安徽省临泉第二中学2025届高三三模 数学试题（含解析）

这是一份安徽省临泉第二中学2025届高三三模 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知i是虚数单位，复数z=2−1+i，则z=（ ）
A．1+i B．1−i C．−1−i D．−1+i
2. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知线段，，为线段上一点，，记与的夹角为，若对于某个范围内任意固定的，总存在两个不同的符合题意，则的取值范围是：（ ）.
A. B. C. D.
5．记Sn为等比数列an的前n项和．若a1=13，a42=a6，则S5=（ ）
A．403 B．913 C．1213 D．3643
6．已知边长为1的正方形ABCD绕边CD所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点M和N分别是圆柱上底面和下底面的动点，点P是线段MN的中点，则三棱锥A−PBC体积的最大值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
7. 已知函数，是的反函数.若，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8．现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为3,2的方块：可以通过一次操作变成以下状态
中的任何一种：3,1，3，2,2，1,2或1,1,2.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ）
A．3,2,1B．4,2C．2,1,1D．5,3
二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C. 数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
10. 已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（ ）.
A. ，
B. 的单调区间为：
C. 在区间上有且仅有2个零点
D. 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数
11．已知椭圆Γ：x29+y24=1，直线l：2x+3y+12=0.A1，A2是椭圆的左、右顶点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆Γ的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于A1，A2）处的切线分别交A1，A2处的切线于点B1，B2，则（ ）
A．直线MN过定点
B．F1，F2，B1，B2四点共圆
C．当MN∥l时，−32,−1是线段MN的三等分点
D．QB1⋅QB2的最大值为9
三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分.
12. 已知集合，，若，则实数__________.
13．对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为 .
14. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________.
四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．东湖公园统计连续5天入园参观的人数（单位：千人）如下：
（1）建立y关于x的回归直线方程，预测第13天入园参观人数；
（2）东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为13，从不同一个门出园的概率为23．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据：i=15xiyi=85.2，i=15xi2=55，x=3，y=4.7．
参考公式：回归直线方程y=a+bx，其中b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx．
16．已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上点M2,y0满足MF=3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点D−1,0，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x=1是∠AFB的角平分线.
17. 如图，在三棱锥中，，，，位居平面异侧，，平面平面，为中点.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，二面角的余弦值为，求：
（ⅰ）到平面的距离；
（ⅱ）直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：有且只有1个零点.
19．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是y=cexc+e−xc2，其中c为参数．当c=1时，该方程就是双曲余弦函数cℎx=ex+e−x2．相应地就有双曲正弦函数sℎx=ex−e−x2．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：sin2x+cs2x=1；②二倍角关系：sin2x=2sinxcsx；③导数关系：(sinx)'=csx,(csx)'=−sinx.
（1）类比关系式①②③，写出cℎx和sℎx之间的三种关系式（不需要证明）；
（2）当x>0时，不等式sℎx≥kx恒成立，求k的取值范围；
（3）设无穷数列an满足a1=a,an+1=2an2−1，是否存在实数a，使得a2025=53？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．【答案】D
【解析】由z=2−1+i=2−1−i1+1=−1−i，则z=−1+i.
故答案为：D.
2.【答案】B
【解析】由题意可得，，因此，，
所以，，，
所以
故选：B.
3.【答案】C
【解析】因为，，
所以在上的投影向量为；
故选：C.
4.【答案】B
【解析】由题意可知以为圆心，2为半径的圆应与线段有两个公共点，
以为坐标原点，为轴，作图如下：
当与圆相切时，由，，可得，故
当与圆相交，且点刚好在圆上时，如下图：
由余弦定理可得：，所以的取值范围是，
故选：B
5．【答案】C
【解析】设等比数列an的公比为qq≠0，
由a42=a6得a1q32=a1q5，可得a1q=1，
所以，q=1a1=3，
所以，S5=a11−q51−q=131−351−3=1213.
故答案为：C.
6．【答案】B
【解析】如图所示：
由题意知，AB=CD=BC=1，三角形ABC的面积为S=12×1×1=12，
设点P到平面ABC的高为h，
又因为VA−PBC=VP−ABC=13ℎ×S=16ℎ，
要使三棱锥A−PBC体积的最大，则需h最大，根据图形可得，
当MN//CD，且CM⊥CB时，h最大，最大为1，
则VA−PBCmax=16ℎ=16.
故答案为：B.
7.【答案】D
【解析】由题意得，
因为，所以，所以，
令，则，
因为在上单调递增，所以，所以，
令，则，
令，则，所以在R上单调递减，
又，所以当时，，即
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故选：D.
