第五讲 用“SSS（边边边）”判定三角形全等-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

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第五讲 用“SSS”判定三角形全等（三角形全等的判定）
教学目标：
1.经历探索三角形全等的判定过程,通过减少条件后的图形比较形成几何直观,发展抽象能力.
2.通过动手操作理解基本事实:三边分别相等的两个三角形全等,经历验证数学结论的过程,培养抽象概括能力.
3.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边作三角形,并理解尺规作图的基本原理.
教学重点、难点：
会用“SSS”判定三角形全等.
在探索条件减少的情况下,经历图形比较得到三角形全等的判定方法.
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc12945" 新知预习 PAGEREF _Tc12945 \h 1
\l "_Tc19589" 知识总结 PAGEREF _Tc19589 \h 6
\l "_Tc2366" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc2366 \h 7
\l "_Tc27593" 考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等 PAGEREF _Tc27593 \h 8
\l "_Tc4278" 考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等 PAGEREF _Tc4278 \h 12
\l "_Tc14387" 考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合 PAGEREF _Tc14387 \h 15
\l "_Tc19228" 考点讲练4：作一个角等于已知角 PAGEREF _Tc19228 \h 18
\l "_Tc20914" 中档题真题练 PAGEREF _Tc20914 \h 21
\l "_Tc11695" 培优题真题练 PAGEREF _Tc11695 \h 33
新知预习
【复习回顾】
什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形有什么性质？ △ABC≌△DEF
（1）全等三角形的对应边相等. AB=DE AC=DF BC=EF
全等三角形的对应角相等.∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
【新课导入】
类比平行线的性质和判定：
【新课推进】
已知△ABC ≌△ A′B′C′，根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等，三个角分别相等，就能判定△ABC≌△A'B'C'.
思考:是否一定要满足这六个条件，才能保证△ABC≌△A′B′C′呢？
若不是，则需要满足几个条件呢?
知识点1：三角形全等判定“边边边”
【探究1】当满足一个条件时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
①满足一条边相等时 ②满足一个角相等时

【结论】只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等
【探究2】当满足两个条件时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
①满足两个角相等时 ②满足两条边相等时 ③满足一个角和一条边相等时

【结论】两个角对应相等的两个三角形不一定全等；两条边对应相等的两个三角形不一定全等；一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等。
当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？分哪几种情况？
【探究3】当满足三边相等时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，使 A′B′ =AB，B′C′ =BC，A′C′ =AC．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
画法:
①画线段 B′C′=BC ； ②分别以 B′、C′为圆心，BA、CA 为半径画弧，两弧交于点 A′；
③连接线段 A′B′，A′C′.

三角形全等“边边边”的判定方法
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SSS）
典例精讲 在如图所示的三角形钢架中，AB =AC ，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
解题思路：
①先找隐含条件：公共边AD
②再找现有条件：AB=AC
③最后找准备条件：
证明：∵D 是BC 中点，∴BD =CD．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
【归纳总结】
①“找”从已知条件出发，找齐三角形全等的三个条件；
②“列”列出要证明的是哪两个三角形；
③“排”把三角形全等的条件排列好，并用大括号括起来；
④“得”得出全等结论，并标明所用判定方法；
【探究4】当满足三角相等时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
【结论】三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点2：用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
② 画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧交于点D′；
④ 过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
典例精讲 如图，△ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ ）
A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对
知识总结
知识点01：定义与理解:
定义：如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。这一判定方法简称为“边边边”或SSS（Side-Side-Side）。
理解：“边边边”条件要求的是两个三角形的三边必须一一对应相等，而不是任意两边或两边和夹角相等。
这一条件是基于三角形的稳定性和唯一性得出的，即当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。
知识点02：性质与定理
性质：
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
全等三角形的周长相等、面积相等。
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线也分别相等。
定理：边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。
知识点03：应用与实例
应用：
在证明两个三角形全等时，如果已知三个条件都是关于边的，且这三个条件分别对应两个三角形的三边，则可以直接应用“边边边”条件进行判定。
在求解三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个三角形的三边分别对应相等，则可以利用“边边边”条件得出两个三角形全等的结论，进而简化求解过程。
实例：
假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。根据“边边边”条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同时，它们的周长和面积也分别相等。
高频易错点拨
易错知识点01：对“边边边”条件理解不透彻
易错点：学生可能仅从字面意思上理解“边边边”条件，即认为只要两个三角形的三边长度相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“对应”二字至关重要，必须确保两个三角形的三边是分别对应相等的。
解析：在判断两个三角形是否全等时，要特别注意边的对应关系。例如，不能简单地将一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边相对应，并认为这两个三角形满足“边边边”条件。
易错知识点02：忽视隐含条件
易错点：在解决与三角形全等相关的问题时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用“边边边”条件。
解析：有些题目在给出三边长度相等的同时，还可能隐含了其他条件（如公共边、公共角等）。这些隐含条件对于判断三角形全等至关重要。因此，在解题过程中，要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。
易错知识点03：混淆不同的判定条件
易错点：学生可能会混淆“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）等不同的三角形全等判定条件。
