2023-2024学年山东济南平阴县七年级下册数学期中试卷及答案

这是一份2023-2024学年山东济南平阴县七年级下册数学期中试卷及答案，共21页。
2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题．
第I卷选择题（40分）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示0.0000084，为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选C．
3. 下面的四个图形中，和是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、两个角的两边不互为反向延长线，故不符合题意；
B、两角是对顶角，故符合题意；
C、两个角的两边不互为反向延长线，故不符合题意；
D、两角没有公共顶点，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．
4. 已知三角形的两边长分别是5和10，则此三角形第三边长可能是（ ）
A. 3B. 5C. 10D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可解答．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则，即，
四个选项中只有10符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5. 如图，笔直小路的一侧栽种有两棵小树，，小明测得，，则点到的距离可能为（ ）

A. 6mB. 5mC. 4mD. 3m
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得出结论．
【详解】根据垂线段最短，点到的距离，故选．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，正确的理解题意是解题的关键．
6. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A. 与都是变量，且是自变量，是因变量B. 物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
C. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D. 与的关系表达式是
【答案】D
【解析】
【分析】由表中的数据进行分析发现与满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然后逐个分析四个选项，可得出最终结果．
【详解】根据图表观察与满足一次函数关系，
设，
代入（0,10）和（2,11）两点，
得：，
解得：，
y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，
A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意；
B、由图表知，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故B选项正确，不符合题意；
C、由表达式知，当x= 7时，y = 13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故C选项正确，不符合题意；
D、y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，同时求出表达式是解题的关键．
8. 若，则的值为( )
A. 9B. C. 27D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对因式分解，然后将代入求解即可．
【详解】解：∵，即，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值和平方差公式的应用，灵活运用因式分解是正确解答本题的关键．
9. 将四个长为a，宽为长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查完全平方式、完全平方公式的几何背景，先用a、b表示，，再根据，列出等式，整理后得出a、b的关系．
【详解】解：，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ）

A. 9B. 12C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知：当时，等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
点是的中点，
，
当时，面积发生转折，此时点和点重合，
，
在中，，，，
．
故选：C
【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
第II卷非选择题（110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：，
故答案：．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12. 若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】设一份为，则三个内角的度数分别为，，，然后根据三角形内角和进行求解即可．
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，
解得．
所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
13. 如图在和中，，当添加条件______时，可由“边边边”判定．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意可得已经有两条对应边相等，故使得第三条边也对应相等即可通过“边边边”判定．
【详解】解：∵，，
∴只要添加，即可通过“边边边”判定．
故答案为：．
14. 如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是______．
【答案】4
【解析】
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴△A1AB1的面积=△ABB1的面积=S△ABC，
∴△A1BB1的面积=△A1AB1的面积+△ABB1的面积=2S△ABC，
同理：△B1CC1的面积=2S△ABC，△A1AC1的面积=2S△ABC，
∴△A1B1C1的面积
=△A1BB1的面积+△B1CC1的面积+△A1AC1的面积+S△ABC
=7S△ABC=28．
∴S△ABC=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
15. 如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式(完全平方和、差公式)乘积二倍项即可确定m的值.
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
根据以上信息计算_____．
【答案】
【解析】
【分析】认真读懂题意，掌握新定义，利用新定义计算．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握新定义，利用新定义计算．也考查了合并同类项．
三、解答题：（共10小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算
（1）；
（2）
（3）
（4）（利用乘法公式计算）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、有理数的混合运算、平方差公式等．熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（3）根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方、有理数的混合运算计算即可；
（4）根据平方差公式、有理数的混合运算计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：原式
．
【小问4详解】
解：原式
．
18. 化简
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方计算，再合并同类项；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式计算，再去括号合并同类项．
【小问1详解】
解：原式，
小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
19. 先化简，再求值，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】原式
当时，
原式
20. 推理填空．
已知如图，，试说明．请将下面的解答过程补充完整．

证明：∵（ ）
（已知）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】先由对顶角相等等量代换得到，则可证明，得到，进而推出，进一步证明，即可证明．
【详解】证明：∵（对顶角相等）
（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定是解题的关键．
21. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先得出，再利用证明，即可得出答案．
【详解】证明：∵
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．
22. 甲、乙两家蓝莓采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）．
（1）当采摘量超过10千克时，求与的关系式；
（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．
【答案】（1），；（2）若要采摘40千克蓝莓，去乙家比较合算，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以分别得到y1、y2与x的函数关系式；
（2）把x=40，代入函数关系式即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，
y1=60+30×0.6x=60+18x；
y2=10×30+30×0.5（x-10）=150+15x；
（2）当x=40时，
y1=60+18×40=780，
y2=150+15×40=750，
因为y1＞y2，
所以要采摘40千克蓝莓，去乙家比较合算．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
23 如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）试说明∠BCD＝∠ECD；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析；（2）∠CED和∠CDF
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠ACB，然后根据角平分线的定义求出∠BCE，从而可以求出∠ECD的度数，即可得解；
（2）根据三角形的角度关系，找出度数是70°的角即可．
【详解】解：（1）∵∠B＝70°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD＝90°﹣70°＝20°，
在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝40°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠BCD＝∠ECD；
（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，
∴∠CED＝90°﹣∠ECD＝90°﹣20°＝70°，
∠CDF＝90°﹣∠ECD＝90°﹣20°＝70°，
所以与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，角平分线，三角形的内角和定理，根据求出的角的度数相等得到相等关系是解题的关键．
24. 【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．
理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】理解应用：；拓展升华：①；②
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键．
理解应用：图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面积的和，即可得到等式；
拓展升华：①根据拓展升华中的公式，将，，代入即可；
②根据拓展升华中的公式，将，且代入即可．
【详解】理解应用：图b中阴影部分的面积=
图b中阴影部分的面积，
∴等式为；
拓展升华：①由理解应用可得
当，，时，，
解得；
②∵，且，
根据拓展升华中的等式可得，
∴
25. 中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的函数关系图，上升和下降过程中速度都相同，根据所提供的图象信息解答下列的问题：

（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟．
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟．
（4）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ．
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【答案】（1）时间，高度
（2）5 （3）25
（4）2，15 （5）25米
【解析】
【分析】（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案；
（2）根据图象直接计算即可得到答案；
（3）根据分钟图象数据求解即可得到答案；
（4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案；
（5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案.
【小问1详解】
解：由题意可得，
∵无人机高度随时间变化而变化，
∴自变量是时间（或t），因变量是飞行高度（或h），
故答案为：时间（或t），飞行高度（或h）；
【小问2详解】
解：由图像可得，
分钟无人机在米高的上空停留，
∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟，
故答案为：5；
【小问3详解】
解：由分钟图像可得，
无人机的速度为：（米/分钟），
故答案为：；
【小问4详解】
解：由（3）可得，
，，
解得：，，
故答案为：2，；
【小问5详解】
解：由（3）可得，
，
∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米），
答：第分钟时无人机的飞行高度是米．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算．
26. 如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
（1）如图1，求证；
（2）如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的关系是解题关键．
（1）根据同位角相等，即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，进而得到，再利用平行即可证明结论；
（3）设，则，，根据平行线的性质，得到，进而得出，再结合角平分线的定义，得到，由（2）得：，解得，即可得出的度数．
【小问1详解】
证明：，
，
；
【小问2详解】
证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，
设，则，，
，
，
，
又平分，
，
由（2）得：，
，
解得：，
．
x(kg)
0
1
2
3
4
5
y(cm)
10
10.5
11
11.5
12
12.5