北师大版数学七年级下册精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学七年级下册精品期末模拟试卷（含详细解析），共52页。试卷主要包含了计算a2•a5的结果是，若完全平方式，如图，下列推理错误的是，如图象中所反映的过程是，计算等内容，欢迎下载使用。
1．小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．计算a2•a5的结果是（ ）
A．a10B．a7C．a3D．a8
3．若完全平方式（2x+b）2＝4x2+20x+a，则a+b＝（ ）
A．30B．﹣25C．25D．10
4．如图，下列推理错误的是（ ）
A．若∠B＝∠3，则AB∥CDB．若∠B＝∠D，则AB∥CD
C．若∠3＝∠D，则BE∥DFD．若∠1＝∠D，则BE∥DF
5．下列实际情境中的变量关系可以用如图近似地刻画的是（ ）
A．匀速骑行的自行车（速度与时间的关系）
B．篮球运动员投出去的篮球（高度与时间的关系）
C．燃烧的蜡烛（蜡烛长度与时间的关系）
D．早晨升旗仪式（国旗高度与时间的关系）
6．如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
7．如图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家3.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1.5千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
8．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27B．23C．22D．18
二．填空题（共4小题）
9．计算：(−2)2024×(12)2023= ．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若S△ABC＝12，AC＝3，则点D到AC的距离为 ．
11．小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）（x＞3）之间的关系式为 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝42°，点D，E分别是BA，BC边上的点，将△BDE沿DE所在直线对折，得到△FDE．若∠ADF＝134°，则∠CEF的度数为 ．
三．解答题（共28小题）
13．如图，长60cm，宽x（cm）的大长方形被分割成9小块，除阴影A、B外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其中较短一边长为y（cm）．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长为 cm（用含y的代数式表示）；
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影A、B的面积．
（3）若阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，请求出y的取值，并说明理由．
14．如图，在△ABD 中，AC是BD边上的高，点E在AC上，AC＝BC，CE＝CD，连接BE并延长交AD于点F．
（1）求证：BE＝AD；
（2）BF与AD有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若BF恰好平分∠ABD，AF＝2，求BE的长．
15．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
16．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
17．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？
18．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了300米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠DCE＝∠CDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝11，AC＝3，求CD的长．
20．暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）：
（1）甲顾客购物300元，他获得奖券的概率是 ；
（2）乙顾客购物600元，并参与该活动，他获得20元和80元奖券的概率分别是多少？
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为12，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
21．先化简，再求值：5x2y﹣[6xy﹣2（xy﹣2x2y）﹣xy2]+4xy，其中x，y满足|x+12|+（y﹣1）2＝0．
22．计算：
（1）(π−3.14)0−(12)−2×(−1)2024+(−2)3；
（2）[（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）﹣6b2]÷3b．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
24．在某次大型活动中，张老师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题：
（1）无人机在50米高的上空停留的时间是多少分钟？
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度为多少米/分钟？
（3）图中a，b表示的数分别是多少？
（4）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
25．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）在图中方格纸中画一个格点四边形A′B′C′D′使得它和四边形ABCD关于直线EF对称；
（2）求图中四边形ABCD的面积．
27．某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小颖购此新商品花了85元
（1）她获得奖品的概率是多少？
（2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？
28．先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣3xy]÷3y，其中x=−13，y=−1．
29．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，E是边BC的中点，作BF∥AC交DE的延长线于点F．
（1）证明：△CDE≌△BFE；
（2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长．
30．一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是35．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
31．为了节约用水，某市自来水公司采用分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
（1）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（2）当x＞5时，写出因变量y与自变量x之间的关系式；
（3）若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
