2021北京初三一模数学汇编：圆解答题练习（含答案）

这是一份2021北京初三一模数学汇编：圆解答题练习（含答案），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．（2021·北京东城·统考一模）如图，是的内接三角形，过点C作的切线交AB的延长线于点D，于点E，交CD于点F．
（1）求证：；
（2）若，求线段CF的长．
2．（2021·北京西城·统考一模）如图，为，C为的中点，D为延长上一点，与相切，切点为A，连接并延长，交点E，直线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
3．（2021·北京海淀·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，，求AB的长．
4．（2021·北京朝阳·统考一模）如图，中，，点E在上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
5．（2021·北京石景山·统考一模）如图，是的半径，与相切于点A，点C在上且为的中点，连接，连接交于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
6．（2021·北京丰台·统考一模）如图，为的直径，点C在上，过点C作的切线，过点A作于点D，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
7．（2021·北京通州·统考一模）已知：如图，点A，C，D在上，且满足，连接．过点A作直线，交的延长线于点B．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求边的长．
8．（2021·北京顺义·统考一模）如图，是的直径，弦于点E，的切线交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
9．（2021·北京房山·统考一模）如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线，过点B作于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
10．（2021·北京平谷·统考一模）如图，点E是中弦AB的中点，过点E作的直径CD，P是 上一点，过点P作的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M
（1）求证：FM=FP；
（2）若点P是FG的中点，，半径长为3，求EM长
11．（2021·北京门头沟·统考一模）如图，AB是的直径，C是上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，．
（1）求证：CE是的切线；
（2）如果，，求AB的长．
12．（2021·北京大兴·统考一模）如图，为的直径，点C，点D在上，且点C是的中点，是的切线且交的延长线于点E，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
13．（2021·北京延庆·统考一模）如图，是的直径，为的切线，切点为，交的延长线于点，点是上的一点，且点是弧的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
参考答案
1．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，OC，证明OE垂直平分BC，OE是的角平分线，得到，再根据圆周角定理求解即可；
（2）根据已知条件证明，再利用勾股定理求解即可；
【详解】（1）连接OB，OC，
是的切线，，
，
∴，，
∴，，
∵弦BC，
∴OE垂直平分BC，OE是的角平分线，
∴，
∵为弧BC所对的圆周角，为弧BC所对的圆心角，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，OE垂直平分BC，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，

在中，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，锐角三角函数的应用，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理求解是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）7
【分析】（1）证明：如图，连接OA．由与相切，切点为A，OA为的半径，可得．．由，C为的中点，．可得．即可；
（2）如图，连接．设的半径为r．由O为的中点，C为的中点， 可得，可证△AFE∽△DFO，可得． ． ．，， 解得即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OA．
∵与相切，切点为A，OA为的半径，
∴．
∴．
∵，C为的中点，
∴．
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图3，连接．设的半径为r．
∵O为的中点，C为的中点，
∴，
∵，=90°，
∴△AFE∽△DFO，
∴．
∵，
∴，
在中． ．
在中，．
∴．
∵，
∴，
化简，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键．
3．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
4．（1）见解析；（2）
【分析】连接．由是的切线，可得．由是的直径，可得．可证．由，可得即可；
（2）在中，．由，可求．可证．可得．即，解之得即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵是的切线，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：在中，．
∵，
∴．
设半径，则．
∴，
∴．
∴．
∴．
即．
解得．
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的性质，直径所对圆周角的性质，同角的余角性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，掌握切线的性质，直径所对圆周角的性质，同角的余角性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质列方程是解题关键．
5．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由切线的性质可得∠OAB=90°，由垂径定理可得OD⊥AC，从而得∠AFB=∠CED，进而即可得到结论；
（2）设AD=3x，则OA=5x，OD=4x，可得DE=4x-3，AF=5x-3，AB=6x，CD=3x，再根据tanB=tanC，列出方程，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵与相切于点A，
∴∠OAB=90°，
∴∠B+∠AFB=90°，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠C+∠CED=90°，
∵，
∴∠B=∠C，
∴∠AFB=∠CED，
又∵∠AFB=∠OFE，∠CED=∠OEF，
∴OE=OF，
（2）∵在中，，
∴设AD=3x，则OA=5x，OD=4x，
∵D是的中点，
∴CD=AD=3x，
∴DE=4x-3，
又∵OE=OF=3，
∴AF=5x-3，
∵∠B=∠C，=6x，
∴tanB=tanC，即：，
∴，解得：x=1，
∴AF=5x-3=2，AB=6x=6，
∴BF．
【点睛】本题主要考查圆的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，切线的性质，正切三角函数的定义，是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由直线CM是圆的切线得OC⊥CD，又根据AD⊥CD，得到AD∥OC，即∠OCB=∠E，再根据OC=OB，得到∠OBC=∠OCB=∠E，即得AE=AB；
（2）连接AC，由（1）得∠OBC=∠E，，得到BC=EC=6，再根据三角函数和勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OC
∵直线CM是圆的切线
∴OC⊥CD
又∵AD⊥CD
∴AD∥OC
∴∠OCB=∠E
∵OC=OB
∴∠OBC=∠OCB=∠E
∴△ABE是等腰三角形
∴AE=AB
（2）如图所示，连接AC
∵∠OBC=∠OCB=∠E
∴
∴
又∵AE=AB，AB是圆直径
∴∠ACB=90°
∴C点是BE的中点
∴BC=EC=6
∴
∴
【点睛】本题主要考查的是圆切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和三角函数以及勾股定理，解题的关键在于熟练的掌握相关的知识点．
7．（1）见解析；（2）
【分析】(1)连接，根据圆周角的性质和平行线性质证∠OAB=90°即可；
(2) 连接，作于H，根据题意求出∠CAD=30°，再解直角三角形即可．
【详解】(1)证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴OA⊥AB，
∴是的切线；
（2）连接，作于H，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了切线的证明、圆周角的性质、解直角三角形，解题关键是准确把握题意，构建直角三角形和等边三角形解决问题．
8．（1）证明见解析，（2）24．
【分析】（1）连接OD，如图，利用切线的性质得∠OCD+∠DCF＝90°，再利用垂径定理得到OF为CD的垂直平分线，则CF＝DF，所以∠CDF＝∠DCF，加上∠CDO＝∠OCD，则∠CDO+∠CDB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数求出半径，再利用三角函数得到CD的长．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD+∠DCF＝90°
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠OCD
∴∠CDO+∠CDF＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵，设OC＝3x，则OF＝5x，
∵FB＝OF- OB，
∴2x=10，
解得x=5，OC＝3x=15，
∵∠OCE+∠ECF=90°，∠OFC+∠ECF=90°，
∴∠OCE=∠OFC，
∴，
∴OE＝9，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形，解题关键是恰当连接辅助线，熟练运用圆的知识和三角函数知识，进行推理和计算．
9．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，进而可得OC∥BD，然后可得，最后问题可求证；
（2）连接AC，由（1）可得，进而可得，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴OC∥BD，
∴，
∵OC=OB，
∴，
∴；
（2）解：连接AC，如图所示：
由（1）及可得：，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角函数及切线的性质定理，熟练掌握三角函数及切线的性质定理是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OP，由CD是的直径E为弦AB的中点，即∠1=90°,∠C+∠2=90°，GF是的切线,根据等腰三角形的性质得到∠5=∠4．于是得到结论；
（2）连接DE, ∠1=90°，得∠G+∠F=90°得∠6+∠G=90°，∠6=∠F，根据三角函数的定义得OG、FG的长，得EF、EM的值．
【详解】（1）解：连结OP．
∵CD为的直径，E为弦AB的中点
∴∠1=90°
∴∠2+∠C=90°.
∵PF是的切线，
∴∠OPF=90°．
∴∠3+∠4=90°.
∵OC=OP
∴∠C=∠3．
∴∠4=∠2
∵∠2=∠5
∴∠5=∠4
∴FM=FP
(2)连接DE
∵∠1=90°
∴∠G+∠F=90°
∵∠6+∠G=90°
∴∠6=∠F
∴
在Rt△OPG中，
∵OP=3

