2022北京初三一模数学汇编：几何综合练习（含答案）

这是一份2022北京初三一模数学汇编：几何综合练习（含答案），共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
(1)求证：；
(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
2．（2022·北京石景山·一模）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．
3．（2022·北京大兴·一模）已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数．
4．（2022·北京丰台·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
(1)∠BAC+∠DAE＝ °；
(2)取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．
5．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
6．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠CAE＝∠BCD；
(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．
7．（2022·北京门头沟·一模）如图，在等边中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接，作的平分线，交于．
(1)①根据题意，补全图形；
②请用等式写出与的数量关系，并证明．
(2)分别延长和交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
8．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．
(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；
(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
9．（2022·北京朝阳·一模）在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E．
(1)如图，若，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）．
10．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
11．（2022·北京顺义·一模）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，DF．
(1)求∠EDF的度数；
(2)用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明．
12．（2022·北京海淀·一模）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
13．（2022·北京通州·一模）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是BC延长线上一点，连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．过点E作，交AB于点F．
(1)①直接写出∠AFE的度数是______；②求证：∠DAC＝∠E；
(2)用等式表示线段AF与DC的数量关系，并证明．
参考答案
1．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论．
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，∵AC是正方形的对角线，∴∠在△和△中，∴△∴
（2）①补全图形如下：②连接GE，如图，∵∴∠∴∠∴，，又∴△∴∴，由（1）知：△，∴∠∴∠即∠，∴∠由勾股定理得，，∴，∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题目步骤作图即可；
（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；
（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．
（1）依题意补全图形如下：
（2）过E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴ (ASA)，∴
（3），证明如下： 由（2）得，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．
3．(1)作图见解析；
(2)∠DOC=15°．
【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可．
(2) 过点A作AE⊥BO于E，由题意可得∠1=30°，∠2=15°，∠3=15°，证明AD=DC，可得到∠DOC=∠AOD，从而得解．
(1)
解：由题意可以补全图形如下：
(2)
解：如图，过点A作AE⊥BO于E，
∴∠AEB=90∘，
∵∠ABO=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，
又∵BA=BO，
∴∠2=∠3=15°，
∴∠OAE=75°，
∵∠BAC=90°，
∴∠4=75°，
∴∠OAE=∠4，
∵OD⊥AC于点D，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
在△AOE和△AOD中，
，
∴△AOE≌△AOD，
∴AE=AD，
在Rt△ABE中，∠1=30°，
∴AE=AB，
又∵AB=AC，
∴AE=AD=AB=AC，
∴AD=CD，
又∵∠ADO=∠CDO=90°，
∴OA=OC，
∴∠DCO=∠4=75°，
∴∠DOC=15°．
【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．
4．(1)180
(2)，证明见解析；
【分析】（1）由旋转可知∠DAE=180°-a，所以得到：∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°；
（2）连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；因为DF=CF，AF=GF；可以得到四变形ADGC为平行四边形；从而有∠DAC+∠ACG=180°，再证∠ACG=∠BAE继而证明△ABE≌△CAG得到BE=AG，即可得线段AF与BE的数量关系；
(1)
解：由旋转可知∠DAE=180°-a，
∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°
故答案为：180
(2)
解：如图所示：连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；
∵DF=CF，AF=GF；
∴四变形ADGC为平行四边形；
∴∠DAC+∠ACG=180°，
即∠ACG=180°-∠DAC，
∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，
所以∠ACG=∠BAE，
∵四变形ADGC为平行四边形；
∴AD=CG，
又∵AD=AE，
AE=CG，
在△ABE和△CAG中，

