2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题----菱形的存在性专题训练

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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．
(1) ， ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长；
②连接，，求的面积最大时点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，作直线，点P是抛物线在第四象限上的一个动点（点P不与点B，C重合），连接，以为边作平行四边形，点P的横坐标为m．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当平行四边形有两个顶点在x轴上时，求点P的坐标；
(3)当平行四边形是菱形时，求m的值．
(4)当m为何值时，平行四边形的面积有最大值？
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点在运动过程中，能使得以为顶点的三角形面积最大，请求出此时点的坐标；
(3)连接，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标．
7．已知抛物线与x轴交于B、C两点（点在点的左侧），与y轴交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积；
(3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线过点和，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标；
(3)若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若P是直线下方的抛物线上一个动点，当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中B点坐标．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点F的坐标；
(3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、F、M、N为顶点的四边形是以为边长的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的一种情况的过程．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
12．如图，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．
(1)直接写出点A和点B的坐标；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，直线与坐标轴交于，，二次函数图像过A，B两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，若点P在线段上，过点P作轴于点H，与抛物线交于点M，求线段的最大值；
(3)如图2，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点N是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、N、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)的坐标为)或 或．
2．(1)
(2)或
(3)存在，或
3．(1)
(2)面积最大值为，此时
(3)的坐标为或或
4．(1)；
(2)①的长为；②的面积最大时点的坐标为；
(3)存在，点的坐标为或或．
5．(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)；
(4)当时，四边形的面积有最大值．
6．(1)；
(2)的面积最大时，点的坐标为；
(3)点的坐标为．
7．(1)直角三角形，
(2)，，
(3)存在，点坐标为或或或或，
8．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
9．(1)
(2)P
(3)存在；M点的坐标为或或
10．(1)
(2)的最大值为，此时点
(3)或或或，
11．(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)点N的坐标为（，﹣）或（，3），
12．(1)点A、B的坐标分别为：、
(2)，当时，的最大值为4
(3)点M的坐标为或
13．(1)
(2)当时，的面积最大，且最大值为
(3)存在，，，，
14．(1)
(2)，周长最大值为
(3)或
15．(1)
(2)2
(3)