湘美版三年级上册提当堂检测题

这是一份湘美版三年级上册提当堂检测题，共26页。试卷主要包含了利用二次根式的性质a2，化简后直接代入求值等内容，欢迎下载使用。

题型一 利用二次根式非负性化简求值
1．（2024春•靖江市期中）已知x，y为实数，且y=x-25-25-x+16，求x+y的值．
【分析】根据被开方数不小于零的条件求出x的值，再代入x的值求出y的值，最后将x与y的值代入进行求值即可．
【解答】解：由题可知，
x-25≥025-x≥0，
解得x＝25，
将x＝25代入y=x-25-25-x+16，
解得y＝16，
则x+y=25+16=5+4＝9．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
2．（2024春•开福区校级月考）若x，y是实数，且y=4x-16+16-4x+3．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性得出4x﹣16≥0，16﹣4x≥0，进而得出x＝4，y＝3．
（2）将x＝4，y＝3代入代数式，求其算术平方根，即可求解．
【解答】解：（1）∵y=4x-16+16-4x+3．
∴4x﹣16≥0，16﹣4x≥0，
∴4x﹣16＝0，
∴x＝4，
则y＝3，
（2）∵x＝4，y＝3，
∴x2+y2=42+32=5．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
3．（2023春•西安校级期末）已知实数x、y满足y＞x-2+2-x+4，化简：|3-y|-y2-2y+1．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y的范围，根据绝对值的性质、算术平方根的概念计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得：x＝2，
则y＞4，
∴|3﹣y|-y2-2y+1
＝|3﹣y|﹣|y﹣1|
＝y﹣3﹣y+1
＝﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2022秋•浦东新区校级月考）已知x为奇数，且x-79-x=x-79-x，求1+2x+x2•x2+8x-9x-1的值．
【分析】利用二次根式的性质确定x的取值范围，再利用x为奇数，得出x的值；利用因式分解把要求的式子化简后再代入求值．
【解答】解：∵x-79-x=x-79-x，
∴x-7≥09-x＞0．
解得：7≤x＜9．
∵x为奇数，
∴x＝7．
∵1+2x+x2•x2+8x-9x-1=(x+1)2⋅(x-1)(x+9)x-1=（x+1）•x+9，
∴原式＝（7+1）×16=8×4＝32．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质，利用二次根式的性质确定x的取值范围是解题的关键．
5．（2023春•睢县期中）已知a、b满足4a-b+1+13b-4a-3=0，求2a（ba÷1-b）
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：4a-b+1=013b-4a-3=0，
解得：a=-1b=-3，
故2a（ba÷1-b）
＝2×（﹣1）×（-3-1÷13）
＝﹣2×（3×3）
＝﹣2×3
＝﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
6．（2023秋•丰台区校级期中）已知：a=b-2018+2018-bb2018+2018b，求2018a-ab+2018的值．
【分析】先由二次根式有意的条件，化简求得b的值，进而得a的值，从而将a和b的值代入要求的式子即可求得答案．
【解答】解：由二次根式有意义的条件可知，
b﹣2018≥0，2018﹣b≥0
∴b﹣2018＝0
∴b＝2018
∴a=b-2018+2018-bb2018+2018b
＝0+2018×2018
＝20182
∴2018a-ab+2018
=201820182-201822018+2018
＝1﹣1+2018
＝2018
∴2018a-ab+2018的值为2018．
【点评】本题考查了利用二次根式有意义的条件，对二次根式进行化简，明确二次根式的被开方数的非负性，是解题的关键．
7．（2023春•铁西区期中）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知y=2022-x+x-2022+2023，求x，y的值．
解：由2022-x≥0x-2022≥0，得x＝ ，∴y＝ ；
（2）尝试应用：若x，y为实数，且y＞x-3+3-x+2，化简：|2-y|3y-6．
（3）拓展创新：已知n=mn-12+24-2mn-m+8，求m﹣n的值．
【分析】（1）解不等式组即可求出x和y的值；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得x＝3，y＞2，进而化简代数式即可；
（3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得mn＝12，m+n＝8，进而求出m﹣n即可．
【解答】解：（1）解不等式组得x＝2022，
∴y＝2023．
故答案为：2022，2023；
（2）由x-3≥03-x≥0，
解得：x＝3，
∴y＞2．
∴|2-y|3y-6=y-23(y-2)=13；
（2）由：mn-12≥024-2mn≥0，
解得：mn＝12，
∴m+n＝8，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，
∴m﹣n＝±4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
8．（2023秋•榆阳区校级月考）二次根式a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果a≥0，利用a的双重非负性解决以下问题：
（1）已知a-2+5+b=0，则2ab＝ ；
（2）已知实数m，n（n≠0）满足|2m-4|+2n+6=0，求m﹣n的值；
（3）若x，y为实数，且x2=y-3+3-y+64，求x+y的值．
【分析】（1）由题意可得a-2=05+b=0，求出a，b的值，即可得出答案．
（2）由题意可得2m-4=02n+6=0，求出m，n的值，即可得出答案．