32．如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接FD，并延长FD至点E，使得ED＝DF，连接CE．
（1）求证：△CDE≌△ADF；
（2）若EF∥BC，∠A＝60°，∠E＝50°，求∠BCD的度数．
33．如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．
（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；
（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB．
34．先化简，再求值：[（4a﹣3b）（a+3b）﹣（a﹣2b）（a+2b）+5b2]÷3a，其中a＝4，b=−23．
35．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F．
（1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长；
（2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数．
36．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a＝3，b＝2，求这两条小路的总面积．
37．如图，在△ABC与△DEF中，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC＝DF，∠A＝∠D．
（1）试说明△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝7，CE＝3，求线段BE的长度．
38．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
39．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
40．计算
（1）（﹣2）2﹣20240+（﹣1）﹣2；
（2）（27a3﹣15a2+6a）÷3a；
（3）1232﹣124×122；
（4）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣2）．
北师大版数学七年级下册精品期末模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题）
1．小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项中小篆字是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．计算a2•a5的结果是（ ）
A．a10B．a7C．a3D．a8
【考点】同底数幂的乘法．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：a2•a5＝a2+5＝a7，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
3．若完全平方式（2x+b）2＝4x2+20x+a，则a+b＝（ ）
A．30B．﹣25C．25D．10
【考点】完全平方式；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：∵（2x+b）2＝4x2+4bx+b2，
又（2x+b）2＝4x2+20x+a，
∴4b＝20，a＝b2，
∴a＝25，b＝5
∴a+b＝30．
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．如图，下列推理错误的是（ ）
A．若∠B＝∠3，则AB∥CDB．若∠B＝∠D，则AB∥CD
C．若∠3＝∠D，则BE∥DFD．若∠1＝∠D，则BE∥DF
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的判定，即可判断．
【解答】解：A、∠B＝∠3，由内错角相等，两直线平行，判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠B＝∠D，∠B和∠D不是同位角也不是内错角，不能判定AB∥CD，故B符合题意；
C、∠3＝∠D，由内错角相等，两直线平行，判定BE∥DF，故C不符合题意；
D、∠1＝∠D，由同位角相等，两直线平行，判定则BE∥DF，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
5．下列实际情境中的变量关系可以用如图近似地刻画的是（ ）
A．匀速骑行的自行车（速度与时间的关系）
B．篮球运动员投出去的篮球（高度与时间的关系）
C．燃烧的蜡烛（蜡烛长度与时间的关系）
D．早晨升旗仪式（国旗高度与时间的关系）
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】该图象是函数值随着自变量的增大而减小，针对各选项的含义分析即可．
【解答】解：该图象是函数值随着自变量的增大而减小．
A、匀速骑行的自行车：速度随着时间的增长而不变，故本选项不符合题意；
B、篮球运动员投出去的篮球，高度随着时间的增长先增加后减小，故本选项不符合题意；
C、燃烧的蜡烛，蜡烛长度随着时间的增长而减小，故本选项符合题意；
D、早晨升旗仪式，高度随着时间的高度先随着时间增长而增大，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数图象的增减性即可解题，需要具备读图能力．
6．如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【考点】完全平方式．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+4＝x2+mx+22，
∴mx＝±2×2•x，
解得m＝±4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7．如图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家3.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1.5千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
【考点】函数的图象．
【答案】D
【分析】根据函数图象的横坐标，可得时间，根据函数图象的纵坐标，可得距离．
【解答】解：A、由纵坐标看出，体育场离张强家3.5千米，故A正确；
B、由横坐标看出，30﹣15＝15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故B正确；
C、由纵坐标看出，3.5﹣2.0＝1.5千米，体育场离早餐店1.5千米，故C正确；
D、由纵坐标看出早餐店离家2千米，由横坐标看出从早餐店回家用了95﹣65＝30分钟＝0.5小时，2÷12=4千米/小时，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
8．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27B．23C．22D．18
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用．
【答案】C
【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到55+23+x=110，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得55+23+x=110，解得x＝22，
经检验x＝22为原方程的解，
