人教版（2024）八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质图片课件ppt

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18.1.2 分式的基本性质 - 第 2 课时 分式的约分和通分教案一、教学目标（一）知识与技能目标学生能够更加深入、透彻地理解分式约分和通分的依据，熟练掌握约分和通分的方法与步骤，准确无误地对各类分式进行约分和通分运算。能够灵活运用约分和通分知识，对复杂的分式进行化简，解决分式的加减运算、方程求解等相关问题，提高分式运算的综合能力。学会准确判断最简分式和最简公分母，能将分式化简到最简形式，正确进行异分母分式的转化，为后续分式的进一步学习奠定坚实基础。（二）过程与方法目标通过大量具体的分式实例，引导学生经历观察、分析、归纳、总结的过程，进一步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提升学生从具体问题中提炼数学方法的能力。在探究分式约分和通分的过程中，强化学生运用类比、转化等数学思想方法的意识，让学生学会将分式问题与已学知识相联系，提高知识迁移和应用能力。通过课堂练习和问题解决，锻炼学生独立思考、自主探索的能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的数学思维灵活性。（三）情感态度与价值观目标以分式约分和通分知识在实际问题中的应用为切入点，激发学生对数学学习的兴趣，让学生感受到数学知识的实用性和价值，提高学生学习数学的积极性。在解决复杂分式问题的过程中，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。通过小组合作交流，培养学生的团队协作精神和沟通能力，让学生在合作中学会分享与互助，营造积极向上的学习氛围。二、教学重难点（一）教学重点熟练掌握分式约分的方法，能够准确找出分子分母的公因式，并正确进行约分，将分式化为最简分式。准确确定最简公分母，熟练运用通分方法将异分母分式化为同分母分式，为分式的加减运算做好准备。灵活运用约分和通分知识解决分式的化简、求值等实际问题，提高学生运用知识解决问题的能力。（二）教学难点当分式的分子分母为多项式时，准确进行因式分解，从而找出公因式或确定最简公分母，这需要学生对因式分解知识有扎实的掌握。在分式运算中，根据具体问题的要求，合理选择约分和通分的时机与方法，避免出现运算错误，提高学生综合运用知识的能力。理解约分和通分的本质，以及它们在分式运算中的作用，能够清晰区分两者的不同，并在不同情境中正确运用，加深对分式基本性质的理解和应用。三、教学方法复习巩固法：通过回顾分式的基本性质，为本节课学习分式的约分和通分做好知识铺垫，让学生明确新知识与旧知识的联系，增强知识的连贯性。实例教学法：展示丰富多样的分式实例，引导学生从实际例子中分析、总结约分和通分的方法与规律，使抽象的数学知识变得直观易懂，帮助学生更好地理解和掌握。启发式教学法：在教学过程中，提出具有启发性的问题，引导学生积极思考，主动探索分式约分和通分的方法，培养学生的独立思考能力和创新思维。小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨复杂的分式约分和通分问题，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。练习巩固法：设计有梯度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，及时发现问题并解决问题，提高学生的运算能力和解题技巧，同时加深对知识的理解和记忆。四、教学过程（一）复习导入（5 分钟）提问回顾：同学们，上节课我们学习了分式的基本性质，谁能说一说分式的基本性质是什么呢？（预设学生回答：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)均为整式，且\(B≠0\)，\(C≠0\)）简单应用：根据分式的基本性质，完成下列填空：\(\frac{2a}{3b}=\frac{2a\times c}{3b\times( )}\)（\(c≠0\)）\(\frac{x^2}{xy}=\frac{x^2\div x}{xy\div( )}\)（\(x≠0\)）引出课题：分式的基本性质是分式运算的重要基础，今天我们将学习如何利用它进行分式的约分和通分，这也是我们解决分式相关问题的重要方法。（二）探索新知（15 分钟）分式的约分概念深化：再次强调分式约分的定义，即利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，得到最简分式。最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。方法讲解：对于分子分母是单项式的分式，如\(\frac{12a^3b^2}{18a^2b^3}\)，先找出系数的最大公约数，\(12\)和\(18\)的最大公约数是\(6\)；再找出相同字母的最低次幂，\(a\)的最低次幂是\(a^2\)，\(b\)的最低次幂是\(b^2\)，所以公因式是\(6a^2b^2\)。然后根据分式基本性质进行约分，\(\frac{12a^3b^2\div6a^2b^2}{18a^2b^3\div6a^2b^2}=\frac{2a}{3b}\)。当分子分母是多项式时，如\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\)，先对分子分母进行因式分解，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)，公因式是\(x + 2\)，约分后得到\(\frac{x - 2}{x + 2}\) 。学生练习：让学生尝试对\(\frac{20x^2y}{25xy^2}\)和\(\frac{x^2 - 9}{3x + 9}\)进行约分，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。分式的通分概念强化：明确分式通分的定义，利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定最简公分母。方法归纳：对于分母是单项式的分式，如\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{3}{4xy^2}\)，确定最简公分母的方法：先取各分母系数的最小公倍数，\(2\)和\(4\)的最小公倍数是\(4\)；再取各字母的最高次幂，\(x\)的最高次幂是\(x^2\)，\(y\)的最高次幂是\(y^2\)，所以最简公分母是\(4x^2y^2\)。然后将两个分式通分，\(\frac{1}{2x^2y}=\frac{1\times2y}{2x^2y\times2y}=\frac{2y}{4x^2y^2}\)，\(\frac{3}{4xy^2}=\frac{3\times x}{4xy^2\times x}=\frac{3x}{4x^2y^2}\)。当分母是多项式时，如\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}\)，先对分母因式分解，\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)，\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)，最简公分母是\((x + 1)^2(x - 1)\)。通分可得\(\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{1\times(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)\times(x + 1)}=\frac{x + 1}{(x + 1)^2(x - 1)}\)，\(\frac{2}{x^2 + 2x + 1}=\frac{2\times(x - 1)}{(x + 1)^2\times(x - 1)}=\frac{2x - 2}{(x + 1)^2(x - 1)}\) 。