（3）根据二次根式有意义的条件可得y﹣3≥0，3﹣y≥0，即可得y﹣3＝3﹣y＝0，则y＝3，进而可得x＝±8，从而可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，a-2=05+b=0，
解得a=2b=-5，
∴2ab＝2×2×（﹣5）＝﹣20．
故答案为：﹣20．
（2）由题意得，2m-4=02n+6=0，
解得m=2n=-3，
∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5．
（3）由题意得，y﹣3≥0，3﹣y≥0，
∴y﹣3＝3﹣y＝0，
解得y＝3，
∴x2＝64，
解得x＝±8，
∴x+y＝11或﹣5．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质：绝对值，熟练掌握二次根式有意义的条件、非负数的性质是解答本题的关键．
题型二 利用二次根式的性质a2 = a化简
1．（2023秋•平谷区期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：b2-|a-b|+(c-a)2-|c|．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，
∴b2-|a-b|+(c-a)2-|c|
＝﹣b﹣（a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）
＝﹣b﹣a+b+a﹣c+c
＝0．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．（2024春•蒙城县校级月考）已知m，n在数轴上的位置如下图所示，试化简m2+n2+(m-n)2+(m-1)2-(n-1)2．
【分析】根据数轴可得﹣1＜n＜0，0＜m＜1，从而得到m﹣n＞0，m﹣1＜0，n﹣1＜0，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴可得：﹣1＜n＜0，0＜m＜1
∴m﹣n＞0，m﹣1＜0，n﹣1＜0
∴m2+n2+(m-n)2+(m-1)2-(n-1)2
＝m+（﹣n）+m﹣n+（1﹣m）﹣（1﹣n）
＝m﹣n+m﹣n+1﹣m﹣1+n
＝m﹣n．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简以及数轴与实数，得出各项符号是解题关键．
3．（2024春•黄山期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简：(a+1)2+2(b-1)2-|a-b|．
【分析】根据题意可得：a＜﹣1，b＞1，从而可得a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后利用绝对值的意义和二次根式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴(a+1)2+2(b-1)2-|a-b|
＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a
＝b﹣3．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键．
4．（2023春•上思县期中）若实数a，b在数轴上的位置如图，化简：a2-2ab+b2-a2+b2．
【分析】利用a2=|a|进行化简计算即可．
【解答】解：由题意得：
a＜0＜b，
∴a﹣b＜0
∴a2-2ab+b2-a2+b2
=(a-b)2-a2+b2
＝|a﹣b|﹣|a|+|b|
＝b﹣a+a+b
＝2b．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握a2=|a|是解题的关键．
5．（2023•平潭县校级开学）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a2-b2-(a-b)2+|a+b|．
【分析】根据数轴上的位置确定a，b以及（a﹣b）、（a+b）的正负情况，再根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可．
【解答】解：根据有理数a，b在数轴上对应的点的位置，可知a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，
∴a2-b2-(a-b)2+|a+b|
＝﹣a﹣b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+b）]
＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a﹣b
＝﹣a﹣3b．
【点评】本题主要考查了实数与数轴、化简二次根式、化简绝对值以及整式运算等知识，解题关键是根据数轴上的位置确定a，b以及（a﹣b）、（a+b）的正负情况．
6．（2023秋•崇川区校级月考）已知：y＞3x-2+2-3x+2，求y2-4y+42-y+5-3x的值．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果．
【解答】解：由y＞3x-2+2-3x+2可得，
3x-2≥02-3x≥0，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2-4y+42-y+5-3x
=(y-2)22-y+5-3×23
=y-22-y+5-2
＝﹣1+5﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出x=23，y＞2是解题关键．
7．（2023春•怀宁县期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2+4-4c-14c2-4c+16．
【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．
【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，
∴原式=(c-2)2-14(c-8)2
＝|c﹣2|-12|c﹣8|
＝c﹣2-12（8﹣c）
=32c﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．