8．【答案】A
【解析】对于A，
3,2,1经过甲操作可以变为3,2，3,1，3,1,1，2,2,1，1,2,1或1,1,2,1，
对于3,2，乙操作成2,2；
对于3,1，乙操作成1,1；
对于3,1,1，乙操作成1,1,1,1；
对于2,2,1，乙操作成2,2；
对于1,2,1，乙操作成1,1；
对于1,1,2,1，乙操作成1,1,1,1.
此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保证自己能拿到最后一个方块，
无论如何乙都能赢，故A正确；
对于B，甲将4,2操作为2,2，此时乙可以操作为2，2,1，1,2，甲必胜，故B错误；
对于C，甲将2,1,1操作为1,1，甲必胜，故C错误；
对于D，甲将5,3操作为1,2,3，由选项A知甲必胜，故D错误.
故答案为：A.
二、选择题
9.【答案】AC
【解析】一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，
根据方差公式，可知方差变小，故A正确；
两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱，故B错误；
除m外，剩余数据的极差为，因为所有数据的极差为40，且，
所以
把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，
由，所以这组数据的第m百分位数为第9个，为故C正确；
零假设为与Y相互独立，即X与Y没有关联，由，
可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，故D错误.
故选：AC.
10.【答案】BC
【解析】对于A，，故 ，上两点有对称中心 ，故有渐近线，所以，由于不影响的取值，不妨令其为0，而，所以，，A错误.
对于 B，不妨设，，B正确.
对于C，x轴以下的图象翻折上去，作出的图像，与直线有2个交点，C正确.
对于D，变换后：不是奇函数，D错误，
故选：BC.
11．【答案】A，B，D
【解析】依题意，如图所示：
对于A，根据椭圆极点、极线定义，直线l关于椭圆Γ存在极点，
即为直线MN的定点（证明后续提供），
设极点为Rx0,y0，则直线l的方程为xx09+yy04=1，
又由于直线l的方程为：2x+3y+12=0，
故直线l关于椭圆Γ的极点（定点）为R−32,−1，故A正确；
对于B，设Qx1,y1，则Q点处的切线方程为xx19+yy14=1，
令x=±3，得B1−3,4x1+33y1，B23,43−x13y1，
又因为F1−5,0，故F1B1⋅F1B2=0，同理F2B1⋅F2B2=0，
即F1,F2,B1,B2四点共圆，故B正确；
对于C，当MN∥l时，直线MN的方程为y=−23x−2，可以验证此时有RM=RN，故C不正确；
对于D，由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知：QB1⋅QB2=QF1⋅QF2≤QF1+QF222=9，
则等号在Q为短轴端点时取到，故D正确.
故答案为：ABD.
三、填空题
12.【答案】或
【解析】由题知，，
因为，所以，则当时，，而；
当时，(舍)或，所以或.
故答案为：或
13．【答案】136243
【解析】0个红格，共27种；
1个红格，共C7126种；
2个红格，共C6225种；
3个红格，共C5324种；
4个红格，共C4423种，
所以P=27+C7126+C6225+C5324+C442337=136243，故答案为：136243.
14.【答案】3
【解析】因为点M满足，
设，则，
两边平方整理得，
即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆，
的最小值是M到准线的最短距离，
因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小，
圆心到准线的距离是，
圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是，
因此，的最小值是
故答案为：
四、解答题
15．【答案】（1）y=1.47x+0.29；19.4千人；（2）59.
【解析】（1）由最小二乘法公式可得b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=85.2−5×3×4.755−5×32=1.47，
则a=y−bx=4.7−1.47×3=0.29，
所以，y关于x的回归直线方程为y=1.47x+0.29，
当x=13时，y=1.47×13+0.29=19.4，
因此，预测第13天入园参观人数约为19.4千人.
（2）记事件A:甲、乙两名游客从南门出园，事件B:甲、乙两名游客从同一个门入园，
则PAB=122×132+122×232=536，
如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为12×132=136，
如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为12×232=19，
如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为12×13×12×23=118，
如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为12×23×12×13=118，
PA=136+19+118×2=14，
由条件概率公式可得PBA=PABPA=536×4=59.
因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为59.
16．【答案】（1）y2=4x；（2）证明详见解析.
【解析】（1）由MF=xM+p2=3，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x.
（2）根据题意，直线AB斜率不为0，设其方程为：x=my−1，Ax1,y1，Bx2,y2，
由x=my−1y2=4x得y2−4my+4=0，由Δ=16m2−16>0，可得：m>1或m0时，设f(x)=sh(x)−kx，
若k>1，则存在足够小的x0>0使得shx0−kx0