北师大版数学七年级下册精品期末试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学七年级下册精品期末试卷（含详细解析），共46页。
A．B．
C．D．
2．如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B＝∠4C．∠D＝∠5D．∠2＝∠E
3．下列能直接运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2）（2﹣a）B．（a﹣2）（b+2）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）
4．如图，已知AB＝CD且AB∥CD，点E，F为线段AC上的两点，添加以下条件，不能判定△ABE≌△CDF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠AEB＝∠CFDC．BE∥DFD．AF＝CE
5．如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
6．已知xa＝3，xb＝2，则x2a﹣3b的值为（ ）
A．32B．98C．23D．89
7．在△ABC和△A'B'C'中，①AB＝A'B'，②BC＝B'C'，③AC＝A'C'，④∠A＝∠A'，⑤∠B＝∠B'，⑥∠C＝∠C'，则下列条件组不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②④⑤D．①③⑤
8．已知长方形的周长为16cm，其中一边长为x cm，面积为y cm2，则这个长方形的面积y与边长x之间的关系可表示为（ ）
A．y＝x2B．y＝（8﹣x）2C．y＝x（8﹣x）D．y＝2（8﹣x）
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为（ ）
A．20°B．25°C．22.5°D．30°
二．填空题（共6小题）
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，若AD＝BD，DE＝DC，FC＝30，AF＝20．则△ABE的面积是 ．
11．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点M是边AB上的一个动点，连接CM，则线段CM长度的最小值是 ．
12．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是38，则袋子中至少有 个绿球．
13．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b于点C．若∠1＝41°，则∠2＝ 度．
14．计算：1032＝ ．
15．如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 cm．
三．解答题（共17小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）若F是DE上的一点，且AF＝AD，判断BD与EF的数量关系，并说明理由．
17．全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
18．如图，MN为一面墙，梯子AB斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度AN小航设计的方案如图：
①测量∠ABN的角度；
②使梯子缓慢下滑，使得∠ ＝∠ABN，标记此时梯子的底端点D；
③此时 的长度即为梯子顶部A距离地面的高度AN．
（1）补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性；
（2）测得BN＝1.2m，DN＝2.5m，求梯子下滑的高度AC．
19．某天小刚骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，按时赶到学校，如图是小刚从家到学校这段所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）小刚从家到学校的路程是 米，从家出发到学校，小刚共用了 分；
（2）小刚修车用了多长时间；
（3）小刚修车前的平均速度是多少？
20．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化部分的面积．
21．如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠3＝30°，∠B＝25°，求∠BDE的度数．
22．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为（m+a）（n+b）＝ ；
（2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝ ；
②已知a+b+c＝15，a2+b2+c2＝77，利用①中所得到的等式，求代数式ab+bc+ac的值．
（3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当a+b＝5.9，ab＝4.5时，代数式a3+b3的值．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BE＝7.5cm，DF＝2.4cm，求CF的长．
24．化简求值：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x+5，其中x=−13，y=3．
25．计算：
（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
（2）(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)．
26．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，求∠ACB的度数．
27．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（x+y）]÷x，其中x＝1，y＝2．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，且AE＝AF，连接EF并延长交BC于点G，点D为BC上一点，连接AD，当∠2＝∠3时，判断EG与BC的位置关系，并说明理由．
下面是小金同学的思考过程，请你补全下面的解答过程或理由．
解：EG⊥BC，理由如下：
因为AE＝AF，（已知）
所以∠3＝∠ .（等腰三角形的两个底角相等）
因为∠2＝∠3，（已知），
所以AD∥EG，（ ）．
所以∠1＝∠E，（ ）．
所以∠1＝∠2．（ ）．
又因为AB＝AC，（已知），
所以AD BC，（等腰三角形“三线合一”），
所以∠ADC＝90°，（ ）．
因为AD∥EG，（已证），
所以 ＝ ＝90°，
所以EG⊥BC．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一动点（点D不与B，C重合），过B作BE⊥AD于点E，交AC的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACD≌△BCF；
（2）试探究∠CEF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）若D为BC边的中点，CF＝3，求△ACE的面积．
30．如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题：
（1）转出的数字是1是 ，转出的数字是9是 ；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空）
（2）转动转盘，转出的数字是奇数的概率是 ．