8．（2023春•大化县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：(1-3x)2-|1-x|．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤13．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简(x-3)2-(2-x)2．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(a+b)2-|b-a|．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：(a+b+c)2+(a-b-c)2+(b-a-c)2+(c-b-a)2．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出a+b＜0、a+b＜0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质a2=|a|及三角形的三边关系等知识点．
题型三 化简后直接代入求值
1．（2023春•合浦县期末）先化简，再求值：(x+2)(x-2)+x(x-1)，其中x=23-2．
【分析】先用二次根式的混合运算法则化简，然后将x=23-2代入计算即可．
【解答】解：(x+2)(x-2)+x(x-1)，
＝x2﹣2+x2﹣x，
＝2x2﹣x﹣2，
当x=23—2时，
原式=2(23-2)2-(23-2)-2
=2(12-83+4)-23+2-2）
=32-183．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用二次根式的混合运算法则化简原式是解答本题的关键．
2．（2023春•上杭县校级月考）先化简，再求值：aba-2bab3+3ab，其中a＝2，b＝3．
【分析】利用二次根式的性质化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式=ab-2ab+3ab
＝2ab，
当a＝2，b＝3时，原式＝26．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
3．（2023春•谷城县期末）已知x＝2-3，求代数式（7+43）x2+（22+6）x﹣1的值
【分析】先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：∵x＝2-3，
∴x2＝（2-3）2＝4﹣43+3＝7﹣43，
∴（7+43）x2+（22+6）x﹣1
＝（7+43）×（7﹣43）+（22+6）×（2-3）﹣1
＝49﹣48+42-26+26-32-1
=2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．（2023秋•射洪市校级期中）已知x=13+2，求x+3x2+3x+2x2+x-12x-1的值．
【分析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式=1x+x+1，接着分母有理化得到x＝2-3，利用倒数的定义得到1x=3+2，然后把它们代入计算即可．
【解答】解：原式=x+3x(x+3)+(2x-1)(x+1)2x-1
=1x+x+1，
∵x=13+2=2-3，
∴1x=3+2，
∴原式=3+2+2-3+1＝5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键．
5．（2024春•昌平区校级期中）先化简，再求值：ab-1aba3b+(a-b)(a+b)，其中：a＝3，b＝2．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式=abb-1ab•aab+a﹣b
=abb-abb+a﹣b
＝a﹣b，
当a＝3，b＝2时，原式＝3﹣2＝1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减混合运算法则是解题的关键．
6．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：2(a+5)(a-5)-a(a-4)+14，其中a=6-2．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14
＝2a2﹣10﹣a2+4a+14
＝a2+4a+4
＝（a+2）2，
当a=6-2时，原式＝（6-2+2）2＝6．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
7．（2023春•张湾区期中）先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2，
其中x＝4，y＝3．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．
【解答】解：原式=2x-y-(2x-22xy+y)
＝2x﹣y﹣2x+22xy-y
=22xy-2y；
∴当x＝4，y＝3时，原式=46-6．
【点评】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题的关键．
8．（2023春•越秀区校级月考）先化简，再求值：(13x9x+y2xy3)-(x21x-5xyx)，其中x=12，y＝3．
【分析】先确定x＞0，y＞0，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x，y的值代入计算即可得．
【解答】解：由题意得：1x＞0，yx＞0，
∴x＞0，y＞0，
则(13x9x+y2xy3)-(x21x-5xyx)
=(13x⋅3x+y2⋅1y2⋅xy)-(x2⋅1xx-5x⋅1xxy)
=xx+xy-xx+5xy
=6xy，
当x=12，y＝3时，原式=612×3=632=6×126=36．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．（2024春•新宾县期末）先化简，再求值：25xy+xyx-4yxy-1yxy3，其中x=13，y＝4．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y的值代入计算．
【解答】解：∵x=13＞0，y＝4＞0，
∴原式＝5xy+xy-4xy-xy
=xy，
