中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题12二次函数菱形存在性综合应用(专项训练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题12二次函数菱形存在性综合应用(专项训练)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
（1）求该二次函数的解析式．
（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．
（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，
DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；
（3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C坐标；
（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
（3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM′是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
10.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．
11.综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①当△ANC面积最大时的P点坐标为 ；最大面积为 ．
②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
专题12 二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中点．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．
（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中点，
∴OA＝8．
∵OA＝OC＝2OB，
∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），
将A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+8．
（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为直线x＝2，
令y＝0，
则﹣x2+x+8＝0，
∴x＝﹣4或x＝8，
∴C（8，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
过点E作EH⊥x轴交CD于点H，
设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），
则H（m，﹣m+4），
∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，
∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，
∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，
此时E（3，），
连接BE，交对称轴于点F，连接CF，
∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，
∴BF＝CF，
∴CF+EF＝BF+EF≥BE，
当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，
∴BE＝＝；
（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，
理由如下：
平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，
设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），
∵四边形DMCN为菱形，
∴DC与MN为对角线，
∴，
∵CN＝CM，
∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，
∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，
∴t＝2或x＝﹣2，
∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+4；
（2）令y＝0，则x2﹣x+4＝0，
解得x＝3或x＝﹣4，
∴A（3，0），
∵点P到AB，AC距离相等，
∴P点在∠CAB的角平分线上，
设AP与y轴交于点E，过E作EF⊥AC交于F点，
∵OA＝3，CO＝4，
∴AC＝5，
∴CF＝2，
在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，
解得OE＝，
∴E（0，），
设直线AE的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣，）；
（3）存在点Q，使四边形BMNQ为菱形，理由如下；
∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
设直线BC的解析式为y＝k'x+m'，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设Q（﹣，t），
∵四边形BMNQ为菱形，
∴M点与Q点关于直线BC对称，
∴M（t﹣4，），
∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），
∴Q点坐标为（﹣，）．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，
DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；
（3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
∵E点的横坐标为t，
∴E（t，﹣t+2），
∵A（﹣2，4），B（2，0），
∴AB＝4，
∵DE＝AB，
∴DE＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝EF＝2，
∴F（t﹣2，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），
当E点与A点重合时，t＝﹣2，
当F点在抛物线上时，（t﹣2）2﹣（t﹣2）﹣2＝﹣t+2，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴﹣2≤t≤2﹣时，△DEF与抛物线有公共点；
当E点与B点重合时，t＝2，
当D点与B点重合时，t﹣2＝2，
解得t＝4，
∴2≤t≤4时，△DEF与抛物线有公共点；
综上所述：﹣2≤t≤2﹣或2≤t≤4时，△DEF与抛物线有公共点；
（3）存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，理由如下：
由（2）知，E（t，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），C（0，﹣2），
设P（x，y），
①当CD为菱形的对角线时，CE＝DE，
∴，
解得，
∴P（﹣2，0）；
②当CE为菱形的对角线时，CD＝DE，
∴，
解得，
∴P（2，﹣4）；
③当CP为菱形的对角线时，CE＝CD，
∴，
解得，
∴P（4，2）；
综上所述：P点坐标为（﹣2，0）或（2，﹣4）或（4，2）．
4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得﹣，
∴y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，则﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），
设M（3，m），
∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，5＝，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，
解得m＝5+5或m＝﹣5+5，
∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
当BM＝EM时，＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
②设N（x，y），M（3，m），
当BE为菱形的对角线时，BM＝EM，
∴，
解得，
∴N（8，5）；
当BM为菱形的对角线时，BE＝EM，
∴，
解得或，
∴N（8，5）或（8，﹣5）；
当BN为菱形的对角线时，BE＝BM，
∴，
解得（舍）或，
∴N（﹣2，0）；
综上所述：N点坐标为（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，0）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，点C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），
∴，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m＝，
把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，
∴点D的坐标为（1，8），
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C（0，6），D（1，8），
∴CD＝＝，
∴DQ＝CD＝，
∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q（1，m），P（0，n），
∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，
解得：m＝，
∴点Q的坐标为（1，）；
综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C坐标；
（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴点C坐标为（0，3）．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，将（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+3，