（3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是 ．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，作CF∥AB交DE延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠ABC＝∠ACB，CE＝3，CF＝4，求DB的长．
32．在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AB＝2，ED＝5，BD＝6，AC平分∠BAE，EC平分∠AED．
（1）如图1，若∠ACE＝90°，则线段AE的长度为 ；
（2）如图2，若∠ACE＝120°，则线段AE的长度是多少？写出结论并证明；
（3）若∠ACE＝135°，其他条件不变，则线段AE的长度为 ．
北师大版数学七年级下册精品期末试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
一．选择题（共9小题）
1．下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠B＝∠4C．∠D＝∠5D．∠2＝∠E
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠B＝∠4，能判定AB∥CD，故B不符合题意；
C、∠D＝∠5，不能判断AD∥BE，故C不符合题意；
D、∠2＝∠E，能判定AD∥BE，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
3．下列能直接运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2）（2﹣a）B．（a﹣2）（b+2）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：（a﹣2）（2﹣a）＝﹣（a﹣2）2＝﹣a2+4a﹣4，则A不符合题意；
（a﹣2）（b+2）＝ab+2a﹣2b﹣4，则B不符合题意；
（2a﹣b）（a+2b）＝2a2+3ab﹣2b2，则C不符合题意；
（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．如图，已知AB＝CD且AB∥CD，点E，F为线段AC上的两点，添加以下条件，不能判定△ABE≌△CDF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠AEB＝∠CFDC．BE∥DFD．AF＝CE
【考点】全等三角形的判定；平行线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
A、∵AB＝CD，∠A＝∠C，BE＝DF，
∴△ABE和△CDF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵AB＝CD，∠A＝∠C，∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故B不符合题意；
C、∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠AEB＝180°，∠DFE+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵AB＝CD，∠A＝∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故C不符合题意；
D、∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
∵AB＝CD，∠A＝∠C，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠3的度数，结合∠2+∠3＝60°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：在图中标上∠3，如图所示，
∵直尺的对边平行，
∴∠3＝∠1＝20°．
又∵∠2+∠3＝90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6．已知xa＝3，xb＝2，则x2a﹣3b的值为（ ）
A．32B．98C．23D．89
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】B
【分析】将x2a﹣3b变形为（xa）2÷（xb）3，然后代入计算即可．
【解答】解：∵xa＝3，xb＝2，
∴x2a﹣3b
＝x2a÷x3b
＝（xa）2÷（xb）3
＝32÷23
=98，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．在△ABC和△A'B'C'中，①AB＝A'B'，②BC＝B'C'，③AC＝A'C'，④∠A＝∠A'，⑤∠B＝∠B'，⑥∠C＝∠C'，则下列条件组不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②④⑤D．①③⑤
【考点】全等三角形的判定．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、AB＝A'B'，BC＝B'C'，AC＝A'C'，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项错误；
B、AB＝A'B'，∠B＝∠'B'，BC＝B'C'，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项错误；
C、∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项错误；
D、AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△A'B'C'，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．已知长方形的周长为16cm，其中一边长为x cm，面积为y cm2，则这个长方形的面积y与边长x之间的关系可表示为（ ）
A．y＝x2B．y＝（8﹣x）2C．y＝x（8﹣x）D．y＝2（8﹣x）
【考点】函数关系式．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】直接利用长方形面积求法得出答案．
【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为x cm，
∴另一边长为：（8﹣x）cm，
故y＝（8﹣x）x．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形的另一边长是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为（ ）
A．20°B．25°C．22.5°D．30°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝DB，再根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA＝2：1，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝∠A+∠A+2∠A＝90°，
解得∠A＝22.5°．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，若AD＝BD，DE＝DC，FC＝30，AF＝20．则△ABE的面积是 500 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】500．
【分析】由AD⊥BC于D，得∠BDE＝∠ADC＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，则∠DBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，即可证明AF⊥BE，因为FC＝30，AF＝20，所以BE＝AC＝FC+AF＝50，即可求得△ABE的面积是5．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE和△ADC中，