当x=13，y＝4时，原式=13×4=233．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
10．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a-b+a+bba-ab+a-bba-ab，
其中a＝1，b＝2．
【分析】利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：4a-b+a+bba-ab+a-bba-ab
=4a-b+2aba-ab
=4(a-b)(a+b)+2aab(b-a)
=4abab(a-b)(a+b)-2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=-2ab+b
=-2(ab-b)ab-b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=-2(2-2)2-4=2-2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
11．（2024春•新市区校级期中）（1）已知：x=2-1，求x2+2x+3的值．
（2）先化简，再求值：(a+2)(a-2)-a(a-2)，其中a=3+1．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可；
（2）先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x=2-1，
∴x2+2x+3
＝（x+1）2+2
＝（2-1+1）2+2
＝（2）2+2
＝2+2
＝4；
（2）(a+2)(a-2)-a(a-2)
＝a2﹣2﹣a2+2a
＝2a﹣2，
当a=3+1时，
原式＝2×（3+1）﹣2
＝23+2﹣2
＝23．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算和二次根式的化简求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
题型四 利用乘法公式和整体思想化简求值
1．（2024春•克拉玛依期末）当x＝4-2，y＝4+2时，求x2-2xy+y2和xy2+x2y的值．
【分析】先计算出x+y＝8，xy＝16﹣2＝14，再利用代数式变形得到x2-2xy+y2=(x+y)2-4xy和xy2+x2y＝xy（x+y），然后分别运用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵x＝4-2，y＝4+2，
∴x+y＝8，xy＝16﹣2＝14，
∴x2-2xy+y2=(x+y)2-4xy=82-4×14=22；
xy2+x2y＝xy（x+y）＝14×8＝112．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．注意整体代入的方法的运用．
2．（2023春•拱墅区期中）已知x=5+6，y=5-6，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据二次根式的减法法则求出x﹣y，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据平方差公式把原式变形，把x+y、x﹣y代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x=5+6，y=5-6，
∴x﹣y＝（5+6）﹣（5-6）＝12，x+y＝（5+6）+（5-6）＝25，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝122
＝144；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝25×12
＝245．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、减法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
3．（2023春•南昌期中）已知x=3+1，y=3-1，求下列代数式的值；
（1）x2y+xy2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）把x+y和xy的值直接代入变形后的代数式即可；
（2）把x+y和xy的值直接代入变形后的代数式即可．
【解答】解：∵x=3+1，y=3-1，
∴x+y＝（3+1）+（3-1）＝23，
xy＝（3+1）（3-1）＝2；
（1）x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝2×23
＝43；
（2）yx+xy
=y2+x2xy
=(x+y)2-2xyxy
=(23)2-2×22
＝4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知整式和分式的加减法则是解题的关键．
4．（2024春•靖江市校级月考）已知a+b＝﹣5，ab＝6，求aba+bab的值．
【分析】根据a+b＝﹣5，ab＝6，可以得到a＜0，b＜0，然后对所求式子化简即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝6，
∴a＜0，b＜0，
∴aba+bab
=-ab-ab
=-6-6
＝﹣26．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是判断出a、b的正负情况．
5．（2024春•沂水县校级月考）（1）已知x=5+3，y=5-3，求x2+y2﹣xy的值．
（2）m=5+1，n=5-1．求值：nm+mn．
【分析】（1）根据x=5+3，y=5-3，计算出x+y=25，xy＝2，然后将所求式子变形，整体代入计算即可；
（2）由m=5+1，n=5-1，得出mn＝4，再通分，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x=5+3，y=5-3，
∴x+y=25，xy＝2，
∴x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=(25)2-3×2=20-6=14；
（2）∵m=5+1，n=5-1，
∴mn=(5+1)(5-1)=4，
