中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题11利用垂线段最短求最值(三大类型含“胡不归”)(专项训练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题11利用垂线段最短求最值(三大类型含“胡不归”)(专项训练)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
（专项训练）
1．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC＝4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
8．如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是 ．
10．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝10，则PE+PF的最小值是 ．
11．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为 ．
12．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 ；
（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为 ．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA+PD的最小值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．
①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为 ；
②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．
专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)
（专项训练）
1．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
2．如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC＝4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥4．
故选：A．
3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
【答案】C
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
【答案】C
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，
∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，
，
∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，
∴∠CTQ＝30°，
∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），
当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，
∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，
∴△DPM≌△DQC（SAS），
∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，
当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值为1．
故选：B．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：AB•PC＝AC•BC，
∴PC＝．
故选：C．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故选：D．
8．如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝3，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：B．
9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是 ．
【答案】2.4
【解答】解：连接CP，如图所示：
∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP，
要使EF最小，只要CP最小即可，
当CP⊥AB时，CP最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，
∴CP＝2.4，
即EF＝2.4，
故答案为：2.4．
10．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝10，则PE+PF的最小值是 ．
【答案】
【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，
∴EP＝GP，
∴EP+FP＝PG+PF≥FG，
当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是菱形的一条对称轴，
∵E是AB的中点，
∴G点是BC的中点，
∴EG＝AC，
∵AC＝10，
∴EG＝5，
连接EF，
∵F是AD的中点，BD＝8，
∴EF＝BD＝4，
在Rt△EFG中，GF＝，
∴PF+PE的最小值为，
故答案为：．
11．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：作B点关于EC的对称点F，连接AF交EC于点P，连接BP，过F点作FG⊥BC交BC的延长线于点G，
BF交EC于点H，
∴BP＝FP，
∴AP+BP＝AP+PF≥AF，
当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF，
∵E点是AD的中点，
∴ED＝AD，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴ED＝，
∴tan∠ECD＝，
∵BH⊥EC，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠HBC＝∠ECD，
∴tan∠HBC＝，
∴2HC＝BH，
在Rt△BCH中，BC＝5，
∴BH＝2，
∴BF＝2BH＝4，
在Rt△BGF中，BG＝2FG，
∴GF＝4，BG＝8，
过点F作FM⊥AB交于M，
∴MF＝8，AM＝1，
在Rt△AFM中，AF＝，
∴AP+BP的最小值为，
故答案为：．
12．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝＝＝6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
【答案】12
【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB边上截取AM＝PQ，
∵点F是BC的中点，
∴点B关于EF的对称点为点C，
连接CM，交EF于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝＝5，
∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG，
∴点M关于AE的对称点为点B．
过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'，
则PM+PN的最小值即为BN'的长．
∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，
∴BN'＝AC，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝6，
∴BN'＝3．
故答案为：3．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 ；
（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为 ．
【答案】，4
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠ABP＝∠BCP，
∴∠BCP+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P是在以BC为直径为圆上．
∵点B，P，E在同一条直线上，
∴△ABE∽△PCB，
∴，
在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，
∴AE＝4，BE＝．
∴，
∴．
（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，
则BE+PE＝B'E+PE．
∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．
设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，
此时即为B'P的最小值．
∴B'P＝B'0﹣OP．
在Rt△OBB'中，
B'O＝＝．
∴B'P＝4．
∴BE+PE的最小值为4．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA+PD的最小值为 ．
【答案】4
【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，
∴AP+PD＝A'P+PD，
当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BF＝AB•cs60°＝3，AF＝3，
又∵S△PBC＝S△PAD，
∴AE＝AF＝2，
∴AA'＝2AE＝4，
∵BC＝8，
∴AD＝8，
Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，
∴PA+PD的最小值为4，
故答案为：4．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，延长CD到点G，使CG＝AC，连接FG，
∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCG，
又∵AE＝CF，
∴△ACE≌△CGF（SAS），
∴CE＝GF．
如图，当G，F，B三点共线时，BF+GF的长最小，
此时BF+CE的值也最小，最小值等于BG的长．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∴CG＝，
Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BF+CE的最小值等于，
故答案为：．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．
①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为 ；
②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．
【解答】解：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，
∴AP＝PM，
连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，
∴AP+PE＝PM+EP＝EM，
过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠MBC＝∠BCN＝90°，
∵∠MND＝90°，
∴四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，
∵E为CD的中点，
∴EC＝CD＝2，
∴EN＝EC+CN＝6，
∴ME＝＝＝10，
∴PE+AP的最小值为10，
故答案为：10；
（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，
连接GF，交BC于点Q，
∴EQ＝FQ，
∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，
此时GQ+QE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∵AG＝PQ＝3，
∴四边形APQG是平行四边形，
∴AP＝GQ，
∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，
∵AE，PQ的值是定值，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，
设CQ＝x，
∵BC∥AD，
∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，
∴△FCQ∽△FDG，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴当CQ＝时，四边形APQE的周长最小，
故答案为：．