BD=AD∠BDE=∠ADCDE=DC，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AF⊥BE，
∵FC＝30，AF＝20，
∴BE＝AC＝FC+AF＝30+20＝50，
∴S△ABE=12BE•AF=12×50×20＝500，
∴△ABE的面积是500，
故答案为：500．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的面积公式等知识，证明△BDE≌△ADC是解题的关键．
11．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点M是边AB上的一个动点，连接CM，则线段CM长度的最小值是 125 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】125．
【分析】根据垂线最短和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：当CM⊥AB时，CM最短，
∵，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴4×3＝5CM，
∴CM=4×35=125．
故答案为：125．
【点评】本题考查的是垂线段最短和三角形的面积，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．
12．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是38，则袋子中至少有 3 个绿球．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】3．
【分析】直接由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是38，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
13．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b于点C．若∠1＝41°，则∠2＝ 49 度．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】49．
【分析】由平行线的性质可得∠B＝∠1，又由垂直的定义可得∠B+∠2＝90°，可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABC＝∠1＝41°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣41°＝49°，
故答案为：49．
【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
14．计算：1032＝ 10609 ．
【考点】有理数的乘方．
【答案】10609．
【分析】根据完全平方公式计算．
【解答】解：1032＝（100+3）2
＝1002+2×100×3+32
＝10000+600+9
＝10609．
故答案为：10609．
【点评】本题考查有理数乘方中同底数幂的运算：
乘法法则底数不变，指数相加；
幂运算底数不变，指数相乘．
15．如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 15 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】15．
【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【解答】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，
∴AB=AA′2+A′B2=122+92=15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键．
三．解答题（共17小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）若F是DE上的一点，且AF＝AD，判断BD与EF的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD=12∠ABC=35°，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）先证明AB＝AE，再得出∠ADF＝∠AFD，∠ADB＝∠AFE，根据AAS证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=35°，
∵AE∥BC
∴∠E＝∠CBD＝35°；
（2）结论：BD＝EF．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∴AB＝AE，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD和△AEF中，
∠ADB=∠AFE∠ABD=∠AEFAB=AE，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．
17．全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
【考点】游戏公平性．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别计算出转出的数是3的概率和是2的概率即可得到游戏是否公平．
【解答】解：不公平，
小丽获胜的概率为26=13、小芳获胜的概率为16，
∵13≠16，
∴此游戏不公平；
修改规则为：若指针转到偶数，则小丽胜；若指正转到奇数，则小芳胜．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，MN为一面墙，梯子AB斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度AN小航设计的方案如图：
①测量∠ABN的角度；
②使梯子缓慢下滑，使得∠ NCD ＝∠ABN，标记此时梯子的底端点D；
③此时 DN 的长度即为梯子顶部A距离地面的高度AN．
（1）补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性；
（2）测得BN＝1.2m，DN＝2.5m，求梯子下滑的高度AC．
【考点】勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）NCD，DN，说明见解析；
（2）1.3m．
【分析】（1）根据AAS证明△ANB≌△DNC，再根据全等三角形的性质得出答案；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得答案．
【解答】解：（1）①测量∠ABN的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠DCN＝∠ABN，标记此时梯子的底端点D；③此时ND的长度即为梯子顶部A距离地面的高度AN．
故答案为：DCN，ND．
由题意可知，AB＝CD，∠ANB＝∠CND＝90°，
在△ANB和△DNC中，
∠ANB=∠DNC∠ABN=∠DCNAB=CD，
所以△ANB≌△DNC（AAS），
所以AN＝DN．
（2）由△ANB≌△DNC，
∴CN＝BN，AN＝DN．
因为BN＝1.2m，DN＝2.5m，
所以AC＝AN﹣CN＝DN﹣BN＝2.5﹣1.2＝1.3（m）．