解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。例如，“边边边”条件要求两个三角形的三边分别对应相等；而“边角边”条件则要求两个三角形有两边及它们之间的夹角对应相等。因此，在解题过程中，要根据题目的具体要求选择合适的判定条件。
易错知识点04：计算错误或疏忽
易错点：在求解三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况。
解析：在进行三角形全等的判断时，通常需要求解或比较三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致错误的结论。因此，在解题过程中，要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。
易错知识点05：忽视图形的变换
易错点：学生可能忽视三角形可以通过平移、旋转、翻折等变换得到全等三角形的事实。
解析：虽然“边边边”条件本身并不直接涉及图形的变换，但了解三角形可以通过这些变换得到全等三角形对于理解三角形全等的本质和应用“边边边”条件都是有帮助的。因此，在教学过程中可以适当引入这方面的内容以加深学生对三角形全等概念的理解。
考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等
【典例精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于点．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角和，即可．
【规范解答】由作图可知，在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故选：D．
【举一反三1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【规范解答】解：如图，连接，，
，
由作图可得：，，，
，
，
能得出的依据是，
故选：B．
【举一反三2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键．
(1)根据得到即证明即可．
(2)根据得到,证明即可．
(3)根据得到，结合是边的中点，得到，平移距离，计算即可．
【规范解答】（1）证明：，
，
，
又，，
,
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴平移距离，
故答案为：3．
【举一反三3】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以（全等三角形的相等）
因为
所以．
【答案】；；对应角；
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
根据，，得出，再利用证明，即可得出结论．
【规范解答】解：因为，（已知）
所以（等式的性质）
即
在和中：
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
因为所以．
故答案为：；；；；；；；；对应角；．
考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等
【典例精讲】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
【规范解答】解：由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选：C．
【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【举一反三1】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：．
【答案】证明详见解析．
【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【规范解答】证明：∵C是的中点，
∴
在和中，
，
∴．
【举一反三2】（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【思路点拨】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【规范解答】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
【举一反三3】（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.
【答案】见解析．
【思路点拨】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN．
【规范解答】证明：∵AC＝BD，
∴AC＋BC＝BD＋BC，
即AB＝CD，
∵在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN（SSS），
∴∠MBA＝∠D，
∴BM∥DN．
【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般．
考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合
【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等．
【规范解答】解：∵，，，
∴
∴，即为的平分线．
故选A．
【举一反三1】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【规范解答】（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，，
(1)试说明：；
(2)试说明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）利用证明，得出即可；
（2）根据，得出，推出，利用证明，得出即可．
【规范解答】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵由（1）得，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
∴．
【举一反三3】（23-24八年级上·贵州安顺·期末）一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由．
【答案】，理由见解析．
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明，得到，即可求解．
【规范解答】解：，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
∴．
考点讲练4：作一个角等于已知角
【典例精讲】（13-14七年级下·全国·课后作业）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧
C．以点G为圆心，为半径的弧D．以点G为圆心，为半径的弧
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到答案；
【规范解答】解：由图可得，
∵用尺规作出了，
∴弧是以点G为圆心，为半径的弧，
故选：D．
【举一反三1】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，
按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到．
由作图可知：，由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出．
【规范解答】解：由作图知：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三2】（23-24七年级下·山东青岛·期中）在下列图形中，按要求画出，使得，
(1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上；
(2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【思路点拨】本题主要考查作垂线，尺规作角等于已知角，掌握格点作垂线的方法，尺规作角的方法是解题的关键．
（1）根据格点的特点，作垂线的方法即可求解；
（2）作，即作角等于已知角即可求解．
【规范解答】（1）解：作图如下，
（2）解：作图如下，
∴即为所求线段．
【举一反三3】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：线段a，c，∠α
求作：，使．
【答案】见解析
【思路点拨】本题主要考查了尺规作图相同角的作法、相等线段的作法等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
首尺规作图画出与相等的角，然后再在角的两边上截取的长，然后再顺次连接即可解答．
【规范解答】解：如图：即为所求．
中档题真题练
1． 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【规范解答】解：连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
ON=OM，NC=MC，OC=OC，
∴△ONC≌△OMC(SSS）
由题意知B、C、D不符合题意.
