山东省青岛市胶州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平检测数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市胶州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交， 函数，则，， 已知，，，则的最小值为， 下列大小关系正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，所以.
故选：B.
2. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A. 20B. 26C. 32D. 36
【答案】B
【解析】从个球中任取个球的取法共有种，
两个球都不是红球的取法有种，
所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.
故选：B.
3. 函数与的图象（ ）
A. 关于对称B. 关于对称
C. 关于对称D. 关于对称
【答案】C
【解析】设函数与的图象关于直线对称，
因为函数图象关于对称图象的函数解析式为，
所以，解得.
故选：C.
4. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，
故，
又因为的值域为，
则需满足，
，解得.
故选：B.
5. 函数，则，（ ）
A. 是偶函数，且在区间上单调递增
B. 是偶函数，且在区间上单调递减
C. 是奇函数，且在区间上单调递增
D. 是奇函数，且在区间上单调递减
【答案】A
【解析】的定义域为,且
，故，即函数是偶函数；
因，当时，，则，即函数在区间上单调递增.故选：A.
6. 我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，
对区域2涂色，有3种涂色方法，
对区域5涂色，有2种涂色方法，
对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，
若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，
所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：；
事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，
对区域2涂色，有3种涂色方法，
对区域5涂色，有2种涂色方法，
对区域4涂色，有2种涂色方法，
区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：；
故所求概率为.
故选：C.
7. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】因为，，所以，
所以，
当且仅当，即 时，取等号，所以的最小值为，
故选：C
8. 函数满足对任意的，均有，且，则（ ）
A. 4048B. 4046C. 2024D. 2023
【答案】B
【解析】对任意，均有，
所以当时，，
所以，
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对A，根据指数函数以及，可得，故A错误；
对B，根据指数函数性质即可判断；底数大于1时是增函数，底数越大增的越快即越大，故B正确；
对C，因为lg33.1>lg33=1，，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（ ）

A. 是的极小值点B. 有2个极大值点
C. 在区间单调递增D.
【答案】BCD
【解析】A：由题意知，当时，，
所以不是的极小值点，故A错误；
由图知，
当时，函数f'(x)-1>-1⇒f'(x)>0，递增，
当时，函数，递减，
当时，函数，递增，
当时，函数，递减，
所以当或时，取得极大值，故B正确；
且在区间单调递增，故C正确；
D：由题意知，由图，得，f'x-1>0⇒f'x>1，
所以区间内单位增长率大于1，且，可得f2>2，故D正确；
故选：BCD
11. 假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是，若进行多次实验，直到失败次，那么成功的次数服从“负二项分布”，记作：，若，则（ ）
A. 若，则，
B. 若，则的数学期望
C. ，
D. 若最大，则，
【答案】ABD
【解析】对于选项AB：若，
则即进行次实验，失败1次即结束，可知失败之前均为成功，
所以，，
因为，
因为
，
所以的数学期望，故AB正确；
对于选项CD：若，则进行次实验，第次之前成功次，第次失败，
所以，，故C错误；
若最大，则，
即，解得，
所以若最大，则，，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的系数为______.
【答案】140
【解析】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得，
所以系数为.
故答案为：140.
13. 已知，，，则______.
【答案】
【解析】根据题意可知，，，
所以代入已知条件得，，
所以可得.
故答案为：
14. 已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为______；若切点为，，则的取值范围为______.
【答案】；
【解析】对于第一空：已知，过点可作曲线的两条切线，，
若切点为，，则，
整理得，同理，
所以关于的方程在上有两根，且不是该方程的根，
设gx=t2-t+1-lnx-tx,x>0，则g'x=-1x+tx2=t-xx2,x>0，
若，则，这表明单调递减，故此时最多有一个零点，
从而，当时，，当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
设，则当时，，当时，，
所以要使关于的方程在上有两根，
只需gxmax=gt=t2-t-lnt>0,t>0，令ht=t2-t-lnt,t>0，
则，
当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，且注意到，
所以满足ht=t2-t-lnt>0,t>0的的范围为；
对于第二空：由以上分析可知，，
所以，
令mt=t2-t+1=t-122+34,t>0,t≠1，所以的值域为，
即的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若为函数的一个极值点，求曲线的对称中心.
解：（1），，
，
因为函数在上单调递增，
所以当，恒成立，
又二次函数开口向上，且对称轴为，
故在上单调递增，
所以只需，即，
故实数的取值范围为；
（2）由，函数的一个极值点为，
所以，解得，
此时，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
所以为函数的极小值点，故满足题意，
所以，
设曲线的对称中心为，
由题意，函数为奇函数，
则，
由， 即对任意恒成立，
得，
因为，
所以，
解得，所以曲线的对称中心为.
16. 某种植物子二代的基因型为，，，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.
（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是的株数的分布列和期望；
（2）在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为的概率.
解：（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，则基因型为，，的分别为1，2，1株，再随机抽取2枚，基因型是的株数可能取的值为0，1，2
所以
则分布列为
的期望为
（2）子二代基因配型有六种情况，分别记为事件
子三代中基因型为记为事件，则
所以.
17. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若的最小值为，求的值.
解：（1），
当时，，所以在上单调递增
当时，由得，由得
所以区间单调递减，在区间单调递增
（2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值
当时，在区间单调递减，在区间单调递增
所以，所以
令，则，
由得，，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为
所以，
所以的值为1.
18. 氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？
（2）随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量近似服从正态分布，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03.
①求；
②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.
附：Ⅰ.参考公式：，其中.
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
Ⅱ.对任何一个正态分布服从来说，通过转化为标准正态分布服从，从而查标准正态分布表得到
可供查阅的（部分）标准正态分布表：
解：（1）因为
所以，依据的独立性检验，可以认为季节（春夏）对茶叶氨基酸含量有影响.
（2）①由题意，
所以
故
因为，所以，.
②茶叶中氨基酸含量小于0.015时为乙等产品，
而
根据标准正态分布的对称性，
所以这批茶叶中的乙等产品约有.
19. 已知函数的一个零点是．
（1）求的值；
（2）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（3）若关于的方程有两个不相等的实根，求证：．
解：（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，
又因为，所以直线：
令，，
则，
因为，
又因为在上单调递增，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
故
所以，即上的点都不在直线的上方；
（3）令，得，
当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
又，，
所以有两个零点1和，
在处的切线为，在处的切线为
设与两条切线交点的横坐标分别为，则，
由（2）知，所以
记，，
因为，所以，故在上单调递增，
所以，
所以．0
1
2
事件
配型
0
1
0
氨基酸
春季
夏季
含量高
30
20
含量低
15
25
0.1
005
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0.841
0.885
0.919
0.945
0.964
0.977
0.986
0.992
0.995