所以梯子下滑的高度AC为1.3m．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．某天小刚骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，按时赶到学校，如图是小刚从家到学校这段所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）小刚从家到学校的路程是 2000 米，从家出发到学校，小刚共用了 20 分；
（2）小刚修车用了多长时间；
（3）小刚修车前的平均速度是多少？
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）2000；20；
（2）5分钟；
（3）100米/分钟．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以得到小刚修车用了多长时间；
（3）根据函数图象中的数据可以求得小刚修车前的平均速度．
【解答】解：（1）由图象可得，
小刚从家到学校的路程共2000米，从家出发到学校，小刚共用了20分钟．
故答案为：2000；20；
（2）小刚修车用了：15﹣10＝5（分钟），
答：小刚修车用了5分钟；
（3）1000÷10＝100（米/分钟）．
答：小刚修车前的平均速度是100米/分钟．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化部分的面积．
【考点】整式的混合运算；代数式求值．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化美面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝45+18＝63．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠3＝30°，∠B＝25°，求∠BDE的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2可得出∠1＝∠3，进而可得出结论；
（2）根据∠3＝30°可得出∠ACB的度数，再由平行线的性质得出∠BED的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DE∥AC；
（2）解：∵CD平分∠ACB，∠3＝30°，
∴∠ACB＝2∠3＝60°．
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠ACB＝60°．
∵∠B＝25°，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣25°＝95°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中．
22．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为（m+a）（n+b）＝ mn+mb+na+ab ；
（2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2（ab+bc+ac） ；
②已知a+b+c＝15，a2+b2+c2＝77，利用①中所得到的等式，求代数式ab+bc+ac的值．
（3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当a+b＝5.9，ab＝4.5时，代数式a3+b3的值．
【考点】因式分解的应用；认识立体图形；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】因式分解；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）mn+mb+na+ab；
（2）①a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）；
②ab+bc+ac＝74；
（3）125.729．
【分析】（1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
（2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
（3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解．
【解答】解：（1）大长方形的长为（m+a），宽为 （n+b），面积为（m+a）（n+b），也可表示为四个长方形的面积mn，mb，na，ab的和，
∴（m+a）（n+b）＝mn+mb+na+ab，
故答案为：mn+mb+na+ab；
（2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，
用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），
故答案为：a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）；
②∵a+b+c＝15，a2+b2+c2＝77，
∴152＝77+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac＝74；
（3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成 的一个棱长为a+b的大正方体，
整体上大正方形的体积为 （a+b）3．
组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为 a3+3a2b+3ab2+b3，
∴得到的等式为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
∵a+b＝5.9，ab＝4.5，
∴a3+b3
＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝（a+b）3﹣3ab（a+b）
＝205.379﹣79.65
＝125.729．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，立方和公式，完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BE＝7.5cm，DF＝2.4cm，求CF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）5.1cm．
【分析】（1）利用线段中点的定义得到AD＝AE，再证明△ABE≌△ACD得到BE＝CD；
（2）由（1）的结论得到CD＝BE＝7.5cm，然后计算CD﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，
AE=AD∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：∵CD＝BE＝7.5cm，
∴CF＝CD﹣DF＝7.5﹣2.4＝5.1（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．化简求值：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x+5，其中x=−13，y=3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2xy+4，2．
【分析】先算去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy﹣（x2+2x+1）+2x+5
＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x+5
＝2xy+4，
把x=−13，y=3代入，得
原式＝2xy﹣1＝2×（−13）×3+4＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力，题目比较好，难度适中．
25．计算：
（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
