北师大版（2024）八年级上册（2024）3 勾股定理的应用图片ppt课件

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1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
问题装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
D CA B
思考(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗?(1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗?(2)边AD垂直于边AB.因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，所以AD2+AB2= BD2，所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，所以AD⊥AB.
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗?(3)他能检验边AD是否垂直于边AB.如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度，若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB；否则，边AD不垂直于边 AB.同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ，所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形.
思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗?
知识点2 勾股定理的应用
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²，即 5²+x²=(x+1)².解得 x=12. 12+1=13.因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；(2)构造直角三角形；(3)利用勾股定理等列方程；(4)解决实际问题.
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为 尺.
1. 小明家新买了一个长方体形状的鱼缸，如图所示，小明想要检测鱼缸的边DA是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA长60 cm，AB长80 cm，点B，D之间的距离是100 cm，边DA垂直于边AB吗?为什么?
解：边DA垂直于边AB.理由：连接BD，如图.因为DA²+AB²=60²+80²=10 000，BD²=10²=10 000，所以DA²+AB²=BD²，所以△ABD是直角三角形，且∠DAB=90°，所以边DA垂直于边AB.
2. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？
解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m，根据勾股定理得h2＝152-92＝144.所以h=12＞11.7.所以15 m长的云梯能达到墙的顶端.
3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设滑道AC=x m，则AB=x m，AE=(x-1)m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理，得AE2+CE2=AC2，即(x-1)2+32=x2，解得x=5.故滑道AC的长度为5 m.
4. 为了推广城市绿色出行，某市交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点.该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=3km，CA=2km,DB=1.6km，试问该单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等.
解：设AE为x m，因为CE=DE，所以由勾股定理可得CA2+AE2=BD2+EB2.即22+x2=1.62+(3-x) 2，解得x=1.26.所以该单车停放点E应建在距离A点1.26 km处，才能使它到两广场的距离相等.