2024-2025学年天津市咸水沽第二中学高一下学期5月期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市咸水沽第二中学高一下学期5月期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z= 2i，则z⋅z=( )
A. −iB. 1C. −1D. 2
2.已知向量a=(1,2)，b=(−2,m)，若a→//b→，则m=( )
A. −1B. −4C. 4D. 1
3.四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1=3，O1C1=1，则四边形OABC的周长为( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
4.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若a//α，b//α，则a//b
B. 若a//b，a//α，则b//α
C. 若a⊂α，b⊂α，且a//β，b//β，则α//β
D. α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分
5.在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=2，C=π3，sinB=2sinA，则▵ABC的面积为
A. 4 33B. 2 33C. 33D. 36
6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积为8π3R3，则其内壁表面积为( )
A. 12πR2B. 10πR2C. 8πR2D. 6πR2
7.已知向量a=0,−2 3，b=1, 3，则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A. 32,32B. 32,3 32C. − 32,−32D. −32,−3 32
8.棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，点E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则过点E、F的直线被球O截得的线段长为( )
A. 3aB. 2aC. 2aD. 22a
9.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为( )
A. 2B. 83C. 103D. 4
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知向量a,b为单位向量，其夹角为π3，则|2a+b|= ．
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b= 6，c=3，则A= ．
12.如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15∘，山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为 m．
13.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−2，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点.给出下列三个推断：
①FG//平面AA1D1D;
②EF//平面BC1D1;
③FG//平面BC1D1;
其中推断正确的序号是 ．
15.ΔABC中，D为AC上的一点，满足AD=13DC.若P为BD上的一点，满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则mn的最大值为 ；4m+1n的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数z=m2−1+(m−1)i，m∈R.(i是虚数单位)
(1)若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z是实数，求|z|的值．
17.已知向量a=(2,−1)，b=(3,0)，c=(4,1)．
(1)求与a垂直的单位向量e的坐标；
(2)若a+kc//b−2a，求实数k的值．
18.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E,M,N,G分别是AA1,CD,CB,CC1的中点，求证：

(1)MN//B1D1;
(2)AC1//平面EB1D1;
19.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足asin(A+C)=bcsA−π6．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b+c=5，求▵ABC的面积;
(3)若csB=13，求sin(2B−A)的值．
20.已知向量a，b满足a=3，b=6，5a−4b⋅2a+b=−81．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若λa−b⊥a+2b，求λ的值；
(3)若向量a在b方向上的投影向量为c，求c⋅a+b的值．
21.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinA=(2b+c)sinB+(b+2c)sinC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 3，求▵ABC面积的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.C
9.B
10. 7
11.75∘
12.300m
13.16 ；
14.①③
15.116 ；16
16.解：(1)∵复数z=m2−1+(m−1)i的实部为m2−1，虚部为m−1，
在复平面内所对应的点的坐标为m2−1,m−1，
∵z对应复平面上的点在第三象限，
∴m2−1