（2）(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）4x+5；（2）﹣6x+2y﹣1．
【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式、去括号，再合并同类项；
（2）利用多项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5；
（2）(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)
＝3x2y÷（−12xy）﹣xy2÷（−12xy）+12xy÷（−12xy）
＝﹣6x+2y﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解决本题的关键．
26．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，求∠ACB的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】∠ACB的度数为75°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠ADC＝∠EBC＝80°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝75°，
∴∠ACB的度数为75°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
27．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（x+y）]÷x，其中x＝1，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4x﹣5y，原式＝﹣6．
【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：[（2x﹣y）2﹣y（x+y）]÷x
＝（4x2﹣4xy+y2﹣xy﹣y2）÷x
＝（4x2﹣5xy）÷x
＝4x﹣5y，
当x＝1，y＝2时，原式＝4×1﹣5×2＝4﹣10＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，且AE＝AF，连接EF并延长交BC于点G，点D为BC上一点，连接AD，当∠2＝∠3时，判断EG与BC的位置关系，并说明理由．
下面是小金同学的思考过程，请你补全下面的解答过程或理由．
解：EG⊥BC，理由如下：
因为AE＝AF，（已知）
所以∠3＝∠ E .（等腰三角形的两个底角相等）
因为∠2＝∠3，（已知），
所以AD∥EG，（ 内错角相等，两直线平行 ）．
所以∠1＝∠E，（ 两直线平行，同位角相等 ）．
所以∠1＝∠2．（ 等量代换 ）．
又因为AB＝AC，（已知），
所以AD ⊥ BC，（等腰三角形“三线合一”），
所以∠ADC＝90°，（ 垂直的定义 ）．
因为AD∥EG，（已证），
所以 ∠ADC ＝ ∠EGC ＝90°，
所以EG⊥BC．
【考点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】E；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；⊥；垂直的定义；∠ADC，∠EGC．
【分析】先判断EG与BC的位置关系，然后根据题意和图形，写出解答过程中的结论或者依据即可．
【解答】解：EG⊥BC，理由如下：
因为AE＝AF，（已知）
所以∠3＝∠E，（等腰三角形的两个底角相等）
因为∠2＝∠3，（已知），
所以AD∥EG，（内错角相等，两直线平行）．
所以∠1＝∠E，（两直线平行，同位角相等）．
所以∠1＝∠2．（等量代换）．
又因为AB＝AC，（已知），
所以AD⊥BC，（等腰三角形“三线合一”），
所以∠ADC＝90°，（垂直的定义）．
因为AD∥EG，（已证），
所以∠ADC＝∠EGC＝90°，
所以EG⊥BC．
故答案为：E；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；⊥；垂直的定义；∠ADC，∠EGC．
【点评】本题考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一动点（点D不与B，C重合），过B作BE⊥AD于点E，交AC的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACD≌△BCF；
（2）试探究∠CEF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）若D为BC边的中点，CF＝3，求△ACE的面积．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）∠CEF＝45°，证明见解析；
（3）545．
【分析】（1）根据ASA证明△ACD≌△BCF；
（2）过点C作CG⊥CE交AE于点G，证明△BCE≌△ACG（ASA），得出△CEG是等腰直角三角形，从而得出∠CEF＝∠BCE+∠CBE＝∠ACG+∠CAG＝∠CGE＝45°；
（3）CH＝EH=AC×CDAD=6×335=655，AE＝EH+AH=1855，△ACE的面积=12×AE×CH=12×1855×655=545．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠ACB＝∠BCF＝∠BED＝90°，
∴∠CAD＝∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
∠CAD=∠CBFAC=BC∠ACD=∠BCF，
∴△ACD≌△BCF（ASA）；
（2）方法一：过点C作CG⊥CE交AE于点G，
∴∠ECG＝∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠ACG，
∵△ACD≌△BCF，
∴∠CBE＝∠CAG，
∵BC＝AC，
∴△BCE≌△ACG（ASA），
∴CE＝CG，
∴∠CGE＝45°，
∴∠CEF＝∠BCE+∠CBE＝∠ACG+∠CAG＝∠CGE＝45°；
方法二：过点C作CH⊥AE于点H，过点C作CG⊥BF于点G，
由（1）得：△BCE≌△ACG，
∴CG＝CH，
∴CE是∠AEF的角平分线，
∴∠CEF＝45°；
（3）方法一：过点C作CH⊥AE于点H，过点C作CG⊥BF于点G，
∴∠BED＝∠CHD＝∠CGF＝90°，
∵△ACD≌△BCF，
∴CF＝CD＝3，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD＝CF，BC＝AC＝6，
∵∠BDE＝∠CDH，
∴△BDE≌△CDH（AAS），
∴DE＝DH，
∵∠F＝∠BDE，CF＝BD，∠BED＝∠CGF，
∴△BDE≌△CFG（AAS），
∴S△CDE＝S△CDH＝S△BDE=15S△BCF，
∵S△BCF=12×3×6=9，
∴S△CDE=95，
∴△ACE的面积＝9+95=545；
方法二：设S△BED＝S△CDE＝x，则S△CEF＝9﹣2x，
∵S△CEFS△ACE=FCCA=36=12，
∴9−2x9+x=12，
∴x=95，
∴△ACE的面积＝9+95=545．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
30．如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题：
（1）转出的数字是1是 随机事件 ，转出的数字是9是 不可能事件 ；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空）
（2）转动转盘，转出的数字是奇数的概率是 12 ．
（3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是 38 ．