故答案选A.
【思路点拨】用直尺和圆规作图，根据性质可得到OA=OB，同理AC=BC，OC为它们的公共边，所以两个三角形全等.
2．（2024八上·关岭期末）如图，中，，D是的中点，的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【规范解答】∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∵OD垂直平分线BC，
∴OB=OC，
同理可证△AOB≌△AOC（SSS），△ODB≌△ODC（SSS），
∵OE垂直平分线段AB，
∴OA=OB，
在△OEA和△OEB中，
，
∴△OEA≌△OEB（SSS），
综上，共有4对全等三角形。
故答案为：C.
【思路点拨】利用垂直平分线的性质及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
3．（2024八上·关岭期末）如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】如图所示：
根据作图过程可知：OA=OB=PC=PD，AB=CD，
∴△PCD≌△OAB（SSS），
∴，
故答案为：D.
【思路点拨】根据作图步骤可得OA=OB=PC=PD，AB=CD，再利用“SSS”证出△PCD≌△OAB即可.
4．（2024八上·遵义期末）如图，已知∠AOB，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；（3）画射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．这样画出OP的依据是（ ）
A．SAS，全等三角形对应角相等B．ASA，全等三角形对应角相等
C．SSS，全等三角形对应角相等D．AAS，全等三角形对应角相等
【答案】C
【规范解答】根据作图方法和步骤可得OC=OD，CP=DP，
∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠COP=∠DOP，
∴射线OP为∠AOB的角平分线，
故答案为：C.
【思路点拨】根据作图方法和步骤可得OC=OD，CP=DP，再结合OP=OP，利用“SSS”证出△OCP≌△ODP，再利用全等三角形的性质可得∠COP=∠DOP，从而得解.
5．（2024八上·常宁期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填序号)．
【答案】①②③④
6．（2024八上·芙蓉期末）如图，在中，，点和点在直线的同侧，，连接，则的度数为 ．
【答案】30°
【规范解答】解：∵，，∴，
∵，∴，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，
∴BE=BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），
∴∠BEA=∠CEA=，
∴∠ADB=30°．
【思路点拨】作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出的度数，根据轴对称的性质可证△EBC是等边三角形，根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，求解即可．
7．（2024八上·德惠期末）如图所示，已知，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD、OE，使；②分别以D、E为圆心，以DE长为半径画弧，在内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则的度数为 ．
【答案】
【规范解答】根据作出的步骤可得：EC=DE=DC，OC平分∠AOB，
∴△DCE是等边三角形，∠BOC=∠AOB，
∴∠DCE=60°，
∵∠AOB=50°，
∴∠BOC=∠AOB=25°，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠OCE=∠OCD=∠DCE=30°，
∴∠CEB=∠EOC+∠OCE=25°+30°=55°，
故答案为：55°.
【思路点拨】根据作出步骤可得△DCE是等边三角形，∠BOC=∠AOB，再求出∠BOC=∠AOB=25°，利用“SSS”证出△OCD≌△OCE，可得∠OCE=∠OCD=∠DCE=30°，最后利用角的运算求出∠CEB=∠EOC+∠OCE=25°+30°=55°即可.
8．老师介绍了用角尺平分一个任意角的方法，作法如下：
如图，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点的射线OC便是的平分线.老师用角尺平分一个任意角时，用到的三角形全等的判定方法是 .
