2022北京初三一模数学汇编：圆的有关计算与证明练习（含答案）

这是一份2022北京初三一模数学汇编：圆的有关计算与证明练习（含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
2．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．
3．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．
4．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．
5．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．
三、解答题
6．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．
由记载可得作法如下：
①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；
②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；
③连接，，，．
，都是圆内接正三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明，
证明：连接，，，．
∵，
∴为①_________．
∴．
同理可得，．
∴．
∴（②____________）（填推理的依据）．
∵，
∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．
7．（2022·北京通州·一模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：点P，使得AP＝AB，且．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；
③连接DA并延长交于点P．
所以点P就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在上．
∵，
∴（____________________）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴______．
∴．
8．（2022·北京顺义·一模）已知：如图，和射线PN．
求作：射线PM，使得．
作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；
②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；
③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；
④作射线PM．
所以射线PM就是所求作的射线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD，EM．
∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，
∴（_________）（填推理依据）．
∴．
又∵（________）（填推理依据）．
∴．
9．（2022·北京朝阳·一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
10．（2022·北京海淀·一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．
(1)求证：；
(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．
11．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．
12．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
13．（2022·北京通州·一模）如图1，AB是的直径，点C是上不同于A，B的点，过点C作的切线为BA的延长线交于点D，连接AC，BC．
(1)求证：；
(2)如图2，过点C作于点E，交于点F，FO的延长线交CB于点G．若的直径为4，，求线段FG的长．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，
∵，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
2．60°##60度
【解析】
【分析】
先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
PA，PB是的切线，A，B为切点




故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．60
【解析】
【分析】
因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．
【详解】
解：如图，连接OA，OB，
∵是的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵，
∴∠AOB=2∠C=120º，
∵四边形内角和等于360º．
∴在四边形AOBP中，
∠P=360º-90º-90º-120º=60º．
故答案为：60．
【点睛】
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．
4．40°
【解析】
【分析】
由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．
【详解】
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OB⊥BP，PA=PB，
∴∠OBP=90°，
∵，
∴∠ABP=70°，
∵PA=PB，，
∴∠BAP=∠ABP=70°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°
【点睛】
此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
5．40
【解析】
【分析】
根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=40°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=50°，
∴∠A=90°-∠CBA=40°，
∵∠CDB=∠A，
∴∠CDB=40°．
故答案为：40
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半
【解析】
【分析】
(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．
(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．
(1)
根据作步骤，画图如下：
(2)
证明：如图，连接，，，．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
同理可得，．
∴．
∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∵，
∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．
【点睛】
本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC
【解析】
【分析】
（1）根据作法按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
(1)
解：如图所示，即为所求；
(2)
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在上．
∵，
∴（_圆周角定理 或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴_∠BAC__．
∴．
故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．
【点睛】
本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．
【解析】
【分析】
（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进而可以完成证明．
(1)
如图所示，
(2)
证明：连接CD，EM．
∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，
∴（__SSS__）．
∴．
又∵（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．
∴．
故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．
【点睛】
本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．
9．(1)证明见详解
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；
（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．
(1)
证明：如图1，连接OC，
∵CD为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即平分；
(2)
解：如图2，连接BC，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
10．(1)见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；
（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长
(1)
连接OD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
(2)
设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴，OD=5，
∴
∴，
∵，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答
11．(1)见详解
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；
（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．
(1)
证明：∵点D为弧的中点
∴，
∵为的直径，为的切线
∴，
∴，
∴；
(2)
∵是的直径，

∴，
由（1），

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．
12．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=4，AM=7，AB=6，FM=，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
(2)
解：如图，连接BF，
由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=3，
∴OM=4，AM=7，AB=6，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；
（2）根据垂径定理和圆的切线，可证∠OGC=90°，根据角平分线的性质可知OG=OE，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可求OG，即可求解．
(1)
解：连接OC，
∵CD是圆的切线
∴∠OCD=90°
∴∠DCA+∠ACO=90°
∵AB是圆的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠CAO=90°
∵∠CAO=∠ACO
∴∠DCA=∠B．
(2)
解：连接OC，
∵CD是圆的切线
∴∠OCD=90°
∵∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠B=∠BCO=
∵CE⊥AB，OC=OF
∴∠EOF=∠COE=60°，∠OCE=30°
∴∠COG=60°
∴∠OGC=90°
∴OE=OG=
∴FG=OF+OG=3．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握这性质定理是解题的关键．