2021北京初三一模数学汇编：几何综合练习（含答案）

这是一份2021北京初三一模数学汇编：几何综合练习（含答案），共28页。试卷主要包含了如图，在中，，，是内一点，，如图，等腰三角形中，，于点，，已知等内容，欢迎下载使用。
（1）依题意补全图1；
（2）若，求线段的长；
（3）当点在边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积．
2．（2021•通州区一模）已知点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；再将线段绕点逆时针旋转，得到线段；连接，取中点，连接，．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）如图2，当点不在线段上，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．
3．（2021•西城区一模）如图，在中，，，是内一点，．过点作交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．
4．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形中，，于点，．
（1）求出的大小（用含的式子表示）；
（2）延长至点，使，连接并延长交的延长线于点．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
5．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点．
（1）依题意补全图形
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
6．（2021•丰台区一模）如图，在中，，，点在线段上，作射线，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，过点作于点，交于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
7．（2021•平谷区一模）在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点．
（1）如图1，当点为线段的上任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明．
8．（2021•房山区一模）已知：在中，，，以为斜边作等腰，使得，两点在直线的同侧，过点作于点．
（1）如图1，当时，
①求的度数；
②判断线段与的数量关系；
（2）若，线段与的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．
9．（2021•大兴区一模）如图1，等边中，点是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，，作于点；
（1）若，依题意补全图1，并直接写出的度数；
（2）如图2，若，
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系并加以证明．
10．（2021•石景山区一模）在中，，．点是内动点，连接，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，延长与射线交于点（点与点不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究与的数量关系为 ；
（3）如图2，若平分，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
11．（2021•东城区一模）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，．
（1）如图1，若点为线段的中点；
①直接写出的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，若线段与交于点．
①设，求的大小（用含的式子表示）；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
12．（2021•海淀区一模）如图，在中，，，作射线，．在射线上，连接，是的中点，关于点的对称点为，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）判断与的数量关系并证明；
（3）平面内一点，使得，，求的值．
13．（2021•门头沟区一模）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
14．（2021•石景山区一模）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：如图1，，分别是的边，上的动点（不与点重合），与的角平分线交于点，的周长为，过点作于点，于点，求与的周长的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：线段与的数量关系为 ；
与的数量关系是 ．
参考小石思考问题的方法，解决问题：
如图2，当时，其它条件不变，判断点到的距离与的周长的数量关系，并简要说明理由．
2021北京初三一模数学汇编：几何综合
参考答案
1．【分析】（1）根据题意作出图形便可；
（2）连接，先证明，再证明，求得，便可得；
（3）设，则，求出、、；当为等腰三角形时，分两种情况：或，列出方程求出的值，进而求得最后结果．
【解答】解：（1）根据题意，作图如下：
（2）连接，如图2．
点与点关于所在的直线对称，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（3）设，则，
，
，，
，
当为等腰三角形时，只能有两种情况：或，
①当时，有，
解得，
；
②当时，
，
解得，
，
综上的面积为或．
2．【分析】（1）由旋转可得，是等边三角形，，则，所以．
（2）延长至点，使得，连接，，，，可证是等边三角形且点是的中点，则有，．
【解答】解：（1）有题意可得，，且，
是等边三角形，
，
，
又，
，
．
（2）猜想，，，理由如下：
如图2，延长至点，使得，连接，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，．
3．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．
（3）结论：，证明，即可解决问题．
【解答】（1）解：图形如图所示．
（2）证明：，
，
，
，
，，
，
．
（3）解：结论：．
理由：在的延长线上取一点，使得，
，
，
，
，
，，
，
，
．
4．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）①根据题意即可补全的图形；
②过点作于点，过点作于点，结合（1）证明可得，设，则，进而可得结论．
【解答】解：（1）等腰三角形中，，，
，
，