【考点】概率公式；随机事件．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）随机事件；不可能事件；
（2）12；
（3）38．
【分析】（1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得；
（2）转盘共有8种可能结果，奇数的结果有4种，由概率公式解答即可；
（3）先求出第三条线段取值范围，再判断即可．
【解答】解：（1）转出的数字是1是随机事件，转出的数字是9是不可能事件；
故答案为：随机事件；不可能事件；
（2）∵转盘转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，奇数的结果有4种，
∴转出的数字是奇数的概率是48=12，
故答案为：12；
（3）①5﹣2＝3，5+2＝7，
∴第三条线段可以是4，5，6，
转动转盘停止后，指针指向的数字有8种情况，其中能构成三角形的有3种，
所以这三条线段能构成三角形的概率是38，
故答案为：38．
【点评】本题主要考查了概率公式，随机事件，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn且0≤P（A）≤1．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，作CF∥AB交DE延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠ABC＝∠ACB，CE＝3，CF＝4，求DB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可；
（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝CE．
又∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
∠ADF=∠F∠A=∠ACFAE=CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝4，
∴CF＝AD＝4，
又∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵E是边AC的中点，CE＝3，
∴AC＝2CE＝6．
∴AB＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝6﹣4＝2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AB＝2，ED＝5，BD＝6，AC平分∠BAE，EC平分∠AED．
（1）如图1，若∠ACE＝90°，则线段AE的长度为 7 ；
（2）如图2，若∠ACE＝120°，则线段AE的长度是多少？写出结论并证明；
（3）若∠ACE＝135°，其他条件不变，则线段AE的长度为 8+32 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）7；
（2）10；
（3）7+32．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，连接CF，即可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG．可以求得CF＝CG，△CFG是等边三角形，就有FG＝CF＝3，进而得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG．可以求得CF＝CG，△CFG是等腰直角三角形，就有FG=2CG=32，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，在AE上取一点F，使AF＝AB＝2，连接CF，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，
∵C是BD边的中点，
∴BC＝CD，
∴CF＝CD，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD，
在△CEF和△CED中，
CF=CD∠FCE=∠DCECE=CE，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF＝ED＝5，
∵AE＝AF+EF，
∴AE＝2+5＝7，
故答案为：7；
（2）AE＝11，理由如下：
如图2，在AE上取点F，点G，使AF＝AB＝2，EG＝DE＝5，连接CF，CG，
同理得：△ACB≌△ACF（SAS），△DCE≌△GCE（SAS），
∴BC＝FC＝3＝DC＝CG，∠ACB＝∠ACF，∠DCE＝∠GCE，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACF+∠ECG＝60°，
∴∠FCG＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG＝CF＝3，
∴AE＝2+3+5＝10；
（3）如图3，在AE上取点F，点G，使AF＝AB＝2，EG＝DE＝5，连接CF，CG，
同理得：△ACB≌△ACF（SAS），△DCE≌△GCE（SAS），
∴BC＝FC＝3＝DC＝CG，∠ACB＝∠ACF，∠DCE＝∠GCE，
∵∠ACE＝135°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ACF+∠ECG＝45°，
∴∠FCG＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴FG=2CG=32，
∴AE＝2+32+5＝7+32．
故答案为：7+32．
【点评】本题考查了角平分线的定义的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用和等腰直角三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
考点卡片
1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
10．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
11．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
12．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
13．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
14．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
15．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
16．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
17．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
20．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
26．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
27．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
30．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
31．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
32．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
D
A
C
B
D
C
C