2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足：(1−i)z=1+i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面对应的点的坐标为( )
A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,0)
2.设m，n，l是不同的直线，α,β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若m//α,n//α，则m//nB. 若m//α,m//β，则α//β
C. 若m//β,m⊂α,α∩β=l，则m//lD. 若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//n
3.已知平面向量a= 3,−1,b=4，且a−2b⊥a，则a−b=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.已知一组数据：x1,x2,x3的平均数是5，方差是4，则由2x1+1，2x2+1，2x3+1和11这四个数据组成的新数据组的方差是( )
A. 16B. 14C. 12D. 11
5.掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数不超过3”，事件B=“出现的点数是3或6”.则事件A与B的关系为( )
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B对立C. 事件A与B独立D. 事件A包含于B
6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=30°，b= 2，c=2，则( )
A. C=45°B. A=15°
C. a= 3−1D. ▵ABC为钝角三角形
7.在三棱锥P−ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PA=6，点P在平面ABC上投影为A，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
A. 100πB. 75πC. 80πD. 120π
8.在锐角▵ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , c，且满足2bcsA+b−c=0，则sin2BsinA的取值范围是( )
A. ( 36 , 12)B. (0 , 12)C. ( 33 , 1)D. ( 3 , 1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1,z2，其中i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. i2025=iB. z1>z2，则z1>z2
C. z1⋅z1=z12D. z22=z22
10.已知点O在▵ABC所在的平面内，则下列命题正确的是( )
A. 若O为▵ABC的外心，AB=6,AC=4，则AO⋅BC=10
B. 若O为▵ABC的垂心，AB⋅AC=2，则AO⋅AB=2
C. 若OA+5OB−2OC=0，则▵AOB与▵ABC的面积之比为1:4
D. 若3OA+4OC=mAB(m>0)，▵ABO的面积为8，则▵ABC的面积为14
11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1= 2AC= 2BC=2 2，M,N,Q,G点分别为棱A1B1,A1C1,AC,AB的中点，P是线段B1C1上(包含端点)的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为2
B. 三棱锥P−MNA的体积与P的位置无关
C. 若P为B1C1的中点，则过A,M,P三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从Q点爬到B1点的最近距离为 17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=2，DC⊥BC，则原多边形面积为 ．
13.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4，若该四棱台的体积为28 33，则这个四棱台的表面积为 ．
14.已知平面向量a，b，c满足c⊥a+b，a⋅c=c=1，若a⊥b，则a−b的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a、b、c分别为▵ABC三个内角A、B、C的对边，acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，▵ABC的面积为 3，求b、c．
16.(本小题15分)
为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为56，35；
在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为23，34.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
17.(本小题15分)
以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50∼400kw⋅h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
(3)从用电量落在区间[300 , 400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350 , 400)内的概率．
18.(本小题17分)
如图所示，正四棱锥P−ABCD，PA=1，底面边长AB= 22，M为侧棱PA上的点，且PM=3MA．
(1)求正四棱锥P−ABCD的体积；
(2)若S为PB的中点，证明：PD//平面SAC；
(3)侧棱PD上是否存在一点E，使CE//平面MBD，若存在，求出PEED；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理)，证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知▵ABC满足AC=2 2，AB=2，设∠BAC=0(0