∴OG=5
∴PG=4
∴PF=PG=4
∴GF=8
∴
∴
∴.
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（1）证明见详解；（2）AB＝．
【分析】（1）如图，连结OC．由EF⊥AB，可得∠F+∠FAD=90°由CE＝EF．可得∠2＝∠F．由OC＝OA，可得∠FAD＝∠1．可求∠OCE=90°，可得OC⊥CE即可；
（2）根据sin∠F＝，设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，表示DB＝k，AB＝4k，证明△FAD∽△BGD，列比例式得：，即DG＝k，，根据直角三角形的性质得：∠3＝∠4，则得k的值，从而代入AB＝4k＝．
【详解】（1）证明：如图，连结OC．
∵EF⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴∠F+∠FAD=90°
∵CE＝EF．
∴∠2＝∠F．
又∵OC＝OA，
∴∠FAD＝∠1．
∴∠1+∠2=∠FAD+∠F＝90°．
∴∠OCE=180°-∠1-∠2=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°
∴OC⊥CE．
∴CE切⊙O于点C；
（2）连结CB交FD于点G．
∵FD⊥AB，sin∠F＝，
∴设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k．
∵D为OB的中点，
∴DB＝k，AB＝4k．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝∠FCB＝90°=∠GDB．
∴∠F=90°-∠4=90°-∠BGD＝∠B．
∵∠FDA＝∠GDB＝90°，
∴△FAD∽△BGD，
∴，即，
解得DG＝k，
可得FG＝4k﹣k＝k
∵∠FCB＝90°，
∴∠4+∠F＝∠2+∠3．
∵∠F＝∠2，
∴∠3＝∠4．
∴CE＝EF＝EG．
∵EF＝1，
∴FG＝2．
∴＝2，k＝，
∴AB＝4k＝．
【点睛】本题题考查了切线的判定，锐角三角函数定义，直径所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，第二问利用三角函数的比设未知数是关键．
12．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）连接OD，根据点C是的中点得到∠AOC=∠COD，再根据是的切线且得到OD∥AE，得到∠ACO=∠COD=∠AOC, 再由OA=OC，得到∠ACO=∠CAO=∠AOC即可证明；
（2）连接CD，由（1）证得三角形OAC为等边三角形，同理也可证明三角形COD为等边三角形，从而得到∠CDE=30°，再根据三角函数求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD
∵点C是的中点
∴∠AOC=∠COD
又∵是的切线且
∴OD⊥DE，AE∥OD
∴∠ACO=∠COD=∠AOC
∵OA=OC
∴∠ACO=∠CAO=∠AOC
即三角形AOC为等边三角形．
（2）如图所示，连接CD
由（1）证得三角形AOC是等边三角形
∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°
又∵OD=OC
∴三角形COD为等边三角形
∴∠CDO=60°
又∵∠ODE=90°
∴∠CDE=30°
∴
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，三角函数等；解题的关键在于能够熟练的掌握和应用相关知识进行解题．
13．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，证明，在根据切线的性质得到垂直即可得解；
（2）根据已知条件求出，利用求解即可；
【详解】（1）如图，连接OC，
∵为的切线，
∴，
又∵点是弧的中点，
∴弧EC=弧CF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
在Rt△ABD中，，
设半径，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：；
∴半径是．
【点睛】本题主要考查了圆的综合，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义计算是解题的关键．