作PF⊥x轴交BC于点F，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE，
设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点F坐标为（m，﹣m+3）．
∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，PE的最大值为，此时点P坐标为（，）．
（3）①如图，PM＝CM，
设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m，
∵点C坐标为（0，3），
∴CM＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，
解得m＝0（舍）或m＝3﹣，
∴GC＝CM＝3﹣2，
∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1，
∴点G坐标为（0，3+1）．
②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，
∵PM＝﹣m2+3m，点C坐标为（0，3），
∴点G坐标为（0，m2﹣3m+3），
作GN⊥PM，
∵∠CBO＝45°，
∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，
∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3），
解得m＝0（舍）或m＝2，
∴点G坐标为（0，1）．
③如图，PM＝CM，
由①可得m2﹣3m＝m，
解得m＝3+，
∴PM＝CG＝CM＝3+2，
∴点G坐标为（0，1﹣3）．
综上所述，点G坐标为（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，
∴B（3，0），
∵点D与点C关于对称轴对称，
∴D（2，3），
∴BD的中点H为（，），BD＝，
∵∠BPD＝90°，
∴PH＝BD，
设P（1，t），
∴（）2+（﹣t）2＝×10，
解得t＝1或t＝2，
∴P（1，1）或（1，2）；
（3）存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设M（m，﹣m2+2m+3），N（1，n），
①当AB为菱形的对角线时，AM＝AN，
∴，
解得，
∴N（1，﹣4）；
②当AM为菱形对角线时，AB＝AN，
∴，
此时无解；
③当AN为菱形对角线时，AB＝AM，
∴，
此时无解；
综上所述：N点坐标为（1，﹣4）．
8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
（3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM′是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如下图，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝sx+t，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，k取得最大值为，此时P点的坐标为（，）；
（3）存在；
由折叠知，MC＝M'C，MN＝M'N，
故当MN＝MC时，四边形CMNM′是菱形，
设M（m，﹣m+3），则N（m，﹣m2+2m+3），
∴MC＝＝|m|，
∴|﹣m2+3m|＝|m|，
即﹣m2+3m＝±m，
解得m＝3+或3﹣，
综上所述，点D的坐标为（3+，0）或（3﹣，0）
9.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），
∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，
∴t＝±，
∵t＜0，
∴t＝﹣，
∴E（﹣+1，）；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，
∴t＝0（舍）或﹣2，
∴E（﹣3，﹣4）；
综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
10.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3； （2）P（，）；
（3）F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴D（1，2），
过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+3t，
∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△PCD的最大值为，
此时P（，）；
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1个单位得到新抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+4，
联立，
解得x＝，
∴E（，），
∵新抛物线的对称轴为直线x＝2，
设F（2，m），
∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，
∵以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：
①当EF、FD为邻边，此时EF＝FD，
∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，
解得m＝，
∴F（2，）；
②当ED、EF为邻边，此时ED＝EF，
∴＝+（m﹣）2，
解得m＝或m＝2，
∴F（2，2）或F（2，），
设直线ED的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
当x＝2时，y＝，
∴F（2，2）；
③当DE、DF为邻边，此时DE＝DF，
∴＝1+（m﹣2）2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；
综上所述：F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．
11.综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①当△ANC面积最大时的P点坐标为 ；最大面积为 ．
②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝﹣x2﹣3x+4 （2）① （﹣2，2）；8．
②点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，
得c＝4，
将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，
得﹣16﹣4b+4＝0，
解得b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），
∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，
∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；8．
②存在，
如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，
当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴CB＝＝，
∵DF与BC互相垂直平分，
∴I为BC的中点，
∴I（，2），CI＝CB＝，
∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，
∴△ICR∽△OCB，
∴＝，
∴CR＝＝＝，
∴OR＝4﹣＝，
∴R（0，），
设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，
解得k＝，
∴直线DF的解析式为y＝x+，
由得，
∴F（，），
∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，
∴D（，）；
如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，
∵BD与CF互相垂直平分，
∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠JAB＝∠JBA＝45°，
∴JB＝JA，
∴JD＝JA，
∴∠JAD＝∠JDA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝1+4＝5，
∴D（﹣4，5）；
如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，
∴CF＝CB＝，
作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，
∴∠LFC＝∠LCF＝45°，
∴LC＝LF，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FL∥OA，DF∥BC，
∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，
∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，
∴△DKF≌△COB（AAS），
∴KF＝OB＝1，KD＝OC，
∵QK＝OL，
∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，
∴D（，）；
如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，
作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，
∵∠LCF＝∠OCA＝45°，
∴∠LCF＝∠LFC＝45°，
∴LF＝LC，
∵CF＝CB＝，
∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，
∴LF＝LC＝，
∵FK∥OC，FD∥CB，
∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，
∴∠DFK＝∠BCO，
∵DF＝BC，
∴△DFK≌△BCO（AAS），
∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，
∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，
∴D（，），
综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．