【答案】SSS
【规范解答】解：由题意得：，
∴.
故答案为：SSS.
【思路点拨】由题意得：，即可判定三角形全等，即可得解.
9．（2023八上·吉林期中）如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，若△ADM的面积为 ，则图中阴影部分的面积为
【答案】3
【规范解答】解：连接DC，如图所示，
在和中，
∵CA=CB，AD=BD，CD=CD，
∴（SSS），
∴，
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：3.
【思路点拨】连接CD，利用SSS证明，根据全等三角形的性质及三角形的中线平分面积求解．
10．（2023八上·广州期中）如图，已知，.
（1）请用直尺和圆规作使所画三角形与全等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求作线段AD，使AD平分，交BC于点D；
（3）若，，求的面积.
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：∵AD平分，，，
∴.
∴
【解析】 【思路点拨】（1）要使所作 与全等，只需使与的三边对应相等即可；
（2）作出的平分线即可；
（3）由（2）根据角平分线的性质可得DE=BD=3，则，代入即可求解。
11．（2024八上·黔西南期末）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，．
（1）求证：；
（2）求四边形草坪造型的面积．
【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）解：过点作于点，
米，，
米，
（平方米），
则（平方米），
草坪造型的面积为：（平方米）．
【思路点拨】（1）根据题意，直接利用SSS即可证明 ；
（2） 过点作于点， 根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求得AE=2米，再利用三角形的面积公式求得 （平方米），从而求解.
12．（2024八上·汉阳期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
在和中，
AD=CDAB=CBBD=BD，
，
，
又
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
.
【思路点拨】（1）BD⊥AC，理由如下：首先由SSS证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠CBD，进而根据等腰三角形的三线合一可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠EDB=∠ABD，由（1）可得∠ABD=∠CBD，则∠EDB=∠CBD，由等角对等边得DE=BE，进而根据线段的和差，由BE=BC-CE算出BE，即可得出DE的长.
13．（2024八上·重庆市期末）如图，已知，，点D、E分别在、上，且，，连接，、交于点M、连接．
（1）求证：；
（2）嘉琪说：“若，则E是的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由．
【答案】（1）证明：，
又，，
，
在和中，
∠B=∠C∠EMB=∠DMCBE=CD，
（2）解：嘉琪的说法正确，理由如下：
，
，
在和中，
ME=MDAE=ADAM=AM，
，
；
，
，
过点M作于点F，
则，
，
即E是的中点．
【思路点拨】（1）先利用线段的和差证明BE=CD，再利用AAS证明三角形全等；
（2）利用SSS证明 得 ，过点M作于点F， 利用面积公式证明AE=BE即可。
14．（2023八上·潮南期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．
（1）由尺规作图可证得 ，依据是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求∠ACB的度数．
【答案】（1）SSS
（2）证明：由（1）得 ．
∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（3）解：∵∠BAC＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∵△MBN≌△FBN，
∴∠ABC=∠DBC，
∴ ，
∴∠ACB＝∠DBC＋∠E＝15°＋50°＝65°．
【规范解答】（1）根据基本作图，得BM=BF，BN=BN，MN=NF，符合SSS原理，
故应该填SSS；
【思路点拨】(1)根据同圆的半径相等，BM=BN=BF，MN=FN，符合了SSS；(2)根据(1)知，∠ABC=∠DBC，BC是公共边，BA=BD，符合SAS原理； (3)△ABE中，求出∠ABD=30°，从而求得∠ABC=15°，利用三角形外角和定理即可得到答案.
培优题真题练
15．（2021八上·北流期末）如图， 和 均为等腰直角三角形，且 ，点A、D、E在同一条直线上， 平分 ，连接 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【规范解答】 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
，
在 和 中，
，
，
， ，故①错误，
为等腰直角三角形， 平分 ，
， ，故②正确，
点 ， ， 在同一直线上，
．
．
，
，
，故④正确，
， ，
．
，
．
．故③正确，
故答案为： ．
【思路点拨】 利用边边边定理可证△ACD≌△BCE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质，结合CM平分∠DCE，得CM⊥AE，可判断②，由全等三角形的性质可求∠AEB=∠CME
=90°，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．
16．（2024八上·农安期末）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：由作图知：，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴说明的依据是，
故答案为：A．
【思路点拨】利用“SSS”证明，可得。
17．（2023八上·桂阳月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下：
则说明的依据是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
【答案】D
【规范解答】解：由作图方法可得OD=OC=OC'=OD'，CD=C'D'，
在△OCD和△OC'D'中，
OC=OC'OD=OD'CD=C'D'
∴△OCD≌△OC'D' (SSS)，
∴∠C'O'D'=∠COD，
∴∠A'O'B'=∠AOB.
