第七讲 用ASA（角边角）或AAS（角角边）判定三角形全等-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

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第七讲 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等
教学目标：
1.经历作图过程,理解基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.
2.经历用“角角边”判定两三角形全等的证明过程,发展推理能力.
学习重点：会用“ASA”“AAS”判定三角形全等.
学习难点：选择恰当的方法判定两个三角形全等.
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc5309" 新知预习 PAGEREF _Tc5309 \h 1
\l "_Tc4775" 知识总结 PAGEREF _Tc4775 \h 6
\l "_Tc18299" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc18299 \h 7
\l "_Tc15226" 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 PAGEREF _Tc15226 \h 8
\l "_Tc3452" 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 PAGEREF _Tc3452 \h 11
\l "_Tc7461" 中档题真题练 PAGEREF _Tc7461 \h 13
\l "_Tc28173" 培优题真题练 PAGEREF _Tc28173 \h 19
新知预习
【复习回顾】
【思考】目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？
“边边边”或“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等
“边角边”或“SAS”
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
【新课导入】
如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗?
通过前面的学习活动，我们探究了两个三角形满足三个条件的前三种情况，这节课我们继续探究第四种情况.
【推进新课】
【思考】已知一个三角形的两角和一条边，那么这两角与这一条边有几种位置关系？
知识点1：三角形全等的判定“角边角”
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
【画法】
① 画A′B′=AB；
② 在A′B′的同旁画∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′
结论：这两个三角形重合
【归纳】
三角形全等“角边角”
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA）
典例精讲 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE．
分析：求证AD=AE
证明 △ACD≌△ABE
∠A=∠A（公共角）
AB=AC（已知）
∠B=∠C（已知）
证明：在△ACD 和△ABE 中，
∴ △ACD ≌△ABE（ASA）∴ AD =AE．
【回顾导入】
如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗?
带 1 去，因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B
C
A
D
典例精讲 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）
知识点2：三角形全等的判定“角角边”
如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF . 求证△ABC ≌△DEF.
证明：在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠C = 180°-∠A-∠B.
同理∠F =180°-∠D -∠E.
又 ∠A =∠D， ∠B =∠E，
∴∠C = ∠F .
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC ≌△DEF（ASA）
【归纳】
三角形全等“角角边”
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （AAS）
典例精讲 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证（1）△BDA≌△AEC；
证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠ABD=∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∴△BDA≌△AEC.（AAS）
（2）DE=BD+CE.
证明：∵△BDA≌△AEC，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+DA=BD+CE
【方法总结】
利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，关键在于运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转换.
小结：三角形全等的判定方法
知识总结
知识点01：角边角（ASA）的定义
角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。
知识点02：角边角（ASA）的解析
两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。
夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。
全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。
知识点03：角边角（ASA）的应用
证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。
求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。
知识点04：角角边（AAS）的定义
角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。
知识点05：角角边（AAS）的应用条件
两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。
夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。
知识点06：角角边（AAS）的判定过程
识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。
应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。
书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。
知识点07：角角边（AAS）与其他判定方法的联系
在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。
高频易错点拨
易错知识点01：对应角与对应边的混淆
易错点：学生在应用定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。
解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。
易错知识点02：夹边识别不准确
易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。
解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。
易错知识点03：忽视隐含条件
易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用定理。
解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。
易错知识点04：证明过程中的逻辑错误
易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。
解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。
易错知识点05：辅助线的添加不当
易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。
解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。
考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等
【典例精讲】（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得DE的长为
(1)请你判断他们做法的正确性并说明理由；
(2)河的宽度是多少米？
【举一反三1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【举一反三2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
【举一反三3】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合
【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，．
(1)如图1，点在延长线上，且．
①若，求的长；
②判断和的关系，并证明；
(2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长．
【举一反三1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明．
【举一反三2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足．
(1)与全等吗？为什么？
(2)吗？为什么？
【举一反三3】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若 求 的周长．
中档题真题练
1．（2024七下·顺德月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）．
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
2．（2024·新乐模拟）为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的方案可行B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行D．甲、乙同学的方案均不可行
3．（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024八下·宝安月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠CB．∠ABC= ∠C
C． ∠ABC=∠CD．∠ABC=3∠C
5．（2024八下·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
6．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
7．（2023八上·江陵期末）如图，在 中， ， ，点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，则B点的坐标是 .
8．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是 ．（不添加辅助线，写出一个即可）
9．（2024八上·重庆市期末）如图，在中，的角平分线交于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴ ．
∵垂直平分，
∴， ， ，
∴，
∴，
∴ ．
∴．
10．（2024八上·成武期末）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
11．（2024八下·腾冲开学考）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
12．（2024·吴兴期末）如图1，为等腰直角三角形，∠=90°，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角△，斜边与交于点，连结．
（1）求证：△≌△；
（2）如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值.
13．（2024八下·冷水滩开学考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
培优题真题练
一、选择题
1．（2024八上·嘉兴期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024八上·瑞安期末）如图，在平行四边形中，延长到，使，连接交于点，交于点．下列结论①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
4．（2023八上·德惠月考）如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．B．C．6D．7
二、填空题
5．（2024八上·遵义期末）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝ ．
6．（2023八上·鄂州期末）如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长 ．
7．（2024八上·临江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，．若，则 ．
8．（2024八上·铁西期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
三、解答题
9．（2023八上·禄劝期中）朵朵站在河边的A点处，观察河对面（正北方向）点B处的一颗大树，她想知道自己距离大树有多远，可身边没有测量工具，于是她运用本学期学到的知识设计了如下方案：她以相同的步子向正西方向走了50岁到达一电线杆点C处，接着继续向正西方向走了50步到达点D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C，大树B与自己现在所处的位置E在同一直线上时停止，朵朵一共走了140步．
（1）根据题意，画出朵朵测量方案的示意图；
（2）如果朵朵一步大约，请计算朵朵A在点处时与点B处的这颗大树的距离，并说明理由．
10．（2023八上·武汉月考）如图是由小正方形组成的 6×6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C 三点都是格点， 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．
（1）在图 1 中，画出△ABC 的中线 AM 和高线 BN；
（2）在图 2 中，点 D 是 AC 上的一个格点，在边 AB 上取一点 E，使得线段 DE 平分△ABC 的面积；
（3）在图 3 中，点 P 是线段 AB 上的任意一点，在线段 AC 上取一点 Q，使得 AQ＝AP．
11．（2024八上·遵义期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ACB≌△BED；
（2）求两堵木墙之间的距离．
12．（2024八上·广水期末）在平面直角坐标系中，等腰中，，，，．
（1）如图，若，求的面积；
（2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：；
（3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：．
13．（2024八上·寻乌期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求四边形的面积．
14．（2024八上·常德期末）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点．证明：．
（2）组员小刘想，如果当直线绕点旋转到图2的位置时，具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．