即袋中黑球的个数为22个．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
二．填空题（共4小题）
9．计算：(−2)2024×(12)2023= 2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据积的乘方得出原式＝[（﹣2）×12]2023×（﹣2），再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．
【解答】解：(−2)2024×(12)2023
＝[（﹣2）×12]2023×（﹣2）
＝（﹣1）2023×（﹣2）
＝﹣1×（﹣2）
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确根据积的乘方进行变形是解此题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若S△ABC＝12，AC＝3，则点D到AC的距离为 4 ．
【考点】三角形的面积；点到直线的距离．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】设点D到AC的距离为h，根据AD是BC边上的中线，S△ABC＝12可知S△ACD=12S△ABC＝6，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设点D到AC的距离为h，
∵AD是BC边上的中线，S△ABC＝12，
∴S△ACD=12S△ABC＝6，
∵AC＝3，
∴12h×3＝6，解得h＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的面积及点到直线的距离，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
11．小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）（x＞3）之间的关系式为 y＝1.8x+2.6 ．
【考点】函数关系式．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中等量关系求函数关系式．
【解答】解：当x＞3时，由题意得：y＝8+（x﹣3）×1.8
＝1.8x+2.6．
故答案为：y＝1.8x+2.6．
【点评】本题考查求函数关系式，理解题意，找到x，y的等量关系是求解本题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B＝42°，点D，E分别是BA，BC边上的点，将△BDE沿DE所在直线对折，得到△FDE．若∠ADF＝134°，则∠CEF的度数为 50° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】50°．
【分析】由折叠可知，∠BDE=∠FDE=12∠BDF，∠BED＝∠FED，根据题意求得∠BDF＝46°，可知∠BDE＝23°，进而可得∠BED＝∠FED＝115°，∠CED＝180°﹣∠BED＝65°，再根据∠CEF＝∠FED﹣∠CED即可求解．
【解答】解：由折叠可知，∠BDE=∠FDE=12∠BDF，∠BED＝∠FED，
∵∠ADF＝134°，则∠BDF＝46°，
∴∠BDE＝23°，
∴∠BED＝∠FED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝115°，
则∠CED＝180°﹣∠BED＝65°，
∴∠CEF＝∠FED﹣∠CED＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，理解题意是解题关键．
三．解答题（共28小题）
13．如图，长60cm，宽x（cm）的大长方形被分割成9小块，除阴影A、B外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其中较短一边长为y（cm）．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长为 （60﹣4y） cm（用含y的代数式表示）；
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影A、B的面积．
（3）若阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，请求出y的取值，并说明理由．
【考点】列代数式；整式的混合运算．
【专题】整式．
【答案】（1）（60﹣4y）；
（2）SA＝（60﹣4y）（x﹣3y）（cm2）；SB＝4xy﹣4y（60﹣4y）（cm2）；
（3）y=152，理由见解析过程．
【分析】（1）根据大长方形的长是60cm和小长方形的宽是y（cm）即可求解；
（2）先分别求出A、B的长和宽，即可求出面积；
（3）根据阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，由SA﹣SB化简即可求解．
【解答】解：（1）∵大长方形的长是60cm，小长方形的宽是y（cm），
∴每个小长方形较长一边长为（60﹣4y）cm，
故答案为：（60﹣4y）；
（2）根据题意可得，阴影A的长为（60﹣4y）cm，宽是（x﹣3y）cm，
∴SA＝（60﹣4y）（x﹣3y）（cm2）；
∵阴影B的长为4y（cm），宽是x﹣（60﹣4y）（cm），
∴SB＝（4y）[x﹣（60﹣4y）]＝4xy﹣4y（60﹣4y）（cm2）；
（3）∵SA−SB=x(60−8y)+60y−4y2，
∴60﹣8y＝0时，
解得y=152．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是根据题意列出算式．
14．如图，在△ABD 中，AC是BD边上的高，点E在AC上，AC＝BC，CE＝CD，连接BE并延长交AD于点F．
（1）求证：BE＝AD；
（2）BF与AD有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若BF恰好平分∠ABD，AF＝2，求BE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据邻补角的性质得∠ACD＝∠ACB，利用SAS证明△ACD≌△BCE，再根据全等三角形的性质得结论；
（2）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再根据对顶角的性质，三角形内角和定理，得∠AFE＝∠BCE＝90°，根据垂直的定义即可得解：
（3）利用ASA证明△ABF≌△DBF，根据全等三角形的性质得出AF＝DF＝2，则AD＝4，根据BE＝AD求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°．
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠ACBCD=CE，
∴△ACD≌△BCE （SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：BF⊥AD，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠BCE＝90°，
∴BF⊥AD；
（3）解：∵BF恰好平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF，
在△ABF和△DBF中，
∠ABF=∠DBFBF=BF∠AFB=∠DFB=90°，
∴△ABF≌△DBF（ASA），
∴AF＝DF＝2，
∴AD＝4，
∵AD＝BE，
∴BE＝4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，关键是综合运用这些性质解答问题．