学生尝试：让学生对\(\frac{1}{3ab}\)和\(\frac{2}{5a^2b}\)以及\(\frac{1}{x^2 - 4x + 4}\)和\(\frac{3}{x^2 - 4}\)进行通分，教师观察学生的做题情况，给予针对性指导。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：约分(1)\(\frac{-15xy^2z^3}{25x^2y^3z}\)分析：先找系数的最大公约数\(5\)，相同字母\(x\)、\(y\)、\(z\)的最低次幂分别为\(x\)、\(y^2\)、\(z\)，公因式为\(5xy^2z\)。解：\(\frac{-15xy^2z^3\div5xy^2z}{25x^2y^3z\div5xy^2z}=\frac{-3z^2}{5xy}\)(2)\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)分析：对分子分母因式分解，\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，公因式为\(x - 2\)。解：\(\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x - 3}{x + 2}\)例 2：通分(1)\(\frac{2}{3a^2b}\)，\(\frac{1}{4ab^2}\)，\(\frac{3}{2ab}\)分析：系数\(3\)、\(4\)、\(2\)的最小公倍数是\(12\)，字母\(a\)的最高次幂是\(a^2\)，\(b\)的最高次幂是\(b^2\)，最简公分母是\(12a^2b^2\)。解：\(\frac{2}{3a^2b}=\frac{2\times4b}{3a^2b\times4b}=\frac{8b}{12a^2b^2}\)，\(\frac{1}{4ab^2}=\frac{1\times3a}{4ab^2\times3a}=\frac{3a}{12a^2b^2}\)，\(\frac{3}{2ab}=\frac{3\times6ab}{2ab\times6ab}=\frac{18ab}{12a^2b^2}\)(2)\(\frac{1}{x^2 - 2x}\)，\(\frac{2}{x^2 - 4}\)分析：对分母因式分解，\(x^2 - 2x = x(x - 2)\)，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，最简公分母是\(x(x + 2)(x - 2)\)。解：\(\frac{1}{x^2 - 2x}=\frac{1\times(x + 2)}{x(x - 2)\times(x + 2)}=\frac{x + 2}{x(x + 2)(x - 2)}\)，\(\frac{2}{x^2 - 4}=\frac{2\times x}{(x + 2)(x - 2)\times x}=\frac{2x}{x(x + 2)(x - 2)}\)（四）课堂练习（10 分钟）约分(1)\(\frac{18a^2b}{24ab^2}\)(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)通分(1)\(\frac{3}{5x^2y}\)，\(\frac{1}{10xy^2}\)(2)\(\frac{1}{x^2 - 9}\)，\(\frac{2}{x^2 + 6x + 9}\)化简求值：已知\(x = 2\)，求\(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}\div\frac{x + 2}{x - 2}\)的值，要求先对分式进行约分，再代入求值。教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和讲解，强调约分和通分过程中的易错点，如公因式找错、因式分解不彻底、通分后分母计算错误等。（五）课堂小结（3 分钟）与学生一起回顾本节课的重点内容，包括分式约分和通分的定义、方法，强调约分要找公因式化为最简分式，通分要确定最简公分母。总结在进行分式约分和通分过程中容易出现的错误及注意事项，如分子分母为多项式时先因式分解、注意公因式和最简公分母的确定方法等。引导学生思考分式约分和通分在分式运算中的重要作用，鼓励学生课后多做练习，熟练掌握这两种运算方法。（六）作业布置（2 分钟）基础作业：教材课后练习题中关于分式约分和通分的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的基本方法和技能。拓展作业：化简\(\frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}\div\frac{x - 1}{x + 1}\)，并说明每一步的依据。已知\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{a + b}\)，求\(\frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2}\)的值，提示学生先对已知条件进行通分变形，再求解。五、教学反思在本节课的教学过程中，要密切关注学生对分式约分和通分方法的掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在找公因式、确定最简公分母、进行因式分解等方面存在的问题，如部分学生对多项式因式分解不熟练，导致无法准确找出公因式或最简公分母；有些学生在约分和通分过程中容易忽略符号问题等。针对这些问题，在后续教学中要加强因式分解知识的复习和巩固，增加相关练习，强化学生对符号的处理能力。同时，关注学生在小组合作学习中的参与度和表现，及时给予指导和鼓励，提高学生的合作学习效果。此外，思考如何设计更具针对性和趣味性的练习，激发学生的学习兴趣，进一步提高学生运用约分和通分知识解决问题的能力，优化教学方法，提升课堂教学质量。
1. 通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念，掌握分式的约分与通分的方法和步骤，体会用类比转化的思想研究数学问题．2．通过探究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神，体会逆向思维的数学思想．3．通过具体的题目练习，能依据分式的基本性质进行约分和通分，锻炼学生的计算能力．
分式的基本性质是什么？
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？
分式的分子、分母约去公因式，值不变.
约分的方法：①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.③约分结果为最简分式或整式.
下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).
分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac.
分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
1. 通分的依据是什么？
2. 通分的关键是什么？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
3. 如何确定n个分式的公分母？
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
(2)最简公分母是(x + 5)(x－5).
1. 通分的步骤①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.
2.确定最简公分母的方法(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
1.化简 的结果是( ) A. B. C. D.
3. 已知 则 的值是( )A. B. – C.2 D. –2
4.化简： = ．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
找最简公分母的方法:
（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值.
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.