∴nm+mn=n2+m2mn=(5+1)2+(5-1)24=6+25+6-254=3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、分式的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
6．（2023秋•虹口区校级月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+bba的值．
【分析】先根据二次根式的性质进行变形，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣7，ab＝5，
∴a、b都是都是负数，
∴aab+bba
=-abab-baab
=-ab（ab+ba）
=-ab•a2+b2ab
=-ab•(a+b)2-2abab
=-5×(-7)2-2×55
=-5×395
=-3955．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．
7．已知x=12+3，y=12-3，求下列代数式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）根据题意可得x=2-3，y=2+3，进而可得x-y=-23，xy＝1，然后将原式整理为（x﹣y）2+xy，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为(x-y)2+2xyxy，然后代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x=12+3=2-3，y=12-3=2+3，
∴x-y=2-3-2-3=-23，xy=(2-3)×(2+3)=22-(3)2=4-3=1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
=(-23)2+1
＝12+1
＝13；
（2）yx+xy
=x2+y2xy
=(x-y)2+2xyxy
=(-23)2+21
＝12+2
＝14．
【点评】本题主要考查了代数式求值、分母有理化、二次根式混合运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8．（2023春•良庆区期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知15-x-8-x=1，求15-x+8-x的值．
李聪同学是这样解答的：
(15-x-8-x)(15-x+8-x)
=(15-x)2-(8-x)2
＝15﹣x﹣8+x＝7．
∴15-x+8-x=7
这种方法称为“构造对偶式”
已知30-x+9-x=7．求30-x-9-x的值．
【分析】根据题意可得(30-x+9-x)(30-x-9-x)=30-x-9+x=21，然后问题可求解．
【解答】解：由题意得：
(30-x+9-x)(30-x-9-x)
=(30-x)2-(9-x)2
＝30﹣x﹣9+x＝21；
∵30-x+9-x=7，
∴30-x-9-x=3；
【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
9．（2024春•靖江市月考）在解决问题“已知a=12-1，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：23-7．
（2）若a=13+22，求3a2﹣18a+1的值．
【分析】（1）分子、分母都乘以3+7，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）23-7=2(3+7)(3-7)(3+7)=2(3+7)9-7=3+7；
（2）∵a=13+22=3-22(3+22)(3-22)=3-229-8=3﹣22，
∴a﹣3＝﹣22，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴3a2﹣18a＝﹣3，
则3a2﹣18a+1＝﹣3+1＝﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
10．（2024春•亳州月考）请阅读下列材料：
问题：已知x=3-2，求代数式x2+4x﹣9的值．
小明的做法是：根据x=3-2，得（x+2）2＝3，
∴x2+4x+4＝3，即x2+4x＝﹣1．
把x2+4x作为整体代入，得x2+4x﹣9＝﹣10．
请你用上述方法，解决下列问题：
（1）已知x=3+2，求代数式x2﹣4x+12的值；
（2）已知x=3-12，求代数式x3+2x2+x+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2﹣4x＝﹣1，整体代入计算，得到答案；
（2）根据完全平方公式求出x2+x=12，再将代数式进行分组计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x=3+2，
∴（x﹣2）2＝3，
即x2﹣4x+4＝3，
∴x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+12＝﹣1+12＝11；
（2）∵x=3-12，
∴（2x+1）2＝3，
∴4x2+4x+1＝3，
∴x2+x=12，
∵x3+2x2+x+1
＝（x3+x2）+（x2+x）+1
＝x（x2+x）+（x2+x）+1
＝（x2+x）（x+1）+1
∴原式=12⋅3+12+1
=3+54．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
11．（2023秋•牡丹区期中）小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，
∴a=2-3，
∴a-2=-3，
∴（a﹣2）2＝3，
∴a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：
（1）计算1n+1+n= ；
（2）计算12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12023+2022（写出计算过程）；
（3）如果a=15-2，求2a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出a的值，再得出a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．