∴△ABE≌△CAG，
∴BE=AG，
∴AF=AG=BE，
故线段AF与BE的数量关系：AF=；
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，以及全等三角形的性质的判定，解题的关键是熟悉并灵活应用以上性质．
5．(1)图见解析，°
(2)，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求得∠BAD=∠BAC，由旋转的性质可得∠ABE=∠E，由三角形内角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性质可得∠FBC；
（3）在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等边三角形，便可解答；
(1)
解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则∠CAE=60°；
(2)
解：∵，是边的高线，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，又，
∴，
在中，，
∴
∴
又∵是边的高线，∴
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，
∴．
(3)
解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，
∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），
∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，
∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，
∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴FM=AF，
∴AF+BF=EF；
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；
（3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EF＝EC，证明，即可得到．
（1）如图所示，
（2），，．，，，即∠CAE＝∠BCD．
（3），理由如下，如图，过点作于点，则，由（2）可知，，，．又，，．，，又，，．
【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
7．(1)①见解析，②∠BAD＝2∠BCD，证明见解析；
(2)＝＋，证明见解析．
【分析】（1）①按照题意补全图形即可，②由旋转的性质可知AD＝AC，∠CAD＝，△ADC是等腰三角形，∠ADC＝∠ACD＝90°－，由△ABC是等边三角形得∠BCD＝30°－，∠BAD＝2（30°－），得到结论；
（2），连接GF，在AF上截取FG＝DF，分别证明△ABF≌△ADF（SAS），△DFG是等边三角形，△BCF≌△DAG（AAS）， 得到CF＝AG，即可得到结论．
(1)
解：①补全图形如图1，
② ∠BAD＝2∠BCD
证明：由旋转的性质可知AD＝AC，∠CAD＝，
∴ △ADC是等腰三角形
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°－∠CAD）＝（180°－）＝90°－
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝AD
∴∠BCD＝∠ADC－∠ACB＝（90°－）－60°＝30°－
∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－＝2（30°－）
∴∠BAD＝2∠BCD
(2)
解：＝＋，理由如下：
如图2，连接GF，在AF上截取FG＝DF，
∵AE平分∠BAD
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD
∵AB＝AC，AC＝AD
∴AB＝AD
又∵AF＝AF
∴△ABF≌△ADF（SAS）
∴BF＝DF
∵∠BAD＝2∠BCD
∴∠BCD＝∠BAD
∴∠BCD＝∠BAF＝∠DAF
∵∠BAF＋∠ABC＋∠AEB＝180°，∠BCD＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∠AEB＝∠CEF
∴∠CFG＝∠ABC＝60°
∴∠AFB＝∠AFD＝60°
∴∠BFC＝∠AFB＋∠AFD＝120°
∵FG＝DF
∴△DFG是等边三角形
∴DG＝DF＝BF，∠DGF＝60°，
∴∠AGD＝180°－∠DGF＝120°
∴∠AGD＝∠CFB
在△BCF和△DAG中，

∴△BCF≌△DAG（AAS）
∴CF＝AG
∴AF＝AG＋FG＝CF＋DF
即AF＝CF＋DF
【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，添加适当的辅助线是解答此题的关键．
8．(1)①见解析；②BC=BD+BP，证明见解析
(2)BC=BD−BP
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出∠DPE=∠CPE=60°，进而可得结论；
②在BC上取一点Q使得BQ=BP，证明△PBQ是等边三角形，再证明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP；
（2）在BD上取一点E使得BE=BP，证明△PBE是等边三角形，再证明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD−BP．
(1)
①补全图形如图所示，
证明：设PD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°，
∴∠DPC=60°，
∵l//AC，
∴∠DBE=∠ACB=60°，
∴∠DBE=∠CPE=60°，
∵∠BED=∠PEC，
∴∠BDP=∠PCB；
解：②BC=BD+BP，理由如下：
在BC上取一点Q使得BQ=BP，连接PQ，
∵∠ABC=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=PQ，∠BPQ=60°，
∴∠BPD=∠CPQ，
又∵∠BDP=∠PCB，
∴△PBD≌△PQC，
∴BD=QC，
∵BC=BQ+QC，
∴BC=BD+BP；
(2)
解：BC=BD−BP，理由如下：
在BD上取一点E使得BE=BP，连接PE，
∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，
∴∠DBC=∠ACB=60°，
∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，
∴△CBP≌△DEP，
∴BC=DE，
∵BD=BE+ED，
∴BC=BD-BP．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
9．(1)①见解析；② ，理由见解析
(2)不成立，
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案；
（2）连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案．
(1)
①补全图形如图所示：
② ，理由如下：
如图，连接 ，
将线段沿所在直线翻折，得到线段，
，
又 ，
，
，
，
，
，
D是的中点，
，
，
，
即，
，
，
，
；
(2)
不成立，，理由如下：
如图，连接，
将线段沿所在直线翻折，得到线段，
，
又 ，
，
，
D是的中点，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键．
10．(1)135，
(2)①作图见解析，45°；②
【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；
（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；
②过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明
即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．
(1)
过点E作于点K

四边形ABCD是正方形

BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE

，





，四边形ABCE的面积为
故答案为：135，
(2)
①作图如下
四边形ABCD是正方形

由旋转可得，





②，理由如下：
如图，过点B作 垂足为H



，∠EBC的平分线BF交EC于点G








为等腰直角三角形

即
【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，即可求解；
（2）延长DE，使得DE=DG，连接FG、BG，构造并证明，得到对应的线段和角相等，从而得到，根据勾股定理，即可的AE，BF，EF之间的数量关系；
(1)
∵EF垂直平分CD
(2)
如图，延长DE，使得DE=DG，连接FG、BG
∵D是AB的中点，
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
12．(1)，
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；
（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可．
(1)
解：，．
理由如下：由题意知三点重合
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴为线段的中点
∵是中点
∴是的中位线
∴，
∴
∴．
(2)
解：，的关系仍成立．
证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，
由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，
∴，，，，，，，，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度．
13．(1)①；②见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）①根据AC=BC，∠ACB=90°，得出，根据，得出，即可得出的度数；
②延长EF交EF于点G，并得出，由，，得出∠DAC＝∠E；
（2）先证明，得出，根据得出，从而得出，即可得出．
(1)
解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，
，
，
，
；
②延长EF交EF于点G，如图所示：
，
，
，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
，
；
(2)
；理由如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
，
∵在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，旋转的性质，作出相应的辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．