2026中考数学《重难点解读+专项训练》专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学《重难点解读+专项训练》专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（学生版+名师详解版），共19页。
【专题说明】
初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决
【方法技巧】
类型一：一动一定型
如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
类型二：两动一定型
如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．
解题思路：
一找：
第一步：作点M关于AC的对称点M；
第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；
二证：证明MP+PN的最小值为M′N．
类型三：一定两动型（胡不归问题）
“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题 .
问题：如图 ①，已知 sin∠MBN＝k，点 P 为 ∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PA＋k·PB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？
解题思路：
过点 P 作 PQ⊥BN 于点 Q，则 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴ 可将求 “ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如图 ② )，
∴ 当 A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小 ( 如图 ③ )，此时 AQ⊥BN .
【典例分析】
【典例1】模型分析
问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．
解题思路：
一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；
二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．
（1）线段BP的最小值为 ；
（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为 ．
【变式1-3】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 ．
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 ．
【变式2-4】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 ．
【典例3】模型分析
问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．
解题思路：
一找：找带有系数k的线段AP；
二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；
①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；
②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；
三转化：化折为直，将kAP转化为PE；
四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．
请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．
【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为 ．
【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为 ．
【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为 ．
专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)
（知识解读）
【专题说明】
初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决
【方法技巧】
类型一：一动一定型
如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
类型二：两动一定型
如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．
解题思路：
一找：
第一步：作点M关于AC的对称点M；
第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；
二证：证明MP+PN的最小值为M′N．
类型三：一定两动型（胡不归问题）
“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题 .
问题：如图 ①，已知 sin∠MBN＝k，点 P 为 ∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PA＋k·PB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？
解题思路：
过点 P 作 PQ⊥BN 于点 Q，则 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴ 可将求 “ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如图 ② )，
∴ 当 A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小 ( 如图 ③ )，此时 AQ⊥BN .
【典例分析】
【典例1】模型分析
问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．
解题思路：
一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；
二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图所示：
∵AP⊥l于点P，
∴AP是点A到直线l的最短距离．
【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．
（1）线段BP的最小值为 ；
（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【答案】（1）2 （2）
【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，
∵AC＝8，∠BAC＝30°，
∴AB＝AC•cs30°＝4，
∴BP最小＝AB•sin30°＝2；
故答案为：2；
（2）根据题意，作图如下：
∵四边形APBQ是平行四边形，
∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，
∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，
∴OP＝AO•sin30°＝，
∴PQ的最小值为．
故答案为：．
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵BH•AC＝AB•CB，
∴BH＝＝，
∵∠PBQ＝90°，
∴PQ为⊙O的直径，
∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，
∴OD为⊙O的半径，
∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），
∴OB+OD的最小值为BH的长，
即⊙O的直径的最小值为，
∴线段PQ的最小值为．
故答案为：．
【变式1-3】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：设∠C＝n°，
∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，
∴＝，
解得n＝60，
即∠C＝60°，
∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，
∴BC＝AC＝2，
连接CQ，CP，如图，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴∠CQP＝90°，
∴PQ＝＝，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，
∴PQ的最小值为＝．
故答案为：．
【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
【答案】4
【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴点N关于CD的对称N′在AC上，
过点B作BH⊥AC于点H．
∵AC＝6，S△ABC＝12，
∴×6•BH＝12，
解得BH＝4，
∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，
∴BM+MN的最小值为4．
故答案为：4．
【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴CD＝＝＝5，
在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．
∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，
∴AH＝＝＝，
∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，
∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN＝MN′，
∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，
∴ME+MN的最小值为．
故答案为：．
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，
设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，
∴x＝，
∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，
∴CJ＝，
∵AD∥CB，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵PD＝PB，
∴∠PDB＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠PBC，
∵EK⊥BC，EK⊥BP，
∴EF＝EK，
∵EG⊥CD，
∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴FG＝EC，
∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，
∴EF+FH的最小值为．
故答案为：．
【变式2-4】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 ．
【答案】4
【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，
∴点C坐标为2，
令0＝﹣x2+x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），
∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），
∵BC是AA'的垂直平分线，
∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，
∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，
故答案为：4．
【典例3】模型分析
问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．
解题思路：
一找：找带有系数k的线段AP；
二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；
①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；
②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；
三转化：化折为直，将kAP转化为PE；
四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．
请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．
【解答】解：如图，在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：
∵BE⊥AN，
∴∠AEP＝90°，
∴sin∠NAP′＝＝k，
∴PE＝kAP，
∵BE⊥AN，
∴点B到AN的最短线段为BE，
∵BE＝PE+BP，
即BE＝kAP+BP，
∴此时，kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．
【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，
∴FH＝CF•sin60°＝CF，
∴EF+FC＝EF+FH≥EH，
当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，
EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，
故答案为：3．
【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝10
∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，
∴OA＝OC＝5，
∵E是OA的中点，
∴AE＝OE＝，
∴CE＝，
∵FH＝BF•sin45°＝BF，
∴EF+BF＝EF+FH≥EH，
当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，
EF+BF＝EH＝CE•sin45°＝的值最小，
故答案为：．
【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为 ．
【答案】10
【解答】解：延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE，过点D作DF⊥CE，连接AF，
∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，
∴△ABC≌△EBC（SAS），
∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，
∴△AEC为等边三角形，DF＝CD，
∴AD+CD＝AD+DF≥AF，
当A、D、F三点依次在同一直线上，且AF⊥BC时，
AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC•sin60°＝5的值最小，
∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值为5＝10．
故答案为：10．