山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷（解析版），共8页。
1．答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．
2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本让卷上，否则无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 由数字1，2，3，4，5可以组成不同的三位数（各位上的数字可以重复）的个数为（ ）
A. 120B. 125C. 243D. 360
【答案】B
【解析】各位上的数字均有5种选择，则总个数为.
故选：B.
2. 函数，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】由，则，
所以.
故选：A.
3. 已知与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得线性回归方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，与正相关，故AD不正确；
因为线性回归方程要过点，对于B，时，，故B不正确；
对于C，时，，故C正确.
故选：C.
4. 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表：
股票A收益分布列
股票B收益分布列
下列说法正确的是（ ）
A. 投资股票A的期望收益较小
B. 投资股票B的期望收益较小
C. 投资股票A的风险比投资股票B的风险小
D. 投资股票B的风险比投资股票A的风险小
【答案】D
【解析】股票A收益X的期望为，
方差为，
股票B收益Y的期望为，
方差为，
所以,
投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益，
投资股票B的风险比投资股票A的风险小.
故选：D.
5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312
【答案】A
【解析】该同学通过测试的概率为，故选A．
6. 若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
7. 甲、乙两人从周一到周日7天中选2天值班，则这两人恰有1天都选的选法共有（ ）
A. 30B. 120C. 210D. 240
【答案】C
【解析】先确定选择同一天的情况，有种选法，再从剩下的6天中任选两天，
因此共有种选法.
故选：C.
8. 已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，显然，
所以问题转化为在上恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，则，
所以，即，所以的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某地区数学考试成绩数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，其中男生数等于女生数，则（ ）
A. 男生成绩的平均分约为72分
B. 男生的成绩比女生更为集中
C. 80分以上的学生中，男生数约等于女生数
D. 低于56分的学生中，女生数多于男生数
【答案】AC
【解析】由题意，男生成绩X服从正态分布，
则，即男生成绩的平均分约为72分，故A正确；
女生成绩Y服从正态分布，则，
由于，所以女生的成绩比男生更为集中，故B错误；
而，，
则，则80分以上的学生中，男生数约等于女生数，故C正确；
而，，
所以，则低于56分的学生中，女生数少于男生数，故D错误.
故选：AC.
10. 设函数，a不是极值点，则（ ）
A. 是极值点
B. 若与的极大值相等，则
C. 当时，
D. 过原点与曲线线相切的直线有三条
【答案】ABD
【解析】由，
则，
令，得或；令，得，
所以函数和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值，
时，函数取得极小值，故A正确；
对于B，由于与的极大值相等，a不是极值点，
则，又，所以，故B正确；
对于C，当时，，则，故C错误；
对于D，设切点为，
由，则，
解得或，
所以过原点与曲线线相切的直线有三条，故D正确.
故选：ABD.
11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（ ）
A. 采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为
C. 采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为
D. 当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为
，故A错误；
对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”，
则译码为1的概率为，故B正确；
对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为
，故C正确；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”，
所以收到译码为0的概率；
若发送0，采用单次传输方案译码为0概率为，
由，且，
则，即，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 设则______；
【答案】
【解析】由，则，
所以.
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为______.（数字作答）
【答案】
【解析】由的展开式通项为，，
当时，，当时，，
所以含的项为.
故的系数为.
故答案为：.
14. 已知三个正整数的和为9，用表示这三个数中最小的数，则______．
【答案】
【解析】设这三个正整数分别为，则由题意可得，
故随机变量可能取值为1，2，3，用隔板法，可知排法总数有种.
当时，可分两种情况：① 三个数中，只有一个1，有种；② 三个数中有两个1，有种，
故；
当时，可分两种情况：①三个数中只有一个2，有种，② 三个数中有两个2，有种，
故；
当时，只有一种情况，
即.
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数）
（附：，其中，
解：（1）由题意，X的所有取值为，
则，，，
则X的分布列为
所以
（2）由题列联表如下：
则，
所以学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时无关.
16. 已知函数，为的导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
解：（1）当时，，
则，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，，则，
所以，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
此时，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则时，函数取得极小值，满足题意，
即，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得最小值，无最大值.
17. 甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．
（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；
（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．
解：（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为.
（2）由题意，的所有取值为，
则，，
，
则的分布列为：
（3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
故从乙箱中摸到红球的概率为；
综上所述：摸到红球的概率为.
18. 已知函数，其中．
（1）讨论的零点个数；
（2）若是在上的零点，证明：．
解：（1）由，得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为时，，，，
所以当，即时，函数无零点；
当，即时，函数有1个零点；
当，即时，函数有2个零点.
综上所述，当时，函数无零点；
当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
（2）由题意，，即，
要证，即证，
令，，
因为，所以，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，，
因为，所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以，
则函数在单调递减，所以，即，
综上所述，，即.
19. 某人工智能公司招聘高级技术人员一名，经初选，有10名应届毕业生进入最后面试环节，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面试者随机抽取1，2，…，10号面试序号．
（1）若来自A高校的4名毕业生的面试序号分别为,，，，来自B高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自C高校的2名毕业生的面试序号分别为，．
（ⅰ）求概率，；
（ⅱ）随机变量，求的均值．
（2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的得分各不相等，现该公司的人事部门设计了以下面试录用规则：，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者．证明：面试得分第一、第二的两名毕业生之一被录用的概率小于0.59．
解：（1）（i）从10个面试序号中选4个给B高校的毕业生，总的选法有种，
若，则从1到7号中选3个给B高校的其他3名毕业生，选法有种，
则，
从6个面试序号中选2个给C高校的毕业生，剩下4个给A高校的毕业生，总的选法有种，
若，则这6个面试序号中，最大，安排在，，，前后的空位中，
选法有种，
则时，选法有10种，则.
（ii）的可能取值为，则，
所以
（2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人.
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：.
②第二种情况，录用了面试得分第二的人.
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为.
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
.
综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为：
收益X
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
时间（小时）
成绩
优秀
4
44
42
3
2
不优秀
134
142
140
40
24
X
1
2
3
其它
合计
优秀
45
50
95
不优秀
180
300
480
合计
225
350
575
0
1
2