15．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，
∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝90°﹣75°＝15°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a＝ 0.59 ，b＝ 116 ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 0.6 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．
【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）△BPE≌△CQP，理由见解析；（2）245cm/s．
【分析】（1）由“SAS”可证△BPE≌△CQP；
（2）由全等三角形的性质可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解．
【解答】解：（1）△BPE≌△CQP，理由如下：
经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ．
∵BC＝10㎝，
∴PC＝6cm．
PC＝6cm，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
BP=CQ∠B=∠C=90°BE=PC，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）设经过t秒后，
△BPE≌△CPQ，
当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△BPE≌△CPQ，
∴4t＝10﹣4t，
解得t=54，
又CQ＝BE＝6cm，
∴vQ=654=245(cm/s)．
当△PBE≌△QCP时，BP＝QC，此时，点P和点Q的运动速度相同，不存在这种全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
18．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 1500 米；
（2）小明在书店停留了 4 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 2700 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了300米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】（1）1500；
（2）4；
（3）2700；
（4）12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；
（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）
＝1200+600+900＝2700米；
故答案为：2700；
（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度=12006=200米/分，
6～8分钟时，平均速度=1200−6008−6300米/分，
12～14分钟时，平均速度=1500−60014−12=450米/分，
∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠DCE＝∠CDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝11，AC＝3，求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）5．
【分析】（1）由∠DCE＝∠CDF，根据“等角的补角相等”推导出∠ACE＝∠BDF，而∠A＝∠B，AE＝BF，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ACE≌△BDF；
（2）由全等三角形的性质得AC＝BD＝3，而AB＝11，所以CD＝AB﹣AC﹣BD＝5．
【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠DCE＝180°，∠BDF+∠CDF＝180°，且∠DCE＝∠CDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
在△ACE和△BDF中，
∠A=∠B∠ACE=∠BDFAE=BF，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BDF，
∴AC＝BD＝3，
∵AB＝11，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝11﹣3﹣3＝5，
∴CD的长为5．
【点评】此题重点考查等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，由∠DCE＝∠CDF推导出∠ACE＝∠BDF是解题的关键．
20．暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）：
（1）甲顾客购物300元，他获得奖券的概率是 0 ；
（2）乙顾客购物600元，并参与该活动，他获得20元和80元奖券的概率分别是多少？
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为12，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）15，110；
（3）3．
【分析】（1）用消费的钱数和500元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为0；
（2）用概率公式求解即可；
（3）设需要将x个黄色区域改为红色，根据20元奖券的概率为12列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵300＜500，
∴小明购物300元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为0；
故答案为：0．
（2）乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，
由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种，
所以指针指向红色的概率为210=15，
指针指向黑色的概率为110，
所以他获得20元和80元奖券的概率分别为15，110．
（3）设需要将x个黄色区域改为红色，
则由题意得，x+210=12，
解得：x＝3，
所以需要将3个黄色区域改为红色．
【点评】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键．
21．先化简，再求值：5x2y﹣[6xy﹣2（xy﹣2x2y）﹣xy2]+4xy，其中x，y满足|x+12|+（y﹣1）2＝0．
【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝5x2y﹣6xy+2xy﹣4x2y+xy2+4xy＝x2y+xy2，
∵|x+12|+（y﹣1）2＝0，
∴x=−12，y＝1，
则原式=14−12=−14．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．计算：
（1）(π−3.14)0−(12)−2×(−1)2024+(−2)3；
（2）[（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）﹣6b2]÷3b．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣11；