，
；
（2）①如图即为补全的图形；
②，
证明：，
，
，
，
，
，
过点作于点，过点作于点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
5．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
（3）结论：．如图，连接，，在上取一点，使得，连接．证明，推出，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2），
点是的外心，
，，
，
，，
，
，
．
（3）结论：．
理由：如图，连接，，在上取一点，使得，连接．
垂直平分线段，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
6．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论：．延长至，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）结论：．
理由：延长至，使，连接．
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
7．【分析】（1）过作于，由“”可证，可得，，可得结论；
（2）过作于，由“”可证，可得，，可得结论．
【解答】解：（1）结论：，
理由如下：过作于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
；
（2）依题意补全图形，结论：，
理由如下：
过作交的延长线于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
8．【分析】（1）①由余角的性质可求；
②通过证明点，点，点，点四点共圆，由垂径定理可得；
（2）通过证明点，点，点，点四点共圆，由垂径定理可得．
【解答】解：（1）①，，
，
，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图1，延长至，使，连接，
，，
，
，
，，
点，点，点，点四点共圆，
，
是直径，是圆心，
，
；
（2）不变，理由如下：
如图2，延长至，使，连接，
，，
，
，
，，
点，点，点，点四点共圆，
，
是直径，是圆心，
，
．
9．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出，由即可得到结论；
（2）①由轴对称的性质可得垂直平分，可得，，由等腰三角形的性质可求解；
②在上截取，根据全等三角形判定的定理证得，由全等三角形的性质得到，，可得，由三角函数的定义求得，进而得到．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，
关于直线的对称是，
，，
，
；
（2）①证明：如图，连接，
根据题意得，
，
，
是等边三角形，
，
，
关于直线的对称是，
，，
，
，，
，
；
②解：用等式表示线段，，之间的数量关系是．
证明：在上截取，连接，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
．
10．【分析】（1）按要求作图即可；
（2）绕点顺时针旋转得到可得，即可得到答案；
（3）由可得、、、共圆，证明得，从而可得．
【解答】解：（1）补全图1如下：
（2）当在线段延长线上时，如上图1，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
当在线段上时，如上图2，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
故答案为：或；
（3），理由如下：
连接，和公共边为，且，
、、、共圆，如图：
、、、共圆，
，
平分，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
11．【分析】（1）①证明，可得结论．
②图形如图所示：结论：．证明，可得结论．
（2）①如图2中，连接，．证明，，，四点共圆，推出，由，推出，推出，推出，可得结论．
②如图中，结论：．连接，在上取一点，使得．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①，关于对称，
，，
是等边三角形，
，
，
，
．
②图形如图所示：结论：．
理由：，，关于对称，
，
，
，
，
．
（2）①如图2中，连接，．
，关于对称，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
．
②如图中，结论：．
理由：连接，在上取一点，使得．
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，关于对称，
，
．
12．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；
（2）由“”可证，可得；
（3）由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，则两圆的交点为，由“”可证，可得，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2），理由如下：
是的中点，
，
关于点的对称点为，
，
又，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
两圆的交点为，
，，，
，
，
，
同理可证，
，
，
综上所述：或．
13．【分析】（1）根据，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；
（2）按照题意补全图形即可，在上取，连接交于，交于，连接，，利用、、证明、、、共圆，从而可得，，再证明，即可得到．
【解答】解：（1）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
正方形，
，
，
；
（2）补全图2如下：
线段，，之间的数量关系为：，理由如下：
在上取，连接交于，交于，连接，，如图：
正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
由（1）知，
且，
，
，
而，，
，
，
、、、共圆，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
14．【分析】过点作，垂足为，由角平分线的性质得，根据得，，从而得到结论；
连接，过作于，根据全等三角形的判定与性质得，同理，，，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．
【解答】解：过点作，垂足为，
与的角平分线交于点，于点，于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为，
．
故答案为：，；
解决问题：
．
连接，过作于，
平分，，
，，
，
，
同理，，，
，
，，
，
，，
，
，
．