第八讲 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

这是一份第八讲 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版），文件包含第八讲用“HL斜边直角边”判定三角形全等暑期衔接教师版docx、第八讲用“HL斜边直角边”判定三角形全等暑期衔接学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。

教学目标：
1.经历探索直角三角形全等的判定方法的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观.
2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等.
学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等.
学习难点：探索直角三角形全等的判定方法.
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc18058" 新知预习 PAGEREF _Tc18058 \h 1
\l "_Tc13266" 知识总结 PAGEREF _Tc13266 \h 6
\l "_Tc27538" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc27538 \h 7
\l "_Tc30330" 考点讲练1：用HL证明三角形全等 PAGEREF _Tc30330 \h 8
\l "_Tc27766" 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 PAGEREF _Tc27766 \h 9
\l "_Tc32473" 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） PAGEREF _Tc32473 \h 11
\l "_Tc348" 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 PAGEREF _Tc348 \h 13
\l "_Tc18617" 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 PAGEREF _Tc18617 \h 15
\l "_Tc21028" 中档题真题练 PAGEREF _Tc21028 \h 17
\l "_Tc29394" 培优题真题练 PAGEREF _Tc29394 \h 24
新知预习
【复习回顾】
【新课导入】
【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
【推进新课】
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
知识点1：直角三角形全等的判定 “HL”
【探究】
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
【画法】
（1） 画∠MC′N =90°；
（2）在射线C′M上取B′C′=BC；
（3） 以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′；
连接A′B′．

现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
【归纳】直角三角形全等“斜边、直角边”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL” ）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA）
【拓展】直角三角形中三边满足a²+b²=c²，也就是说，已知直角三角形两边，便能求第三边.
思考：HL的实质是什么？ SSS
直角三角形任意两边相等都能证全等.
典例精讲 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD．
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，AC = BD，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）
∴BC =AD
（全等三角形对应边相等）
变式训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
典例精讲 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：由题可知∠D=∠F=90°
AD=AF，AC=AE
∴在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）∴DC=FE.
又在Rt△ADB和Rt△AFB中，
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB.
BC=BD-DC，BE=BF-FE，
∴BC=BE.
【方法总结】
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
【归纳】两个三角形全等判定思路
【课堂小结】
知识总结
知识点01：定义与理解:
定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hyptenuse-Leg）。
理解：
HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。
在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。
知识点02：性质与定理
性质：
全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。
全等直角三角形的周长相等、面积相等。
HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。
定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
知识点03：应用与实例
应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。
在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。
实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。
高频易错点拨
知识点01：对HL条件理解不透彻
易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。
解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。
知识点02：忽视直角三角形的性质
易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。
解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。
知识点03：混淆不同的判定条件
易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。
解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。
知识点04：算错误或疏忽
易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。
解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。
知识点05：忽视隐含条件
易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。
解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。
考点讲练1：用HL证明三角形全等
【典例精讲】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【举一反三1】（21-22八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A．B．C．D．
【举一反三2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：

【举一反三3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．

(1)第一种情形（如图）
在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程；
(2)第二种情形（如图）
在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等）
考点讲练2：全等的性质和HL的综合
【典例精讲】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【举一反三1】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
【举一反三2】（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，
(1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且，
①求证：：
②求的值；
(2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值．
【举一反三3】（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合）
【典例精讲】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【举一反三1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（ ）

A．B．C．D．
【举一反三2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号）
【举一反三3】（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示的长度．
(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等
【典例精讲】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．

以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．
【举一反三1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点．
(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．
(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
【举一反三2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．

(1)①当时，点Q的坐标为______；
②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）；
(2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由．
【举一反三3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据．
已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．

(1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来）
考点讲练5：结合尺规作图的全等问题
【典例精讲】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题：
如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图中画，使；
(2)在图中画，使；
(3)在图中画，使．
【举一反三1】（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．

(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个．
【举一反三2】（22-23七年级下·福建三明·期中）如图，中，，，，，．

(1)①说明；
②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上．
【举一反三3】（21-22八年级下·河南信阳·期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
中档题真题练
1．（2024八上·德阳期末）如图，根据下列条件，不能说明的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2024八上·随县期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（ ）
A．B．6C．9D．12
3．（2024八上·鄞州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024八下·黎川期中）如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2024八上·瑞安期末）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是 ．
6．（2023八上·朔州月考）如图，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的C、D两点位置时，形成的和中有，，，则与 （填“全等”或“不全等”）．
7．（2023八上·东安期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠BAA′的度数为 ．
8．（2024八下·天元月考）如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
9．（2024八上·宁南期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ．
10．（2024八上·开化期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3）．将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．
（1）图1中的长为 ．
（2）图3中的长为 ．
11．（2023八上·师宗期中）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD=A'D'．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
12．（2023八上·黄陂期中）在平面直角坐标系中，分别是轴、轴正半轴上的点，是线段上一点，连接．
（1）如图1，轴于点是上一点，且；
①求证：；
②若，求证：；
如图2，是的中点，连接是轴负半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围．
13．（2024八上·叙州期末）
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
14．（2023八上·南昌期中） 综合与实践
问题提出
如图1，在中，AD平分，交BC于点D，且，则AB，CD，AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由.
（1）方法运用
我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E，使得，连接DE，……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程.
（2）以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取AF，使得① ，连接② .请补全空格，并在图3中画出辅助线.
（3）延伸探究
小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE中，，，，若，求的度数.
培优题真题练
15．（2024八上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
16．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024八上·洪江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
18．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．（2024七下·吉州月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
20．（2024八上·安乡县期末）如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
21．（2024八上·合江期末）如图，在Rt△ABC中，AB = CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF，下列结论：①AB：BD=2：1；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤上述结论中正确的是 （只填序号）．
22．（2024八上·朝阳期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 ．
（2）在图①、图②、图③中分别确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等，图①、图②、图③中点D的位置不同，且不与点A重合．
23．（2024八上·万州期末）已知：在线段的同侧分别过A、B作，，分别在射线，上取点C、D.若，，点P是线段上的一个动点.
（1）如图1，连接、，当且时，求的长；
（2）如图2，点P在线段上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动.
①连接，当时，求x的值；
②是否存在实数x的值，使得某时刻与全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由.
24．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
25．（2024八上·朝阳期末）如图，尺规作图痕迹与△ABC的边BC、AB分别交于点D、E，过点D分别作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，在边AC上取一点H，连结DE、DH，使DH＝DE．
（1）求证：△DEF≌△DHG．
（2）若△ADH的面积为25，△AED的面积为19，则△DEF的面积为 ．
26．（2024八上·宁江期末）如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E．
（1）当时， °
（2）线段DC的长度为何值时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由．