广东省广州市南沙区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市南沙区2024年中考二模数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】、是有理数，不符合题意；
、是有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故选：．
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A. 30°B. 45°
C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】，，
ACEF，，
故选C．
4. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，计算正确，符合题意；
B、，不能用乘法公式进行计算，不符合题意；
C、，计算不正确，不符合题意；
D、，计算不正确，不符合题意；
故选：A．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为在数轴上表示为：
不等式组的解集为：，故选：．
6. 实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】D
【解析】∵，∴，
通过数轴可知：点符合题意，
故选：．
7. 如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过作于点，
由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是，
故选：．
8. 如图，四边形内接于，是直径，点E在上，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
四边形内接于，
，
，
是的直径，
，
，
∵
，
故选：D．

9. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A. 样本为40名学生B. 众数是11节
C. 中位数是6节D. 平均数是5.6节
【答案】D
【解析】A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
10. 如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ）
①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
A. ①②③④⑤B. ①③④
C. ①③⑤D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒，
∴当时，，此时的面积为，
∴，
∴，
∴点的运动速度为，则说法①正确；
当运动到秒时，函数关系式改变，则，
如图，过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，则说法②错误；
如图，当点在上时，过点作于点，
∵，，
∴线段段的函数解析式为，则说法③正确；
∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为，
∴，
当时，如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确；
∵，
∴的面积．
当时，此时的边，边上的高为，
∴，解得或（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）；
综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误；
综上，说法正确的是①③④，
故选：B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 计算： =_____．
【答案】-
【解析】原式=.
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
13. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为______．
【答案】
【解析】
故答案为：
14. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为：_____．
【答案】
【解析】设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，
由题意得：，
故答案为：．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是_____.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE== = .
16. 正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为______；
若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为______．

【答案】
【解析】过点作，
∵正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证：四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵,，
∴，∴，
∴．
过点作，如图，
∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，∴，
∵四边形和均为正方形，
∴，∴，∴，
设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，
∵，
∴，
解得：，∴，
∴．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 解方程：．
解：，，或，
∴，．
18. 如图，在中，，，．求证：平分．

解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴平分．
19. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴原式．
20. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
解：（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
21. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
解：（1）∵(人)，
故答案为：50．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
相同的概率为：．
22. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
解：任务1：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，解得，
空矿泉水瓶的重量为．
23. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等．
（2）为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线；
（3）若，，求的长．
解：（1）如图，根据题意，作平分线即可，
以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点；
分别以为圆心画弧交于点；
连接交于点，
∴即为所求；
（2）如图，连接，则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在半径，
∴是的切线；
（3）如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24. 已知抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；
（3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围．
解：（1）把点代入抛物线，
得，
解得：；
（2）∵，
∴，
当时，则，
解得：或；
又∵点在点的左侧，
∴，，
当时，则，即，
∴当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的外接圆与轴交于另一点，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，则，
根据圆的对称性可得：；

（3）在该抛物线上，则，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点的横坐标，即点在对称轴的左侧，
∵当时，总有，∴图①不成立，

当的位置满足图②时，，解得：，
∴，则，
当的位置满足图③时，则，解得：，此时，
综上所述， 或．
25. 在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段．
（1）如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度；
（2）如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值．
解：（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转为线段，
∴，，
∵，，∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
（2）将绕点旋转，得到，连接、，、，，
则：，，
∵线段绕点顺时针旋转为线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴三点共线，，
∴三点共线，
∴点在的延长线上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）连接，，，，
由（2）得，，点为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵（当且仅当点在线段上时等号成立），
∴，
∴的最小值为．
废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4