故答案为：D.
【思路点拨】利用作图方法得到OD=OC=OC'=OD'，CD=C'D'，从而根据“SSS"可得△OCD≌△OC'D'，最后根据全等三角形的性质得到∠A'O'B'=∠AOB.​​​
18．（2023八上·成武开学考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是的平分线．在这个过程中先可以得到，其依据是 ．
【答案】SSS
【规范解答】解：根据题意可得：OM=ON，CM=CN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC是的平分线，
故答案为：SSS.
【思路点拨】先利用“SSS”证出△OCM≌△OCN，可得∠MOC=∠NOC，即可得到OC是的平分线.
19．（2023八上·日照月考）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝ °．
【答案】47
【规范解答】在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，
∴∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，
∵，
∴2∠3=94°，
∴∠3=47°，
故答案为：47.
【思路点拨】先利用“SSS”证出△ABC≌△ADE可得∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，再结合∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，可得2∠3=94°，再求出∠3=47°即可。
20．（2021八上·台州期中）如图，在 中， ， ， 、 是斜边 上两点，过点 作 ，垂足是 ，过点 作 ，垂足是 交 于点 ，连接 ，其中 .下列结论：
① ；
② ；③ ；
④若 ；
其中正确的是 (填序号).
【答案】①③④
【规范解答】解： ①∵∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，∵∠ACF=∠BCF-∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B，在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAFAB=AC∠B=∠C，∴△ABD≌△ACF(ASA)，正确；
②∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∴BD+CE=CF+CE>EF=DE，错误；
③∵由(1)得△ABD≌△ACF，∴AD=AF，在△ADE和△AFE中，AD=AFAE=AEDE=EF，∴△ADE≌△AFE(SSS)，∴∠DAE=∠EAF=45°，∴∠BAD=∠CAF=∠EAF-∠CAE=45°-∠CAE，正确；
④由③得△ADE≌△AFE，
∴S△AEF=S△ADE=5，
∵S△AEF+S△CEF=S△ACF+S△AEC=S△ABD+S△AEC，
∴S△ABC=S△ABD+S△AEC+S△ADE=S△AEF+S△CEF+S△ADE=3，④ 正确；
综上，正确的是 ①③④ .
故答案为： ①③④ .
【思路点拨】利用角的和差关系推出∠BAD=∠CAF，∠ACF=∠B，然后利用ASA证明△ABD≌△ACF，即可判断①；根据(1)的结果得出BD=CF，然后根据三角形三边的关系即可判断 ② ；由(1)得△ABD≌△ACF，求出AD=AF，利用SSS证明△ADE≌△AFE，得出∠DAE=∠EAF=45°，最后根据和差关系即可判断③；通过三角形全等把△ABC的面积转化为△ADE、△AEF和△ECF的面积之和，即可判断④.
21．（2021八上·沙坪坝期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N.现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝ ∠BAC；③∠APC＝90°﹣ ∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC.
其中结论正确的为 .（填写结论的编号）
【答案】①②③
【规范解答】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE
∴PM=PD
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF
∴PM=PN
∴PD=PN
∵PC=PC
∴
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠ABC-（180°-∠PCN）
=- ∠ABC+∠PCN=- ∠ABC+ ∠CAN
∵外角定理
∴∠BPC=- ∠ABC+ （∠BAC+∠ABC）= ∠BAC，故②正确；
③由①可得， ，且
∴∠APC= ∠MPN
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°
∴∠MPN=180°-∠ABC
∴∠APC＝90°﹣ ∠ABC，故③正确；
③由①可得， ，且
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
故答案为：①②③.