（2）﹣2a+4b．
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再计算乘法，最后算减法即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）(π−3.14)0−(12)−2×(−1)2024+(−2)3
＝1﹣4×1+（﹣8）
＝1﹣4﹣8
＝﹣3﹣8
＝﹣11；
（2）[（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）﹣6b2]÷3b
＝（a2﹣6ab+9b2﹣a2+9b2﹣6b2）÷3b
＝（﹣6ab+12b2）÷3b
＝﹣6ab÷3b+12b2÷3b
＝﹣2a+4b．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
∠ABD=∠EDC∠1=∠2AD=EC，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）由（1）得△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
24．在某次大型活动中，张老师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题：
（1）无人机在50米高的上空停留的时间是多少分钟？
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度为多少米/分钟？
（3）图中a，b表示的数分别是多少？
（4）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）4．
（2）25．
（3）7，15．
（4）25．
【分析】（1）根据图象信息得出无人机在50米高的上空停留的时间6﹣2＝4分钟即可；
（2）根据“速度＝路程÷时间”计算即可；
（3）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
【解答】解：（1）根据图象，无人机在50米高的上空停留的时间是6﹣2＝4（分钟）；
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度502=25（米/分）；
（3）图中a表示的数是6+75−5025=7（分钟）；b表示的数是12+7525=15（分钟）；
（4）在第14分钟时无人机的飞行高度为75﹣（14﹣12）×25＝25（米）．
【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
25．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作BQ平分∠ABC即可；
（2）证明∠AQP＝∠APQ即可．
【解答】（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠BAC＝90°
∴∠AQP+∠ABQ＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CBQ+∠BPD＝90°，
∵∠ABQ＝∠CBQ，
∴∠AQP＝∠BPD，
又∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠AQP＝∠APQ，
∴AP＝AQ．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）在图中方格纸中画一个格点四边形A′B′C′D′使得它和四边形ABCD关于直线EF对称；
（2）求图中四边形ABCD的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）152．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′，顺次连接即可；
（2）分成两个三角形的面积进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12×3×2+12×3×3=152．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，注意格点不规则图形面积的求解方法，可以用“构图法”，也可以用分割法．
27．某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小颖购此新商品花了85元
（1）她获得奖品的概率是多少？
（2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）115，215．
【分析】（1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1；
（2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒的概率．
【解答】解：（1）她获得奖品的概率是为1；
（2）她得到一把雨伞的概率为11+2+12=115；
她得到一个文具盒的概率为21+2+12=215．
【点评】本题考查了概率公式：概率公式＝某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0．
28．先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x﹣3y）2﹣3xy]÷3y，其中x=−13，y=−1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】−253y+x，8．
【分析】先根据平方差公式进行计算，合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣16y2﹣x2+6xy﹣9y2﹣3xy）÷3y
＝（﹣25y2+3xy）÷3y
=−253y+x，
当x=−13，y＝﹣1时，
原式=−253×（﹣1）−13=8．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
29．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，E是边BC的中点，作BF∥AC交DE的延长线于点F．
（1）证明：△CDE≌△BFE；
（2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）8．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C＝∠EBF，利用AAS证明△CDE与△BFE全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出对应边相等解答即可．
【解答】（1）证明：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，
∵E是边BC的中点，
∴CE＝EB，
在△CDE与△BFE中，
∠C=∠EBF∠CDE=∠FCE=EB，
∴△CDE≌△BFE（AAS）；
（2）解：∵△CDE≌△BFE，
∴BF＝CD＝4，
∵E是边BC的中点，
∴CB＝2CE＝12，
∴CA＝CB＝12，
∴AD＝CA﹣CD＝12﹣4＝8．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用AAS证明△CDE与△BFE全等解答．
30．一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是35．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）30个；
（2）35．
【分析】（1）根据概率公式求出球的总个数即可；
