专题8.9 三角形全章专项复习【3大考点14种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）(原卷版+解析版)

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\l "_Tc10122" 【考点1 与三角形有关的线段】 PAGEREF _Tc10122 \h 1
\l "_Tc5179" 【题型1 三角形的三边关系的应用】 PAGEREF _Tc5179 \h 2
\l "_Tc30637" 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 PAGEREF _Tc30637 \h 3
\l "_Tc25464" 【题型3 三角形的高的有关的问题】 PAGEREF _Tc25464 \h 3
\l "_Tc26020" 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】 PAGEREF _Tc26020 \h 4
\l "_Tc13993" 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 PAGEREF _Tc13993 \h 5
\l "_Tc1130" 【考点2 与三角形有关的角】 PAGEREF _Tc1130 \h 6
\l "_Tc17004" 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 PAGEREF _Tc17004 \h 7
\l "_Tc5514" 【题型7 直角三角形的性质的应用】 PAGEREF _Tc5514 \h 8
\l "_Tc11252" 【题型8 三角形外角的应用】 PAGEREF _Tc11252 \h 9
\l "_Tc21467" 【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 PAGEREF _Tc21467 \h 11
\l "_Tc2920" 【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 PAGEREF _Tc2920 \h 12
\l "_Tc17640" 【考点3 多边形及其内角和】 PAGEREF _Tc17640 \h 14
\l "_Tc28194" 【题型11 多边形内角和公式的应用】 PAGEREF _Tc28194 \h 14
\l "_Tc20153" 【题型12 多边形外角定理的应用】 PAGEREF _Tc20153 \h 15
\l "_Tc16336" 【题型13 多边形的截角问题】 PAGEREF _Tc16336 \h 17
\l "_Tc31973" 【题型14 求不规则图形中相关角的和】 PAGEREF _Tc31973 \h 17
【考点1 与三角形有关的线段】
【知识点1 三角形三边的关系】
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
【知识点2 三角形的分类】

【知识点3 三角形的重要线段】
（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点4 三角形的稳定性】
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【题型1 三角形的三边关系的应用】
【例1】（24-25七年级·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架OP=OQ=30cm（连接处的长度忽略计），则点P，Q之间的距离可以是（ ）
A．50cmB．65cmC．70cmD．80cm
【变式1-1】（24-25七年级·四川眉山·期中）若a，b，c是△ABC的三边，试化简：a−b−c+a+b−c= ．
【变式1-2】（24-25七年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法．
A．1种B．2种C．3种D．4种
【变式1-3】（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，用AB、BC、CD、AD四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14B．16C．13D．11
【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】
【例2】（24-25七年级·江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个．
【变式2-1】（24-25七年级·辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和2x+1，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7B．4C．6D．7
【变式2-2】（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ．
【变式2-3】（24-25七年级·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
【题型3 三角形的高的有关的问题】
【例3】（24-25七年级·重庆铜梁·开学考试）如图，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，点D在BC上移动，则AD的最小值是 ．
【变式3-1】（24-25七年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，CE⊥AE，AD=4，则CE的长为 ．
【变式3-2】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点O，连接BO并延长交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE：AD：BF的值为 .
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【变式3-3】（2024七年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？
【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】
【例4】（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，已知△ABC的面积为12，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，AE、BF、CD交于点G，AG:GE=2:1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式4-1】（24-25七年级·江苏常州·期末）如图，AD是△ABC的中线，AE=13AD,F是EC的中点．若S△BEF=10，则S△ABC= ．
【变式4-2】（24-25七年级·四川巴中·期末）如图，已知A1，A2，A3⋯分别是AC，A1C，A2C⋯的中点，B1，B2，B3⋯分别是BC，B1C，B2C⋯的中点，若△ABC的面积为4，则△A2024B2024C的面积为 ．
【变式4-3】（24-25七年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=4BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为4，则△ABC的面积为 ．
【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
【例5】（24-25七年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【变式5-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图，已知点D是△ABC内一点， 连接BD并延长交AC于点E，求证：AB+AC>DB+DC．

【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·单元测试）如图，设P为△ABC内一点，且PC=BC，求证：AB>AP．

【变式5-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：
(1)AB+CD12AB+BC+CD+AD．
【考点2 与三角形有关的角】
【知识点1 三角形的内角】
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形
【知识点2 三角形的外角】
三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】
【例6】（24-25七年级·广西柳州·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1=42°,∠2=46°，则∠BA′C的度数为 ．
【变式6-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点 D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A′重合， 若∠A=35°， 则∠1+∠2的度数为（ ）
A．70°B．105°C．140°D．35°
【变式6-2】（24-25七年级·河北石家庄·期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′=30°，∠B=120°，则∠A′NC= °．

【变式6-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度数．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
【例7】（24-25七年级·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，过点A作AE⊥BD于点E．
(1)当BD平分∠ABC，且∠ABC=60°时，求∠BAE的度数；
(2)当点D是AC中点，DB=3，且△BCD的面积为94，求AE的长．
【变式7-1】（24-25七年级·贵州贵阳·期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【变式7-2】（24-25七年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO=90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，恰好CB′'平分∠OCE，若∠CB′A′=129°，则∠COE= °．
【变式7-3】（24-25七年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数；
(2)【迁移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系．
【题型8 三角形外角的应用】
【例8】（24-25七年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：
①∠DBE=∠EFH；
②2∠BEF=∠BAF+∠C；
③2∠EFH=∠BAC−∠C，
④∠BGH=∠ABE+∠C；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式8-1】（24-25七年级·甘肃酒泉·期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2．
(1)试确定∠A与∠A1之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠A2=16°，求∠A的度数．
【变式8-2】（24-25七年级·福建厦门·期末）如图，AD∥BC，∠D=∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH=110°，则∠BEG的度数为 ．
【变式8-3】（24-25七年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，若∠CBF=32°，∠AFB=72°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)若点G为线段BC上任意一点，当△GFC为直角三角形时，求∠BFG的度数．
【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】
【例9】（24-25七年级·福建福州·期中）已知在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B．
(1)如图1，若CD⊥AB，求证：∠ACB=90°；
(2)如图2，AE平分∠BAC交CD于点F，交CB于点E．
①求证：∠CFE=∠CEF；
②△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M=33°，求∠CFE的度数．
【变式9-1】（24-25七年级·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的度数为（ ）
A．40°B．44°C．50°D．54°
【变式9-2】（24-25七年级·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）

A．β=110°+2aB．β=220°−2a
C．β=110°+aD．β=250°−2a
【变式9-3】（24-25七年级·江苏盐城·期中） 已知：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF=45°,CF