【解答】解：（1）1n+1+n=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n；
故答案为：n+1-n；
（2）由（1）题的结论可得：12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12023+2022
=2-1+3-2+4-3+⋅⋅⋅+2023-2022
=2023-1．
（3）∵a=15-2=5+2，
∴a-2=5，
∴（a﹣2）2＝5，
整理可得：a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2+1＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
题型五 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
1．（2023秋•青羊区校级期中）已知m=12-1，n是m的小数部分．
（1）求n+1n的值；
（2）求m3-m2-3m+n2+1n2．
【分析】（1）先将m化简，然后估算后求得n的值，再将其代入n-1n中计算即可；
（2）将m，n的值代入m3﹣m2﹣3m+n2+1n2中计算即可．
【解答】解：（1）m=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+1，
∵1＜2＜2，
∴2＜2+1＜3，
则n=2+1﹣2=2-1，
n+1n=2-1+12-1=2-1+（2+1）=2-1+2+1＝22；
（2）m3﹣m2﹣3m+n2+1n2
＝m（m2﹣m﹣3）+（n+1n）2﹣2
＝（2+1）×[（2+1）2﹣（2+1）﹣3]+（2-1+12-1）2﹣2
＝（2+1）×（2+1+22-2-1﹣3）+（2-1+2+1）2﹣2
＝（2+1）×（2-1）+（22）2﹣2
＝2﹣1+8﹣2
＝7．
【点评】本题考查无理数的估算及二次根式的性质，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键．
2．（2023秋•锦江区校级月考）已知：a=7-26，b=7+26，求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣ab；
（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求mn的值．
【分析】（1）把a=7-26，b=7+26代入ab，再根据二次根式的性质和平方差公式进行计算，再算减法即可；
（2）求出a+b和ab的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可；
（2）估算出7﹣26和7+26的范围，求出m、n法值，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）∵a=7-26，b=7+26，
∴ab
＝（7﹣26）×（7+26）
＝72﹣（26）2
＝49﹣24
＝25；
（2）∵a=7-26，b=7+26，
∴a+b＝（7﹣26）+（7+26）＝14，
∵ab＝25，
∴a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝142﹣3×25
＝196﹣75
＝121；
（3）26=24，
∵4＜24＜5，
∴﹣4＞-24＞-5，
∴3＞7-24＞2，
即2＜7﹣26＜3，
∵m为a整数部分，
∴m＝2，
∵∴11＜7+24＜12，
即11＜7+26＜12，
∵n为b小数部分，
∴n＝7+26-11＝26-4，
∴mn=226-4=2×(26+4)(26-4)×(26+4)=46+88=6+22．
【点评】本题考查了分母有理化，估算无理数的大小，二次根式的混合运算和完全平方公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（2024春•昌平区校级期中）（1）已知x=22+7，y=22-7，求代数式x2﹣5xy+y2的值．
（2）a，b分别是6-5的整数部分和小数部分，求3a﹣b2的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法法则求出x﹣y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据估算无理数大小的方法分别求出a、b，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）∵x＝22+7，y＝22-7，
∴x﹣y＝（22+7）﹣（22-7）＝27，xy＝（22+7）×（22-7）＝8﹣7＝1，
则x2﹣5xy+y2
＝x2﹣2xy+y2﹣3xy
＝（x﹣y）2﹣3xy
＝（27）2﹣3×1
＝28﹣3
＝25；
（2）∵2＜5＜3，
∴5的整数部分为2，
∴6-5的整数部分a＝3，小数部分b＝3-5，
则3a﹣b2＝3×3﹣（3-5）2＝9﹣9+65-5＝65-5．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、完全平方公式是解题的关键．
4．（2022秋•达川区期中）已知x=12+3，y=12-3；
（1）求x2+y2﹣3xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求(a+b)2+(a-b)2的值．
【分析】（1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可；
（2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可．
【解答】解：（1）∵x=12+3=2-3，y=12-3=2+3，
∴x2+y2﹣3xy
=(2-3)2+(2+3)2-3(2-3)(2+3)
=7-43+7+43-3
＝11；
（2）∵1＜3＜2，
∴0＜2-3＜1，3＜2+3＜4，
由（1）知x=2-3，y=2+3，
∴0＜x＜1，3＜y＜4，
又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a=2-3，b=2+3-3=3-1，
∴(a+b)2+(a-b)2
=(2-3+3-1)2+(2-3-3+1)2
=1+23-3