（2）根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）设袋中总共有x个球，
∵袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是35，
∴18x=35，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
即袋中总共有30个球；
（2）袋子中红球的个数为：30﹣18＝12（个），
取走10个球，则袋子中球的总个数为30﹣10＝20（个），
∴剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率为1220=35．
【点评】本题主要考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是关键．
31．为了节约用水，某市自来水公司采用分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
（1）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（2）当x＞5时，写出因变量y与自变量x之间的关系式；
（3）若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
【考点】函数的图象；常量与变量；函数关系式．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）5吨以内，每吨收费2元，每吨收费为3.5元；
（2）y与x之间的关系式为y＝3.5x﹣7.5；
（3）该户居民用水10吨．
【分析】（1）仔细观察图象，便可写出函数在不同范围内的收费标准；
（2）仔细观察图象，便可写出函数在不同范围内的函数解析式；
（3）根据已知条件可知：该用户的交水费范围属于x＞5的范围，代入解析式即可得到答案．
【解答】解：（1）5吨以内，每吨收费为105=2（元）；5吨以上，每吨收费为20.5−108−5=3.5（元）；
（2）当x＞5时，y＝10+3.5（x﹣5）＝3.5x﹣7.5，
∴y与x之间的关系式为y＝3.5x﹣7.5；
（3）当y＝17时，3.5x﹣7.5＝17，
解得x＝7，
答：该户居民用水10吨．
【点评】本题考查了函数的图象，函数关系式．关键是由函数图象求函数关系式，运用一次函数关系式解题．
32．如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接FD，并延长FD至点E，使得ED＝DF，连接CE．
（1）求证：△CDE≌△ADF；
（2）若EF∥BC，∠A＝60°，∠E＝50°，求∠BCD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BCD的度数是70°．
【分析】（1）由D为AC中点，得CD＝AD，而∠CDE＝∠ADF，ED＝FD，即可根据“SAS”证明△CDE≌△ADF；
（2）由EF∥BC，∠E＝50°，得∠BCE＝180°﹣∠E＝130°，由全等三角形的性质得∠DCE＝∠A＝60°，则∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝70°．
【解答】（1）证明：∵D为AC中点，
∴CD＝AD，
在△CDE和△ADF中，
CD=AD∠CDE=∠ADFED=FD，
∴△CDE≌△ADF（SAS）．
（2）解：∵EF∥BC，∠A＝60°，∠E＝50°，
∴∠BCE＝180°﹣∠E＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝130°﹣60°＝70°，
∴∠BCD的度数是70°．
【点评】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出CD＝AD，进而证明△CDE≌△ADF是解题的关键．
33．如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．
（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；
（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）35°；
（2）见解答．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠DCF；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可以求得∠AOH和∠BOH的关系，从而可以证明结论成立．
【解答】（1）解：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠FCG﹣∠BCG＝90°﹣55°＝35°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝35°；
（2）证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=12∠BCD，
∵DE∥OA，
∴∠AOB＝∠BCD
∵OH∥CF，
∴∠BCF＝∠BOH，
∴∠BOH=12∠AOB，
∴∠AOH＝∠BOH，
∴OH平分∠AOB．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理．
34．先化简，再求值：[（4a﹣3b）（a+3b）﹣（a﹣2b）（a+2b）+5b2]÷3a，其中a＝4，b=−23．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可．
【解答】解：[（4a﹣3b）（a+3b）﹣（a﹣2b）（a+2b）+5b2]÷3a
＝[4a2+9ab﹣9b2﹣（a2﹣4b2）+5b2]÷3a
＝（4a2+9ab﹣9b2﹣a2+4b2+5b2）÷3a
＝（3a2+9ab）÷3a
＝a+3b，
当a＝4，b=−23时，原式＝4+3×（−23）＝4﹣2＝2．
【点评】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
35．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F．
（1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长；
（2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）29；
（2）23°．
【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可；
（2）结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据角的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵BE是AD的垂直平分线，AB＝9，
∴AB＝DB＝9，AE＝DE，
∵△CDE的周长为11，
∴CD+DE+CE＝CD+AE+CE＝CD+AC＝11，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+DB+CD+AC＝9+9+11＝29；
（2）∵∠ABC＝34°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝96°，
∵AB＝DB，
∴∠BAD=12×（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣34°）＝73°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝23°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