【思路点拨】①过点P做PD⊥AC，因为AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明 即可得出结论；
②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠ABC-（180°-∠PCN）=- ∠ABC+∠PCN=- ∠ABC+ ∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=- ∠ABC+ （∠BAC+∠ABC）= ∠BAC，即可得到结论；
③由①可得， ，故∠APC= ∠MPN，因为∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣ ∠ABC，即可得出结论；
④由①可得， ，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论.
22．（2023八上·中江期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，试证明ME＝BD；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
【答案】（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB；
（2）解：①证明：在△ADC和△BDC中，
AC=BCCD=CDAD=BD，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠CAD＝∠CBD＝15°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝∠ACD+∠CAD＝45°+15°＝60°，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴DE平分∠BDC；
②证明：如图，连接MC，
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM＝CD，∠CMD＝60°，
又∵EC＝CA，
∴∠E＝∠CAD＝15°，
∵EC＝EA，BC＝AC，
∴BC＝EC，
∴∠ECM＝∠CMD﹣∠E＝45°，
在△BDC和△EMC中，
DC=MC∠BCD=∠ECMBC=EC，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME＝BD．
③∠CNE的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．
【规范解答】（2）③∠CNE的度数为7.5°或15°或82.5°或150°，
当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；
当EN=CN时，∠ENC=150°；
当CE=CN时，∠CNE=15°，
综上，∠CNE的度数为7.5°或15°或82.5°或150°，
故答案为：7.5°或15°或82.5°或150°.
【思路点拨】（1）根据DB＝DA，可得到D在线段AB的垂直平分线上，再根据AC=BC可得CD垂直平分线段AB，即可证明CD⊥AB。
（2）①先利用“SSS”证明△ADC≌△BDC可得∠CAD＝∠CBD＝15°，再利用角的运算和等量代换可得∠CDE＝∠ACD+∠CAD＝45°+15°＝60°， 再结合∠CDE＝∠BDE＝60°，即可证出DE平分∠BDC；
②连接MC，先利用角的运算求出∠ECM＝∠CMD﹣∠E＝45°， 再利用“SAS”证出△BDC≌△EMC，最后利用全等三角形的性质可得ME＝BD；
③分类讨论：当EN=EC时，当EN=CN时，当CE=CN时，再分别求出∠CNE的度数即可.
23．（2019八上·湄潭期中）如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
【答案】解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
【思路点拨】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，从而利用SSS证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD.
24．（2023八上·鄂州期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）特例证明：
如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
（2）拓展运用：
如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
（2）解：存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”
【思路点拨】（1）根据新定义，可得两个三角形腰相等，顶角之和为180°；根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的底角相等，底边的垂线和中线重合；根据等量代换原则，即可得∠B=∠1=∠2；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，即可得NE=AM；
（2）根据三角形全等的判定（SSS）和性质，即可得∠ABC=∠ADC=90°，∠DPC=∠BPC；根据等量代换原则，可得PA=PB=PC=PD；根据新定义进行判定即可.
25．（2023八上·平南期末）在四边形ABCD中.
（1）如图1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系.
小林同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF.连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，他的结论是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，则上述结论是否仍然成立，请说明理由.
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程.
【答案】（1）EF＝BE+DF
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝ ∠DAB= ∠EAG，
∴∠EAF＝∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF=BE+DF；
（3）解：结论：∠EAF＝180°- ∠DAB.
理由：如图3，在BC延长线上取一点G，使得BG＝DE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ADE和△ABG中，
，
∴△ADE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE，∠BAG＝∠DAE，
∴EF＝BF+DE=BF+BG=FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAD+∠DAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAD+∠BAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°- ∠DAB.
【规范解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF.
理由：如图1，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG，
∴∠FAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝ ∠DAB，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF＝EG=BE+BG＝BE+DF.
故答案为：EF＝BE+DF；
【思路点拨】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，利用SAS可判定△ABG≌△ADF，进而得出∠BAE＝∠DAG，AF＝AG，再利用SAS判定△AEF≌△AEG，可得结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先利用SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SAS判定△AEF≌△AGF，可得结论；
（3）在BC延长线上取一点G，使得BG＝DE，连接AG，根据同角的补角相等得 ∠ABC＝∠ADE， 先利用SAS判定△ABG≌△ADE，可得 AG＝AE，∠BAG＝∠DAE， 再利用SSS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE＋∠DAB＝360°，即可得出结论．