
因为，
因为或1，或1，
所以中有两项等于0，两项等于1，
所以满足条件的所有可能情况有种，
因为两不同点所有可能情况共有种，
所以的概率；
（ii）设随机变量，其中，
因为，
所以，
因为，
两边同时求导，得，
上式两边同乘，求导得
，
令，得，
所以，
因为，
所以单调递减，
因为，
所以.
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码（）
1
2
3
4
5
新建社区养老机构（）
12
15
20
25
28
选项
作出正确判断
判断不了（不选）
作出错误判断
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
每周平均体育运动时间超过4小时的人数
每周平均体育运动时间不超过4小时
合计
男生人数
女生人数
合计