36．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a＝3，b＝2，求这两条小路的总面积．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（2b2+5ab）平方米；
（2）38平方米．
【分析】（1）根据长方形的面积和两条小路的面积＝两条小路的面积和减去边长为b的正方形的面积，列出算式进行计算即可；
（2）把a＝3，b＝2代入（1）中所求两条小路的总面积，进行计算即可．
【解答】解：（1）两条小路的总面积为：b（2a+b）+b（3a+2b）﹣b2
＝2ab+b2+3ab+2b2﹣b2
＝（2b2+5ab）平方米；
（2）当a＝3，b＝2时，两条小路的总面积为：
2×22+5×3×2
＝2×4+5×3×2
＝8+30
＝38（平方米）．
【点评】本题主要考查了单项式乘多项式和合并同类项法则，解题关键是注意数形结合，理解两条小路的总面积＝两条小路的面积和﹣边长为b的正方形的面积．
37．如图，在△ABC与△DEF中，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC＝DF，∠A＝∠D．
（1）试说明△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝7，CE＝3，求线段BE的长度．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）说明理由见解答；
（2）线段BE的长度为2．
【分析】（1）由AB∥DE，得∠B＝∠DEF，而∠A＝∠D，AC＝DF，即可根据“AAS”证明△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得BC＝EF，因为CE＝3，所以BE+3＝CF+3，则BE＝CF，由BF＝BE+CF+CE＝2BE+3＝7，求得BE＝2．
【解答】解：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∠B=∠DEF∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
（2）由（1）得△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵CE＝3，
∴BE+3＝CF+3，
∴BE＝CF，
∵BF＝7，
∴BE+CF+CE＝2BE+3＝7，
∴BE＝2，
∴线段BE的长度为2．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解析．
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
∠B=∠FCD∠BED=∠FBD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
39．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【考点】函数关系式．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）代入x＝280求出Q值即可；
（3）根据行驶的路程＝耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
40．计算
（1）（﹣2）2﹣20240+（﹣1）﹣2；
（2）（27a3﹣15a2+6a）÷3a；
（3）1232﹣124×122；
（4）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣2）．
【考点】整式的混合运算；实数的运算；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）9a2﹣5a+2；
（3）1；
（4）x﹣2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答；
（3）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（4）利用平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（﹣2）2﹣20240+（﹣1）﹣2
＝4﹣1+1
＝4；
（2）（27a3﹣15a2+6a）÷3a
＝27a3÷3a﹣15a2÷3a+6a÷3a
＝9a2﹣5a+2；
（3）1232﹣124×122
＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣（1232﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1；
（4）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣4﹣（x2﹣x﹣2）
＝x2﹣4﹣x2+x+2
＝x﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
9．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
12．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
13．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
14．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
16．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
17．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
20．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
21．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
22．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
25．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
26．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
28．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
29．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
34．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
35．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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里程数/km
收费/元
3km以内（含3km）
8.00
3km以外每增加1km
1.80
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
颜色
红
蓝
黑
奖券金额（元）
20
50
80
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
D
D
C
里程数/km
收费/元
3km以内（含3km）
8.00
3km以外每增加1km
1.80
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
颜色
红
蓝
黑
奖券金额（元）
20
50
80