=23-2．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键．
5．（2022秋•大邑县校级期中）已知x=2-12+1，y=2+12-1；
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2023-(m-n)2+mn的值．
【分析】（1）先把x，y分母有理化，再把所求式子变形后代入计算即可；
（2）根据x的小数部分是m，y的小数部分是n，求出m，n的值，再代入计算即可．
【解答】解：x=2-12+1=3﹣22，y=2+12-1=3+22，
（1）x2+y2+xy
＝（x+y）2﹣xy
＝（3﹣22+3+22）2﹣（3﹣22）（3+22）
＝62﹣（9﹣8）
＝36﹣1
＝35；
（2）∵x的小数部分是m，y的小数部分是n，
∴m＝3﹣22，n＝3+22-5＝22-2，
∴（m+n）2023-(m-n)2+mn
＝（3﹣22+22-2）2023-(3-22-22+2)2+（3﹣22）（22-2）
＝1﹣（42-5）+62-6﹣8+42
＝1﹣42+5+62-6﹣8+42
＝﹣8+62．
【点评】本题考查二次根式化简求值和估算无理数的大小，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
6．（2023秋•永定区期末）已知x=2-3，y=2+3．
（1）求x+y和xy的值；
（2）求x2+y2﹣3xy的值；
（3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值．
【分析】（1）代入x=2-3，y=2+3即可求出x+y和xy的值；
（2）将原式变形为（x+y）2﹣5xy，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出1＜3＜2，从而得出a=2-3，b＝3，再代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x=2-3，y=2+3，
∴x+y=2-3+2+3=4，xy=(2-3)(2+3)=4-3=1；
（2）由（1）得：x+y＝4，xy＝1，
∴x2+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣5xy＝42﹣5×1＝11；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴-2＜-3＜-1，
∴0＜2-3＜1，
∵x的小数部分是a，
∴a=2-3，
∵3＜2+3＜4，y的整数部分是b，
∴b＝3，
∴ax-by=(2-3)(2-3)-3(2+3)=4-43+3-6-33=1-73．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
7．（2023秋•锦江区校级月考）已知x=13+22，y=13-22．
（1）求x2﹣3xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求(a+b)2+(a-b)2的值．
【分析】（1）先化简x=13+22，y=13-22，然后代入x2﹣3xy+y2计算即可；
（2）求出x的小数部分为a，y的小数部分为b，代入(a+b)2+(a-b)2计算即可．
【解答】解：∵x=13+22，y=13-22，
∴x＝3﹣22，y＝3+22，
（1）当x＝3﹣22，y＝3+22时，
x2﹣3xy+y2＝（3﹣22）2﹣3（3﹣22）（3+22）+（3+22）2＝9﹣122+8﹣27+24+9+122+8＝31；
（2）∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a＝3﹣22，b＝3+22-5＝22-2，
∴(a+b)2+(a-b)2=（3﹣22+22-2）2+(3-22-22+2)2=1+42-5＝42-4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确地化简二次根式是解题的关键．
8．（2024春•重庆月考）大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是小军用3-1来表示3的小数部分，你同意小军的表示方法吗？
事实上小军的表示方法是有道理的，因为3的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：1＜3＜4，即1＜3＜2，所以3的整数部分是1，小数部分是3-1．
请回答下列问题：
（1）15的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知7+10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
（3）已知a是9-13的整数部分，b是其小数部分，先化简，再求值：32(4a2b-23a)-3(2a2b-b+1)．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数15的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义以及不等式的性质估算无理数7+10的大小即可；
（3）根据算术平方根的定义，不等式的性质估算无理数9-13的大小，确定a、b的值，再将原式化简后代入计算即可．
【解答】解：（1）∵3＜15＜4，
∴15的整数部分是3，小数部分是15-3，
故答案为：3，15-3；
（2）∵3＜10＜4，
∴10＜7+10＜11，
∵7+10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝10，y＝7+10-10=10-3，
∴x﹣y的相反数为y﹣x=10-3﹣10=10-13，
即x﹣y的相反数是10-13；
（3）∵3＜13＜4，
∴﹣4＜-13＜-3，
∴5＜9-13＜6，
∴9-13的整数部分是5，小数部分是9-13-5＝4-13，即a＝5，b＝4-13，
原式＝6a2b﹣a﹣6a2b+3b﹣3
＝﹣a+3b﹣3
＝﹣5+12﹣313-3
＝4﹣313．
【点评】本题考查估算无理数的大小，二次根式的性质与化简以及整式的运算，掌握算术平方根的定义，不等式的性质以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键．